Erklärung — Sinus, Kreisfrequenz und Kraftgesetz
Die Zeit-Ort-Funktion
Misst man die Schwingung eines Federpendels genau, ist ihr Weg-Zeit-Diagramm (4.1.1) eine reine Sinuskurve.
- Harmonisch:so heißt eine Schwingung, deren Weg-Zeit-Diagramm eine reine Sinuskurve ist.
- Start in der Ruhelage:die Kurve beginnt bei \(y=0\) und steigt an — deshalb ein Sinus.
- Kreisfrequenz \(\omega\):Faktor vor \(t\), der dafür sorgt, dass nach genau einer Periodendauer \(T\) das Argument \(2\pi\) erreicht ist: \(\omega\cdot T=2\pi\).
\(y(t)=\hat{y}\cdot\sin(\omega\, t)\)
\(\hat{y}\): Amplitude, \(\omega\): Kreisfrequenz, t: Zeit
\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f\)
Einheit: \(\tfrac{1}{\mathrm s}\) (rad/s)
Amplitude, Periodendauer und Zeitpunkt bestimmen den Marker auf der Sinuskurve. Der orangene Marker zeigt die Auslenkung y zu diesem Zeitpunkt.
Warum gerade ein Sinus?
Ursache ist die rücktreibende Kraft. Wächst sie proportional zur Auslenkung und zeigt stets zur Ruhelage, entsteht eine harmonische Schwingung — bei der Feder ist das das Hookesche Gesetz aus der Mittelstufe:
\(F=-D\cdot y\)
D: Richtgröße (bei der Feder die Federhärte); das Minuszeichen zeigt: Kraft entgegen der Auslenkung
Auslenkung zu einem Zeitpunkt
Eine harmonische Schwingung hat \(\hat{y}=5{,}0\,\mathrm{cm}\) und \(T=2{,}0\,\mathrm s\). Welche Auslenkung herrscht bei \(t=0{,}5\,\mathrm s\)?
Allgemeine Hinweise
Omega
\(\omega=2\pi f\). Erst \(\omega\) berechnen, dann in die Sinusfunktion einsetzen.
Taschenrechner
Bei \(\sin(\omega t)\) muss der Rechner im Bogenmaß (RAD) stehen!
Minuszeichen
\(F=-D y\): Die Kraft zeigt immer zur Ruhelage zurück.