Zum NachschlagenZurück zur ErklärungHarmonische Schwingungen — Erklärung, Video nachlesen.
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Übungsaufgaben
1Aussagen prüfenAFB I
Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Die dritte und die vierte Aussage sind die beiden typischen Stolpersteine. Beim Kraftgesetz sagt das Wort „proportional“, dass die Kraft mitwächst — das Minuszeichen dreht nur die Richtung, nicht die Größe. Und die Kreisfrequenz ist eine reine Zeitgröße: Ein Federpendel schwingt im selben Takt, ob man es 1 cm oder 5 cm auslenkt. Genau diese Unabhängigkeit macht Pendeluhren überhaupt erst brauchbar.
2Das lineare KraftgesetzAFB I
Wählen Sie alle Aussagen aus, die für \(F=-D\cdot y\) zutreffen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Das Kraftgesetz ist die Ursache, der Sinusverlauf die Folge — nur wenn F proportional zu y ist, kommt als Bewegung eine reine Sinuskurve heraus. Beachten Sie den Widerspruch zwischen Kraft und Geschwindigkeit: In der Ruhelage ist die Kraft null, aber die Geschwindigkeit maximal; am Umkehrpunkt ist es genau andersherum. Die Kraft beschleunigt den Körper also gerade dort am stärksten, wo er am langsamsten ist.
3Wovon hängt die Größe ab?AFB I
Ordnen Sie jede Größe dem Bereich zu, der angibt, wovon sie bei \(y(t)=\hat{y}\sin(\omega t)\) abhängt.
Ziehe jeden Begriff in den passenden Bereich — oder wähle ihn mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Bereichs.
1 hängt nur von der Amplitude ŷ ab
2 hängt nur von T bzw. f ab
3 hängt von beidem ab
Die Sinusfunktion trennt die beiden Rollen sauber: Der Vorfaktor ŷ regelt allein die Höhe der Kurve, das Argument ωt allein den Takt. Alles, was aus dem Produkt beider Teile entsteht, hängt folglich von beiden Größen ab — etwa die größte Geschwindigkeit: Mehr Weg in derselben Zeit oder derselbe Weg in kürzerer Zeit macht den Körper schneller. Diese Aufteilung erklärt auch, warum eine Schaukel bei doppelter Auslenkung doppelt so schnell durch den tiefsten Punkt fegt, aber trotzdem im gleichen Takt bleibt.
4Die Zeit-Ort-Funktion bauenAFB II
Setzen Sie die Zeit-Ort-Funktion einer harmonischen Schwingung aus den Bausteinen zusammen.
Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an. Ein Klick auf einen belegten Platz gibt den Baustein zurück.
Zwei Bausteine sind besonders verführerisch. −D gehört zum Kraftgesetz F = −D·y und beschreibt die Ursache, nicht den Ort — es hat in der Zeit-Ort-Funktion nichts zu suchen. Und ω·sin(t) stellt die Kreisfrequenz an die falsche Stelle: ω gehört ins Argument des Sinus, weil es den Takt bestimmt, während der Faktor davor die Amplitude ist. Die Cosinus-Variante wäre nur dann richtig, wenn die Schwingung im Umkehrpunkt statt in der Ruhelage startet.
5Zeitpunkt und Zustand verbindenAFB II
Verbinden Sie jeden Zeitpunkt mit dem Zustand des Körpers bei \(y(t)=\hat{y}\sin(\omega t)\).
Klicke links einen Zeitpunkt an und dann rechts den passenden Zustand — es entsteht eine Verbindungslinie.
Die Vierteltakte des Sinus sind das Grundgerüst jeder harmonischen Schwingung: 0, +ŷ, 0, −ŷ, 0. Rechnerisch steckt das in sin(ωt), denn ω·T/4 = π/2 und sin(π/2) = 1. Der letzte Punkt ist wichtiger, als er aussieht: Erst bei t = T stimmen Ort und Bewegungsrichtung wieder mit dem Start überein — bei t = T/2 ist zwar y = 0, der Körper läuft dort aber genau andersherum.
6Kreisfrequenz zusammensetzenAFB II
Eine harmonische Schwingung hat die Frequenz \(f=5{,}0\,\mathrm{Hz}\).
Bestimmen Sie die Kreisfrequenz \(\omega\) und stellen Sie den auf ganze \(\tfrac1{\mathrm s}\) gerundeten Wert zusammen.Klicke Bausteine an und aus, bis die Summe genau den Zielwert erreicht. Es gibt mehr Bausteine, als du brauchst.
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Ziel: 31 1/s
Der Rechenweg ist ω = 2πf = 2·3,14·5,0 = 31,4 1/s, gerundet also 31. Merken Sie sich den Faktor: Die Kreisfrequenz ist stets rund sechsmal so groß wie die Frequenz, weil 2π ≈ 6,28 ist. Damit haben Sie eine schnelle Kontrolle — kommt bei einer ω-Rechnung ein Wert heraus, der kleiner als f ist, wurde geteilt statt multipliziert.
7Auslenkung zu einem ZeitpunktAFB II
Eine harmonische Schwingung hat \(\hat{y}=8{,}0\,\mathrm{cm}\) und \(T=2{,}0\,\mathrm s\). Gesucht ist die Auslenkung bei \(t=0{,}25\,\mathrm s\).
Rechnen Sie Schritt für Schritt (Taschenrechner im Bogenmaß).Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wie groß ist die Kreisfrequenz? (ω = 2π ÷ T)1/s
- Welchen Wert hat das Argument ω·t im Bogenmaß?rad
- Wie groß ist die Auslenkung? (y = ŷ · sin des Arguments)cm
- Wann wird der erste Umkehrpunkt erreicht? (t = T ÷ 4)s
Der zweite Schritt entscheidet über Erfolg oder Misserfolg: ω·t = 0,785 ist eine Zahl im Bogenmaß und entspricht 45°. Steht der Rechner auf Grad, liefert sin(0,785) den Wert 0,0137 und damit eine Auslenkung von 0,11 cm statt 5,66 cm — ein Fehler um mehr als den Faktor 50. Das Ergebnis lässt sich außerdem gut prüfen: Bei einem Achtel der Periode muss y zwischen 0 und ŷ liegen, und 5,66 cm sind genau 0,71·ŷ.
8Energie im Verlauf einer SchwingungAFB II
Kreuzen Sie an, was zu den einzelnen Zeitpunkten jeweils maximal ist.
Klicke jede Zelle an, die zutrifft — ein zweiter Klick nimmt die Markierung zurück. Pro Zeile sind zwei Häkchen richtig.
| Zeitpunkt | Auslenkung y maximal | Geschwindigkeit maximal | potentielle Energie maximal | kinetische Energie maximal |
|---|---|---|---|---|
| t = 0 — Körper in der Ruhelage | ||||
| t = T/4 — Körper im Umkehrpunkt | ||||
| t = T/2 — Körper in der Ruhelage | ||||
| t = 3T/4 — Körper im Umkehrpunkt |
Lesen Sie die Tabelle spaltenweise: Die Spalten „Auslenkung“ und „potentielle Energie“ sind identisch gefüllt, ebenso „Geschwindigkeit“ und „kinetische Energie“ — und die beiden Paare sind zueinander genau gegenläufig. Genau das ist die Energieumwandlung der Schwingung: Am Umkehrpunkt steckt die gesamte Energie in der gespannten Feder bzw. der Lage, in der Ruhelage vollständig in der Bewegung. Die Summe bleibt dabei konstant, solange keine Reibung auftritt; zweimal pro Periode wird die Energie also vollständig hin- und wieder zurückverwandelt.
9Fehler im SchülerheftAFB III
Finden Sie die falschen Zeilen in diesem Heftauszug und klicken Sie sie an.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die drei Fehler treffen die drei Ebenen, auf denen man bei harmonischen Schwingungen scheitern kann: die Formel (ω = 2πf), die Bedienung (RAD statt DEG) und das Bild im Kopf (Kraft ist nicht Geschwindigkeit). Der letzte ist der hartnäckigste, weil aus dem Alltag die Vorstellung „viel Kraft, viel Tempo“ mitkommt. Tatsächlich bestimmt die Kraft nur die Beschleunigung — die Geschwindigkeit ist das aufsummierte Ergebnis der bisherigen Beschleunigung und hinkt der Kraft deshalb um eine Viertelperiode hinterher.
10Harmonisch oder nicht?AFB III
Ein Federpendel wird um wenige Zentimeter ausgelenkt; eine Messung zeigt, dass die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung wächst. Die Reibung ist über den Beobachtungszeitraum vernachlässigbar.
Bestimmen Sie über den Entscheidungsbaum, welcher Fall vorliegt.Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Der Baum erzwingt die richtige Prüfreihenfolge: erst die Kraft, dann die Kurve. Ob eine Schwingung harmonisch ist, entscheidet man nicht durch Hinschauen, sondern am Kraftgesetz — nur aus F = −D·y folgt zwingend ein Sinus. Der zweite Ast ist praktisch bedeutsam: Ein Fadenpendel (4.2.2) erfüllt das lineare Kraftgesetz nur bei kleinen Auslenkungen; bei weit ausschwingenden Pendeln wird die Bewegung anharmonisch, und die Periodendauer hängt plötzlich doch von der Amplitude ab.