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AbituraufgabenÜberlagerung und Interferenz

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

1

Zwei Lautsprecher in der Aula

AFB II

In einer Aula stehen zwei baugleiche Lautsprecher übereinander an derselben Wand. Sie werden vom selben Verstärker angesteuert und geben deshalb gleichphasig einen reinen Ton der Frequenz \(f = 680\ \mathrm{Hz}\) ab. Ein Zuhörer sitzt im Punkt P; die Schallwege betragen \(s_1 = 4{,}25\ \mathrm{m}\) und \(s_2 = 5{,}00\ \mathrm{m}\) (Material M1). Die Schallgeschwindigkeit beträgt \(c = 340\ \mathrm{\frac{m}{s}}\).

M1Zwei gleichphasig betriebene Lautsprecher
L₁ L₂ P (Zuhörer) s₁ = 4,25 m s₂ = 5,00 m beide Lautsprecher schwingen gleichphasig (f = 680 Hz) Skizze nicht maßstäblich

Beide Lautsprecher werden vom selben Verstärker angesteuert und schwingen deshalb im Takt.

  1. Berechnen Sie die Wellenlänge des Tons.
  2. Bestimmen Sie den Gangunterschied im Punkt P und entscheiden Sie begründet, ob der Zuhörer den Ton dort besonders laut oder besonders leise hört.
  3. Der Zuhörer rückt seinen Stuhl so, dass sich \(s_2\) vergrößert, \(s_1\) aber unverändert bleibt. Berechnen Sie den kleinsten Wert von \(s_2\), bei dem er wieder ein Lautstärkemaximum hört, und erklären Sie, warum in einem realen Raum an den Minima nie völlige Stille herrscht.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(\lambda = \dfrac{c}{f}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \(c = \lambda f \Rightarrow \lambda = \dfrac{c}{f}\).
\(\lambda = \dfrac{340\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{680\ \mathrm{Hz}} = 0{,}50\ \mathrm{m}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Der Gangunterschied ist \(\Delta s = |s_2 - s_1|\). Drücke ihn anschließend als Vielfaches von \(\lambda\) aus und vergleiche mit den beiden Bedingungen \(\Delta s = n\lambda\) bzw. \(\Delta s = \left(n+\tfrac12\right)\lambda\).„Entscheiden“ verlangt eine klare Festlegung mit fachlicher Begründung, nicht nur die Rechnung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\Delta s = s_2 - s_1 = 5{,}00\ \mathrm{m} - 4{,}25\ \mathrm{m} = 0{,}75\ \mathrm{m}\).

Als Vielfaches der Wellenlänge: \(\dfrac{\Delta s}{\lambda} = \dfrac{0{,}75\ \mathrm{m}}{0{,}50\ \mathrm{m}} = 1{,}5\), also \(\Delta s = 1{,}5\,\lambda = \left(1+\tfrac12\right)\lambda\).

Das ist genau die Bedingung für destruktive Interferenz mit \(n = 1\). Die beiden Wellen treffen in P gegenphasig ein — auf einen Wellenberg der einen Welle fällt ein Wellental der anderen. Die Auslenkungen heben sich auf. Der Zuhörer hört den Ton dort also besonders leise.

Hinweis zu Aufgabe c)
Für ein Maximum muss der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches von \(\lambda\) sein. Welches ist das nächstgrößere nach dem Wert aus b)? Für den zweiten Teil: Woher kommt in einem Raum außer dem direkten Schall noch weiterer Schall?
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bedingung für ein Maximum: \(\Delta s = n\lambda\). Der aktuelle Wert ist \(1{,}5\lambda\); das nächstgrößere ganzzahlige Vielfache ist \(2\lambda\).

\(\Delta s = 2\lambda = 2\cdot 0{,}50\ \mathrm{m} = 1{,}00\ \mathrm{m}\).
\(s_2 = s_1 + \Delta s = 4{,}25\ \mathrm{m} + 1{,}00\ \mathrm{m} = 5{,}25\ \mathrm{m}\).

Der Zuhörer muss den zweiten Schallweg also um \(0{,}25\ \mathrm{m} = \dfrac{\lambda}{2}\) verlängern.

Warum keine völlige Stille herrscht: Vollständige Auslöschung setzt voraus, dass beide Wellen am Ort des Zuhörers exakt dieselbe Amplitude haben. Das ist nie erfüllt. Erstens ist \(s_2\) größer als \(s_1\), sodass die Welle aus \(L_2\) stärker geschwächt ankommt. Zweitens erreicht den Zuhörer nicht nur der direkte Schall, sondern zusätzlich Schall, der an Wänden, Decke und Boden reflektiert wurde; diese Anteile haben ganz andere Gangunterschiede und löschen sich nicht aus. Drittens ist reale Musik oder Sprache kein reiner Ton, sondern enthält viele Frequenzen — die Bedingung \(\Delta s = \left(n+\tfrac12\right)\lambda\) kann immer nur für einzelne von ihnen erfüllt sein. Man hört an solchen Stellen daher eine deutliche Abschwächung, aber keine Stille.

2

Gegenschall im Lüftungskanal

AFB III

In einem Lüftungskanal erzeugt ein Ventilator ein tieffrequentes Brummen der Frequenz \(f = 100\ \mathrm{Hz}\). Weiter hinten im Kanal wird ein zweiter Lautsprecher eingebaut, der denselben Ton abstrahlt („Gegenschall“). Ziel ist, dass sich beide Schallanteile am Kanalausgang möglichst vollständig auslöschen (Material M2). Es gilt \(c = 340\ \mathrm{\frac{m}{s}}\).

M2Überlagerung von Störschall und Gegenschall
Störschall Gegenschall Überlagerung (Summe) y = 0 — Stille

Beide Wellen haben dieselbe Amplitude und dieselbe Frequenz, sind aber um eine halbe Periode gegeneinander verschoben.

  1. Erklären Sie mithilfe des Superpositionsprinzips, unter welchen Bedingungen sich zwei Schallwellen am Kanalausgang vollständig auslöschen.
  2. Berechnen Sie die Wellenlänge des Brummens und den kleinsten Abstand, um den der Gegenschall-Lautsprecher gegenüber dem Ventilator versetzt werden muss, wenn beide dasselbe Signal gleichphasig abstrahlen.
  3. Für einen Kopfhörer soll dasselbe Prinzip auch bei \(f = 4000\ \mathrm{Hz}\) eingesetzt werden. Berechnen Sie den entsprechenden Abstand und beurteilen Sie auf dieser Grundlage die Aussage: „Aktive Geräuschunterdrückung funktioniert bei allen Frequenzen gleich gut.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Superposition heißt: Die Auslenkungen beider Wellen addieren sich an jedem Ort und zu jeder Zeit. Damit die Summe überall null ist, müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein — eine für die Amplituden und eine für die Phase.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Nach dem Superpositionsprinzip addieren sich die Auslenkungen beider Wellen an jedem Ort und zu jeder Zeit vorzeichenrichtig. Damit die Summe überall und dauerhaft null ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

1. Gleiche Amplitude: Beide Wellen müssen am Kanalausgang gleich große Auslenkungen haben. Ist eine Welle größer, bleibt ein Rest übrig.

2. Gegenphasigkeit: Die Wellen müssen um eine halbe Periode gegeneinander verschoben sein, also \(\Delta\varphi = \pi\) bzw. \(\Delta s = \left(n+\tfrac12\right)\lambda\). Auf jeden Wellenberg der einen Welle fällt dann ein gleich großes Wellental der anderen.

Genau das zeigt M2: Die Summenkurve ist überall null. Zusätzlich müssen beide Wellen dieselbe Frequenz haben — sonst verschiebt sich die Phasenlage laufend und die Auslöschung hielte nur einen Augenblick an.

Hinweis zu Aufgabe b)
Zuerst \(\lambda = \dfrac{c}{f}\). Der Gangunterschied muss dann \(\dfrac{\lambda}{2}\) betragen, damit die Wellen gegenphasig ankommen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(\lambda = \dfrac{c}{f}\).
\(\lambda = \dfrac{340\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{100\ \mathrm{Hz}} = 3{,}4\ \mathrm{m}\).

Für Gegenphasigkeit muss der Gangunterschied \(\dfrac{\lambda}{2}\) betragen:
\(\Delta s = \dfrac{3{,}4\ \mathrm{m}}{2} = 1{,}7\ \mathrm{m}\).

Der Gegenschall-Lautsprecher muss also 1,7 m versetzt eingebaut werden. Gleichwertig könnte man ihn am selben Ort belassen und sein Signal elektronisch um \(\dfrac{T}{2} = \dfrac{1}{2\cdot 100\ \mathrm{Hz}} = 5{,}0\ \mathrm{ms}\) verzögern — in der Praxis wird genau das gemacht.

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche den berechneten Abstand mit typischen Bewegungen eines Kopfes oder mit der Bautoleranz eines Kopfhörers. Was passiert, wenn der Abstand um wenige Zentimeter abweicht?„Beurteilen“ verlangt ein begründetes Urteil, das deine Rechenergebnisse für beide Frequenzen einbezieht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für \(f = 4000\ \mathrm{Hz}\):
\(\lambda = \dfrac{340\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{4000\ \mathrm{Hz}} = 0{,}085\ \mathrm{m} = 8{,}5\ \mathrm{cm}\).
\(\Delta s = \dfrac{\lambda}{2} = 4{,}3\ \mathrm{cm}\).

Beurteilung. Die Aussage ist nicht haltbar. Entscheidend ist nicht der Abstand selbst, sondern wie genau er eingehalten werden muss.

Bei 100 Hz beträgt die halbe Wellenlänge 1,7 m. Weicht die Position um 5 cm ab, so ändert sich der Gangunterschied nur um etwa 3 % einer halben Wellenlänge; die Auslöschung bleibt fast vollständig erhalten. Bei 4000 Hz beträgt die halbe Wellenlänge dagegen nur 4,3 cm. Dieselbe Abweichung von 5 cm ist dann größer als \(\dfrac{\lambda}{2}\) — aus der Auslöschung kann sogar eine Verstärkung werden.

Da sich ein Kopf im Kopfhörer ständig um mehrere Zentimeter bewegt und auch die Bauteiltoleranzen in dieser Größenordnung liegen, lässt sich die nötige Genauigkeit bei hohen Frequenzen nicht einhalten. Aktive Geräuschunterdrückung wirkt deshalb vor allem im tieffrequenten Bereich (Motoren-, Fahrtwind- und Ventilatorbrummen). Hohe Frequenzen werden in der Praxis nicht aktiv ausgelöscht, sondern passiv durch Dämmmaterial abgeschirmt — was dort auch gut funktioniert, weil kurze Wellen sich schlechter um Hindernisse herumbeugen. Beide Verfahren ergänzen sich also.