Messreihe mit zwei Polarisationsfiltern
AFB IIHinter einer Lampe steht ein fest montierter Polarisationsfilter (Polarisator). Das Licht dahinter ist linear polarisiert und hat die Intensität \(I_0 = 120\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\). Ein zweiter, drehbarer Filter (Analysator) folgt; hinter ihm misst ein Sensor die Intensität \(I\). Der Winkel \(\theta\) ist der Winkel zwischen den Durchlassrichtungen der beiden Filter (Material M1).
| \(\theta\) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| \(I\) in \(\mathrm{\frac{W}{m^2}}\) | 119 | 89 | 61 | 29 | 2 |
Der Sensor zeigt auch bei völlig abgedeckter Öffnung noch etwa 2 W/m² an (Restlicht im Raum).
- Erklären Sie, warum sich die Intensität beim Drehen des Analysators ändert, und begründen Sie, weshalb bei gekreuzten Filtern praktisch kein Licht mehr hindurchtritt.
- Weisen Sie anhand der Messreihe nach, dass die Messwerte mit dem Gesetz von Malus verträglich sind.
- Berechnen Sie den Winkel, bei dem die Intensität auf die Hälfte von \(I_0\) gesunken ist, und beurteilen Sie die Aussage: „Bei 45° kommt die Hälfte durch, bei 90° nichts — die Intensität nimmt also gleichmäßig mit dem Winkel ab.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Nach dem ersten Filter schwingt das Licht nur noch in einer einzigen Richtung. Trifft es auf den Analysator, so lässt dieser nur diejenige Komponente der Schwingung durch, die parallel zu seiner eigenen Durchlassrichtung liegt. Ist \(\theta\) der Winkel zwischen beiden Durchlassrichtungen, so hat diese Komponente die Amplitude \(\hat{E}\cos\theta\). Beim Drehen des Analysators ändert sich \(\theta\) und damit die durchgelassene Amplitude — die Intensität ändert sich mit.
Bei gekreuzten Filtern ist \(\theta = 90^\circ\). Die Schwingungsrichtung des ankommenden Lichts steht dann senkrecht auf der Durchlassrichtung des Analysators; die parallele Komponente ist null (\(\cos 90^\circ = 0\)). Es wird also keine Schwingung mehr durchgelassen, und es bleibt dunkel. Der Restwert von \(2\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\) stammt nicht aus dem Strahlengang, sondern aus dem Streulicht des Raumes.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Vorhersage nach \(I = I_0\cos^2\theta\) mit \(I_0 = 120\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\), jeweils zuzüglich des Restlichts von \(2\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\):
\(\theta = 0^\circ\): \(120\cdot 1 = 120\); Messwert 119.
\(\theta = 30^\circ\): \(120\cdot\cos^2 30^\circ = 120\cdot 0{,}750 = 90\); Messwert 89.
\(\theta = 45^\circ\): \(120\cdot 0{,}500 = 60\); Messwert 61.
\(\theta = 60^\circ\): \(120\cdot 0{,}250 = 30\); Messwert 29.
\(\theta = 90^\circ\): \(120\cdot 0 = 0\), zuzüglich Restlicht also etwa 2; Messwert 2 (alle Werte in \(\mathrm{\frac{W}{m^2}}\)).
Alle Messwerte weichen um höchstens \(1\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\) und damit um weniger als 2 % von der Vorhersage ab. Das liegt im Rahmen der Messgenauigkeit des Sensors. Die Messreihe ist somit mit dem Gesetz von Malus verträglich.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: \(I = I_0\cos^2\theta\) mit \(I = \dfrac{I_0}{2}\).
\(\cos^2\theta = 0{,}5 \Rightarrow \cos\theta = \sqrt{0{,}5} = 0{,}7071 \Rightarrow \theta = 45^\circ\).
Beurteilung: Der erste Teil der Aussage ist richtig — bei \(45^\circ\) beträgt die Intensität tatsächlich die Hälfte, und bei \(90^\circ\) ist sie null. Der Schluss auf eine gleichmäßige (also lineare) Abnahme ist aber falsch.
Beleg aus der Messreihe: Die ersten \(30^\circ\) senken die Intensität nur von 120 auf 90, also um 30 Einheiten. Die nächsten \(30^\circ\) (von \(30^\circ\) auf \(60^\circ\)) senken sie von 90 auf 30, also um 60 Einheiten — doppelt so viel bei gleichem Winkelschritt. Bei linearer Abnahme müssten beide Schritte gleich groß sein.
Ursache ist die Quadratur im Gesetz von Malus: \(\cos^2\theta\) fällt in der Nähe von \(0^\circ\) zunächst flach und in der Mitte des Bereichs am steilsten ab. Dass zufällig \(45^\circ\) genau die Hälfte liefert, ist eine Eigenschaft der Kosinusquadrat-Kurve und kein Hinweis auf Linearität.
Der dritte Filter
AFB IIIZwei Polarisationsfilter stehen gekreuzt hintereinander: Der Polarisator P hat die Durchlassrichtung \(0^\circ\), der Analysator A die Durchlassrichtung \(90^\circ\). Hinter A ist es dunkel. Nun wird zwischen beide ein dritter Filter Z mit der Durchlassrichtung \(45^\circ\) geschoben (Material M1). Hinter P beträgt die Intensität \(I_1 = 120\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\); Absorptionsverluste im Filtermaterial werden vernachlässigt.
Die kleinen Kreise zeigen die Durchlassrichtung jedes Filters in der Ansicht von vorn. Der Zwischenfilter Z lässt sich aus dem Strahlengang herausnehmen.
- Beschreiben Sie, was ein Beobachter hinter A feststellt, wenn Z eingeschoben wird, und erklären Sie das Ergebnis.
- Berechnen Sie die Intensitäten \(I_2\) hinter Z und \(I_3\) hinter A.
- Leiten Sie her, bei welchem Winkel \(\beta\) der Durchlassrichtung von Z die Intensität hinter A am größten wird, und beurteilen Sie die Aussage: „Ein zusätzlicher Filter im Strahlengang kann die Intensität nur verringern.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Beobachter stellt fest, dass es hinter A wieder hell wird, obwohl ein zusätzlicher Filter eingeschoben wurde. Das widerspricht der Alltagserwartung.
Erklärung: Hinter P schwingt das Licht in \(0^\circ\)-Richtung. Diese Richtung steht senkrecht auf der Durchlassrichtung von A, weshalb ohne Z nichts hindurchkommt.
Der Filter Z lässt nur die Komponente in \(45^\circ\)-Richtung durch. Entscheidend ist nun: Das Licht hinter Z schwingt nicht mehr in \(0^\circ\)-Richtung, sondern in \(45^\circ\)-Richtung — Z hat die Schwingungsrichtung des Lichts gedreht. Diese neue Richtung schließt mit der Durchlassrichtung von A nur noch \(45^\circ\) ein, und eine Komponente in \(90^\circ\)-Richtung ist vorhanden. Deshalb tritt Licht durch A hindurch. Zieht man Z wieder heraus, wird es sofort dunkel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Erster Schritt (P → Z), Winkel \(45^\circ\):
\(I_2 = I_1\cos^2 45^\circ = 120\ \mathrm{\frac{W}{m^2}} \cdot 0{,}500 = 60\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\).
Zweiter Schritt (Z → A), Winkel ebenfalls \(90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\):
\(I_3 = I_2\cos^2 45^\circ = 60\ \mathrm{\frac{W}{m^2}} \cdot 0{,}500 = 30\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\).
Hinter A kommt also ein Viertel der Intensität \(I_1\) an, während es ohne Z völlig dunkel war.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Herleitung. Der Filter Z habe die Durchlassrichtung \(\beta\) mit \(0^\circ \le \beta \le 90^\circ\). Zweimalige Anwendung des Gesetzes von Malus liefert
\(I_3(\beta) = I_1\cos^2\beta\cdot\cos^2(90^\circ-\beta) = I_1\cos^2\beta\cdot\sin^2\beta\).
Mit \(\sin\beta\cos\beta = \dfrac{1}{2}\sin(2\beta)\) folgt
\(I_3(\beta) = I_1\cdot\dfrac{1}{4}\sin^2(2\beta)\).
Der Ausdruck wird maximal, wenn \(\sin^2(2\beta) = 1\) ist, also für \(2\beta = 90^\circ\) und damit \(\beta = 45^\circ\). Der größtmögliche Wert beträgt \(I_{3,\max} = \dfrac{I_1}{4} = 30\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\) — genau das in b) berechnete Ergebnis. Für \(\beta = 0^\circ\) oder \(\beta = 90^\circ\) wird \(I_3 = 0\), denn dann steht Z parallel zu einem der beiden äußeren Filter und ändert nichts.
Beurteilung der Aussage. Die Aussage ist in dieser Allgemeinheit falsch. Richtig ist sie nur für den Vergleich zweier aufeinanderfolgender Stellen im Strahlengang: Hinter jedem einzelnen Filter ist die Intensität kleiner als davor, denn \(\cos^2\theta \le 1\). Falsch ist die Aussage jedoch für die Gesamtanordnung: Vergleicht man die Intensität hinter A mit und ohne Z, so steigt sie von 0 auf \(30\ \mathrm{\frac{W}{m^2}}\).
Der Grund ist, dass ein Polarisationsfilter nicht nur wie eine Blende Licht wegnimmt, sondern die Schwingungsrichtung des durchgelassenen Lichts festlegt. Genau diese Drehung der Schwingungsrichtung macht den anschließenden Durchgang durch A überhaupt erst möglich. Ein Filter ist damit ein aktiv umformendes Bauteil, kein bloßer Abschwächer — deshalb ist der intuitive Schluss der Aussage nicht haltbar.