Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDer Zeigerformalismus — Erklärung, Video nachlesen.
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Übungsaufgaben
1Das Zeigermodell in WortenAFB I
Vervollständigen Sie den Text zum Zeigerformalismus.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Der Zeiger ist ein Pfeil, dessen Länge genau der ŷ entspricht. Er dreht sich im Kreis. Sein Drehwinkel heißt φ und wächst nach φ = ω·t; dabei ist ω die . Die senkrechte der Zeigerspitze auf die y-Achse ist die momentane Auslenkung — Punkt für Punkt entsteht so die .
Halte die beiden Ebenen auseinander: Der Zeiger dreht sich gleichförmig, seine Projektion bewegt sich ungleichförmig. Genau dieser Unterschied ist der ganze Trick des Modells — aus einer sehr einfachen Bewegung (Kreis mit konstanter Winkelgeschwindigkeit) entsteht die auf den ersten Blick komplizierte Sinusschwingung. Die Zeigerlänge ändert sich dabei nie, sie ist die Amplitude.
2Winkel und Auslenkung verbindenAFB I
Ein Zeiger hat die Länge \(\hat{y}=10\,\mathrm{cm}\).
Verbinden Sie jeden Phasenwinkel mit der zugehörigen Auslenkung \(y=\hat{y}\sin\varphi\).Klicke links einen Winkel an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie.
Beachte, dass die Auslenkung nicht proportional zum Winkel wächst: Von 0° auf 30° legt die Projektion die halbe Amplitude zurück, von 60° auf 90° nur noch 1,3 cm. Der Sinus flacht zum Umkehrpunkt hin ab — anschaulich, weil sich die Zeigerspitze dort fast waagerecht bewegt und ihre Höhe kaum noch ändert.
3Auslenkung berechnenAFB I
Ein Zeiger der Länge \(\hat{y}=7{,}0\,\mathrm{cm}\) hat sich um \(\varphi=30^\circ\) gedreht.
Berechnen Sie die Auslenkung \(y\) in Zentimetern.Setze in y = ŷ·sinφ ein. Der Sinus von 30° ist 0,5. Dezimaltrennzeichen egal.
Der Rechenweg ist immer derselbe: y = 7,0 cm · sin 30° = 7,0 cm · 0,5 = 3,5 cm. Der klassische Fehler ist, den Winkel mit der Zeigerlänge zu multiplizieren (7,0 · 30). Der Winkel steht im Sinus und verlässt ihn nie — heraus kommt stets eine reine Zahl zwischen −1 und 1, die dann die Amplitude skaliert. Prüfe außerdem, ob der Taschenrechner auf Grad (DEG) steht.
4Nach Auslenkung ordnenAFB II
Ordnen Sie die Zeigerstellungen nach wachsender Auslenkung \(y=\hat{y}\sin\varphi\) — von der kleinsten zur größten.
Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1φ = 0° → y = 0
2φ = 150° → y = 0,50 · ŷ
3φ = 45° → y = 0,71 · ŷ
4φ = 120° → y = 0,87 · ŷ
5φ = 90° → y = 1,00 · ŷ
Wer nur nach der Größe des Winkels sortiert, landet falsch: Der Sinus steigt nur bis 90° an und fällt danach wieder. Deshalb liefert 150° dieselbe Auslenkung wie 30° und 120° dieselbe wie 60° — der Zeiger steht dann spiegelbildlich zur y-Achse, seine Höhe über der Waagerechten ist aber gleich. Am Zeigerbild erkennt man das sofort, an der Formel erst nach kurzem Nachdenken.
5Die Formel zusammenbauenAFB II
Bauen Sie die Gleichung zusammen, mit der man die Auslenkung aus dem Zeiger berechnet.
Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an — sie wandern nacheinander in die Plätze. Ein Klick auf einen gesetzten Baustein legt ihn zurück.
Zwei Bausteine sind Fallen. cos statt sin würde bedeuten, dass die Schwingung bei t = 0 bereits voll ausgelenkt startet — das beschreibt einen Zeiger, der senkrecht nach oben losläuft. Und sin(ω + t) ist schon von den Einheiten her unmöglich: In der Klammer muss ein Winkel stehen, und den erhält man nur aus dem Produkt ω·t (1/s mal s).
6Was gilt bei welcher Zeigerstellung?AFB II
Kreuzen Sie an, welche Aussagen für die jeweilige Zeigerstellung zutreffen (jeweils zwei Kreuze pro Zeile).
Setze in jeder Zeile die zutreffenden Kreuze und prüfe dann die ganze Tabelle.
| Zeigerstellung | Auslenkung y = 0 | Auslenkung betragsmäßig maximal | Körper am schnellsten | Körper momentan in Ruhe |
|---|---|---|---|---|
| φ = 0° (Zeiger waagerecht rechts) | ||||
| φ = 90° (Zeiger senkrecht oben) | ||||
| φ = 180° (Zeiger waagerecht links) | ||||
| φ = 270° (Zeiger senkrecht unten) |
Auslenkung und Geschwindigkeit sind gegeneinander um 90° verschoben — wo die eine maximal ist, ist die andere null. Das Zeigerbild erklärt warum: Steht der Zeiger waagerecht, bewegt sich seine Spitze senkrecht, die Projektion ändert sich also am schnellsten. Steht er senkrecht, läuft die Spitze fast waagerecht, die Höhe bleibt kurz stehen. Deshalb ist der Umkehrpunkt der Ort der größten Auslenkung und zugleich der Ort der Ruhe.
7Halbe Amplitude — bei welchem Winkel?AFB II
Schätzen Sie, bei welchem Phasenwinkel die Projektion zum ersten Mal genau die halbe Amplitude erreicht.
8Vom Zeiger zur Auslenkung — Schritt für SchrittAFB II
Eine harmonische Schwingung hat die Periodendauer \(T=2{,}0\,\mathrm s\) und die Amplitude \(\hat{y}=5{,}0\,\mathrm{cm}\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) ist \(\varphi=0\).
Rechnen Sie Schritt für Schritt bis zur Auslenkung nach 0,25 s.Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wie groß ist die Kreisfrequenz ω? (2π ÷ T)1/s
- Um welchen Phasenwinkel hat sich der Zeiger nach t = 0,25 s gedreht? (ω·t, in Grad)°
- Welche Auslenkung gehört dazu? (ŷ·sinφ)cm
- Nach welcher Zeit steht der Zeiger erstmals senkrecht (φ = 90°)? (T ÷ 4)s
Die Kette zeigt den Nutzen des Modells: Über ω = 2π/T wird aus einer Zeit ein Winkel, und der Sinus macht daraus eine Länge. Achte auf den Wechsel der Einheiten — ω·t liefert zunächst 0,785 im Bogenmaß, was 45° entspricht. Der letzte Schritt ist eine nützliche Merkregel: Eine Vierteldrehung des Zeigers dauert immer T/4, deshalb liegt der erste Umkehrpunkt stets nach einem Viertel der Periode.
9Fehler im SchülerheftAFB III
Finden Sie die falschen Zeilen in diesem Heftauszug und klicken Sie sie an.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Alle drei Fehler kommen von derselben Verwechslung: Die Eigenschaften des Zeigers werden mit denen der Schwingung vermischt. Der Zeiger dreht sich gleichmäßig und ist immer gleich lang; ungleichmäßig ist erst das, was man auf der y-Achse abliest. Und ein Winkel wird nie direkt mit einer Länge multipliziert — er geht ausschließlich über den Sinus in die Rechnung ein, dessen Ergebnis höchstens 1 werden kann. Schon das macht ein Ergebnis von 120 cm bei 4,0 cm Zeigerlänge unmöglich.
10Zeiger oder Schwingung?AFB III
Ordnen Sie jede Eigenschaft dem rotierenden Zeiger, der Schwingung \(y(t)\) oder beiden zu.
Ziehe jeden Begriff in den passenden Bereich — oder wähle ihn mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Bereichs.
1 nur der rotierende Zeiger
2 nur die Schwingung y(t)
3 beides
Die drei gemeinsamen Eigenschaften sind der Grund, warum das Modell überhaupt funktioniert: Amplitude, Periodendauer und Kreisfrequenz haben in beiden Bildern genau dieselbe Bedeutung. Alles, was ausschließlich beim Zeiger steht, beschreibt die gleichförmige Drehung; alles, was nur der Schwingung gehört, beschreibt das Hin und Her auf einer Geraden. Wer diese Trennung verinnerlicht hat, kann jede Schwingungsaufgabe wahlweise am Kreis oder am Graphen lösen — und wählt dann den bequemeren Weg.