Blattfeder unter dem Bewegungssensor
AFB IIIn einem Praktikumsversuch wird eine dünne Blattfeder am Tischrand eingespannt, kurz angetippt und dann sich selbst überlassen. Ein Bewegungssensor zeichnet die Auslenkung \(y\) des freien Endes gegenüber der Ruhelage auf und erzeugt daraus das Diagramm in Material M1. Die Reibung ist über den dargestellten Zeitraum vernachlässigbar klein.
Kurve 1 zeigt die Schwingung der unbelasteten Blattfeder, Kurve 2 dieselbe Feder nach dem Aufkleben eines kleinen Zusatzgewichts. Ein Kästchen entspricht waagerecht \(0{,}05\,\mathrm s\) und senkrecht \(0{,}5\,\mathrm{cm}\).
- Ermitteln Sie aus Kurve 1 in M1 die Amplitude und die Periodendauer der Schwingung und berechnen Sie daraus die Frequenz. Beschreiben Sie außerdem den Bewegungsablauf im Zeitraum \(0 \le t \le 0{,}40\,\mathrm s\) unter Verwendung der Begriffe Ruhelage und Umkehrpunkt.
- Berechnen Sie, wie viele vollständige Schwingungen die unbelastete Blattfeder in einer Minute ausführt, und geben Sie alle Zeitpunkte im Bereich \(0 \le t \le 0{,}40\,\mathrm s\) an, zu denen sie die Ruhelage durchläuft.
- Vergleichen Sie die beiden Kurven aus M1 hinsichtlich Amplitude, Periodendauer und Frequenz und beurteilen Sie die Aussage einer Schülerin: „Kurve 2 gehört zu einer schwächeren Schwingung, denn die Feder braucht dort länger für eine Schwingung."
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aus Kurve 1: Die größte Auslenkung beträgt \(\hat{y}=3{,}0\,\mathrm{cm}\) (6 Kästchen zu je \(0{,}5\,\mathrm{cm}\)). Von einem Maximum zum nächsten vergehen 8 Kästchen, also \(T=0{,}40\,\mathrm s\).
Frequenz: \(\displaystyle f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0{,}40\,\mathrm s}=2{,}5\,\mathrm{Hz}\).
Bewegungsablauf: Zum Zeitpunkt \(t=0\) befindet sich das Federende in der Ruhelage und bewegt sich nach oben. Bei \(t=0{,}10\,\mathrm s\) erreicht es den oberen Umkehrpunkt \((y=+3{,}0\,\mathrm{cm})\), bleibt dort einen Augenblick stehen und kehrt um. Bei \(t=0{,}20\,\mathrm s\) durchläuft es die Ruhelage — dort ist es am schnellsten —, bei \(t=0{,}30\,\mathrm s\) folgt der untere Umkehrpunkt \((y=-3{,}0\,\mathrm{cm})\). Bei \(t=0{,}40\,\mathrm s\) ist es wieder in der Ruhelage: eine vollständige Schwingung ist beendet.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Anzahl: \(\displaystyle n=\frac{60\,\mathrm s}{T}=\frac{60\,\mathrm s}{0{,}40\,\mathrm s}=150\) Schwingungen; gleichwertig \(n=f\cdot 60\,\mathrm s = 2{,}5\,\mathrm{Hz}\cdot 60\,\mathrm s = 150\).
Die Ruhelage wird immer dann durchlaufen, wenn \(y=0\) ist. Im angegebenen Bereich ist das bei \(t=0\), \(t=0{,}20\,\mathrm s\) und \(t=0{,}40\,\mathrm s\) der Fall — pro voller Schwingung also zweimal (der Randpunkt \(t=0{,}40\,\mathrm s\) gehört bereits zur nächsten Schwingung).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Vergleich: Beide Kurven haben dieselbe Amplitude \(\hat{y}=3{,}0\,\mathrm{cm}\). Die Periodendauer ist verschieden: \(T_1=0{,}40\,\mathrm s\), \(T_2=0{,}60\,\mathrm s\). Damit sind auch die Frequenzen verschieden: \(f_1=2{,}5\,\mathrm{Hz}\), \(\displaystyle f_2=\frac{1}{0{,}60\,\mathrm s}=1{,}7\,\mathrm{Hz}\).
Beurteilung: Die Aussage ist zurückzuweisen. Sie verknüpft zwei Kenngrößen, die unabhängig voneinander sind. Wie weit die Feder ausschlägt, beschreibt allein die Amplitude — und die ist in beiden Fällen gleich groß. Die Periodendauer sagt nur, wie lange eine Schwingung dauert. Kurve 2 gehört also zu einer langsameren, nicht zu einer schwächeren Schwingung. Richtig ist lediglich der Schluss von \(T_2>T_1\) auf \(f_2<f_1\), denn \(f\) und \(T\) sind zueinander umgekehrt proportional.
Wie genau ist eine Handmessung?
AFB IIIEine Praktikumsgruppe soll die Schwingungsdauer eines Pendels von Hand bestimmen. Dazu stoppt sie mit einer Handstoppuhr fünfmal die Zeit \(t_{10}\) für jeweils zehn vollständige Schwingungen (Material M1). Anschließend diskutiert die Gruppe über das Messverfahren (Material M2). Die menschliche Reaktionszeit beim Starten und Stoppen der Uhr beträgt jeweils etwa \(0{,}2\,\mathrm s\).
| Messung | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(t_{10}\) in s | 12,8 | 12,9 | 12,7 | 13,0 | 12,8 |
- Berechnen Sie aus den Messwerten in M1 die Periodendauer \(T\) und die Frequenz \(f\) des Pendels.
- Begründen Sie, warum die Gruppe die Zeit für zehn Schwingungen und nicht für eine einzelne Schwingung stoppt, und schätzen Sie ab, wie groß die durch die Reaktionszeit verursachte Unsicherheit von \(T\) bei beiden Verfahren jeweils ist.
- Nehmen Sie zu den beiden Aussagen in M2 Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Mittelwert der Messreihe: \(\displaystyle \bar{t}_{10}=\frac{12{,}8+12{,}9+12{,}7+13{,}0+12{,}8}{5}\,\mathrm s=\frac{64{,}2\,\mathrm s}{5}=12{,}84\,\mathrm s\).
Periodendauer: \(\displaystyle T=\frac{\bar{t}_{10}}{10}=\frac{12{,}84\,\mathrm s}{10}=1{,}284\,\mathrm s \approx 1{,}28\,\mathrm s\).
Frequenz: \(\displaystyle f=\frac{1}{T}=\frac{1}{1{,}284\,\mathrm s}=0{,}779\,\mathrm{Hz}\approx 0{,}78\,\mathrm{Hz}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Begründung: Die Reaktionszeit verfälscht jede Zeitmessung um etwa \(0{,}2\,\mathrm s\) — und zwar unabhängig von der gestoppten Dauer. Misst man zehn Schwingungen und teilt anschließend durch 10, so wird auch dieser Fehler durch 10 geteilt. Der relative Fehler wird also um den Faktor 10 kleiner, ohne dass man ein besseres Messgerät braucht.
Abschätzung: Bei einer einzelnen Schwingung ginge der volle Fehler in \(T\) ein: \(\Delta T \approx 0{,}2\,\mathrm s\) bei \(T\approx 1{,}3\,\mathrm s\), also rund \(15\,\%\). Bei zehn Schwingungen gilt \(\displaystyle \Delta T \approx \frac{0{,}2\,\mathrm s}{10}=0{,}02\,\mathrm s\), also nur noch etwa \(1{,}5\,\%\). Das passt zur Streuung der Messwerte in M1: Sie liegen um höchstens \(0{,}2\,\mathrm s\) auseinander.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zu Lena: Die Aussage ist zurückzuweisen. Zwar ist eine Einzelmessung schneller durchgeführt, doch der Reaktionsfehler von etwa \(0{,}2\,\mathrm s\) trifft dann die volle Schwingungsdauer und macht rund \(15\,\%\) aus (siehe Teilaufgabe b). Genau umgekehrt wird ein Schuh daraus: Je mehr Schwingungen man in einer Messung zusammenfasst, desto kleiner wird der Fehler pro Schwingung. Lenas Verfahren ist das ungenaueste, nicht das genaueste.
Zu Tarek: Die Aussage klingt plausibel, ist aber ebenfalls zurückzuweisen. Im Umkehrpunkt ist das Pendel zwar gut zu sehen, doch es bewegt sich dort kaum: Der Körper verweilt scheinbar längere Zeit in der Nähe des Umkehrpunktes, sodass der genaue Zeitpunkt des Umkehrens nur ungenau festzulegen ist. Beim Durchgang durch die Ruhelage ist das Pendel dagegen am schnellsten; es passiert die Marke in sehr kurzer Zeit, und der Zeitpunkt lässt sich deshalb scharf treffen. Man startet und stoppt die Uhr daher sinnvollerweise beim Nulldurchgang, am besten mit einer festen Marke im Hintergrund.
Fazit: Die Gruppe sollte weiterhin zehn Schwingungen messen, die Uhr aber in der Ruhelage starten und stoppen und die Messung wie in M1 mehrfach wiederholen.