Die Membran eines Lautsprechers
AFB IIEin Lautsprecher wird mit einem reinen Sinuston betrieben (Material M1). Seine Membran führt dabei eine harmonische Schwingung um die Ruhelage aus. Die zugehörigen Daten sind dem Datenblatt in Material M2 zu entnehmen. Zum Zeitpunkt \(t=0\) befindet sich die Membran in der Ruhelage und bewegt sich nach vorn.
Die Schwingspule sitzt im Feld des Dauermagneten und zieht die Membran im Takt des Tonsignals hin und her. Die Membran schwingt dabei harmonisch um ihre Ruhelage.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Frequenz \(f\) | \(200\,\mathrm{Hz}\) |
| Amplitude \(\hat{y}\) | \(0{,}60\,\mathrm{mm}\) |
| Lage bei \(t=0\) | Ruhelage, Bewegung nach vorn |
- Berechnen Sie die Periodendauer und die Kreisfrequenz der Membranschwingung und geben Sie die Zeit-Ort-Funktion \(y(t)\) mit Zahlenwerten an.
- Berechnen Sie die Auslenkung der Membran zum Zeitpunkt \(t=1{,}0\,\mathrm{ms}\) und begründen Sie, warum der Taschenrechner dabei auf das Bogenmaß eingestellt sein muss.
- Ermitteln Sie den ersten Zeitpunkt nach \(t=0\), zu dem die Membran ihre größte Auslenkung erreicht, und zeigen Sie, dass dieser Zeitpunkt einem Viertel der Periodendauer entspricht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Periodendauer: \(\displaystyle T=\frac{1}{f}=\frac{1}{200\,\mathrm{Hz}}=5{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm s=5{,}0\,\mathrm{ms}\).
Kreisfrequenz: \(\displaystyle \omega=2\pi f=2\pi\cdot 200\,\tfrac{1}{\mathrm s}=1{,}257\cdot 10^{3}\,\tfrac{1}{\mathrm s}\).
Zeit-Ort-Funktion: \(\displaystyle y(t)=0{,}60\,\mathrm{mm}\cdot\sin\!\left(1{,}26\cdot 10^{3}\,\tfrac{1}{\mathrm s}\cdot t\right)\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(y(t)=\hat{y}\cdot\sin(\omega t)\) mit \(t=1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm s\).
Winkel: \(\omega t = 1{,}257\cdot 10^{3}\,\tfrac{1}{\mathrm s}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm s = 1{,}257\) (Bogenmaß, entspricht \(72^\circ\)).
Auslenkung: \(y = 0{,}60\,\mathrm{mm}\cdot\sin(1{,}257)=0{,}60\,\mathrm{mm}\cdot 0{,}951=0{,}57\,\mathrm{mm}\).
Begründung zum Bogenmaß: Die Kreisfrequenz hat die Einheit \(\tfrac{1}{\mathrm s}\). Das Produkt \(\omega t\) ist deshalb eine reine Zahl ohne Einheit — und genau so ist ein Winkel im Bogenmaß definiert (Bogenlänge geteilt durch Radius). Steht der Rechner im Gradmaß, deutet er die Zahl \(1{,}257\) als \(1{,}257^\circ\) und liefert \(\sin(1{,}257^\circ)=0{,}022\) statt \(0{,}951\) — das Ergebnis wäre um mehr als den Faktor 40 zu klein.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: Die größte Auslenkung \(y=\hat{y}\) tritt auf, wenn \(\sin(\omega t)=1\), also \(\omega t=\frac{\pi}{2}\) ist.
Umstellen: \(\displaystyle t=\frac{\pi}{2\,\omega}=\frac{\pi}{2\cdot 1{,}257\cdot 10^{3}\,\tfrac{1}{\mathrm s}}=1{,}25\cdot 10^{-3}\,\mathrm s=1{,}25\,\mathrm{ms}\).
Nachweis: \(\displaystyle \frac{T}{4}=\frac{5{,}0\,\mathrm{ms}}{4}=1{,}25\,\mathrm{ms}\) — derselbe Wert. Das ist kein Zufall: Wegen \(\omega=\frac{2\pi}{T}\) folgt allgemein \(\displaystyle t=\frac{\pi}{2\,\omega}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{T}{2\pi}=\frac{T}{4}\). Eine in der Ruhelage startende harmonische Schwingung erreicht den Umkehrpunkt stets nach einem Viertel der Periodendauer.
Wie weit trägt das lineare Kraftgesetz?
AFB IIIAuf einer Luftkissenbahn ist ein Wagen der Masse \(m=0{,}50\,\mathrm{kg}\) zwischen zwei gleichen Schraubenfedern eingespannt. Wird der Wagen aus der Ruhelage ausgelenkt und losgelassen, schwingt er hin und her. Um das Kraftgesetz der Anordnung zu prüfen, zieht eine Praktikumsgruppe den Wagen mit einem Kraftmesser um verschiedene Strecken \(y\) aus der Ruhelage und liest jeweils den Betrag der rücktreibenden Kraft \(F\) ab (Materialien M1 und M2).
| \(y\) in cm | 2,0 | 4,0 | 6,0 | 8,0 | 10,0 | 12,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(F\) in N | 0,50 | 1,00 | 1,52 | 2,00 | 2,49 | 2,70 |
Aufgetragen ist der Betrag der rücktreibenden Kraft über der Auslenkung. Eine Ausgleichsgerade ist bewusst nicht eingezeichnet.
- Weisen Sie anhand der Messwerte in M1 nach, dass für Auslenkungen bis \(10{,}0\,\mathrm{cm}\) ein lineares Kraftgesetz gilt, und ermitteln Sie daraus die Richtgröße \(D\) der Anordnung.
- Begründen Sie mithilfe des linearen Kraftgesetzes, dass der Wagen in diesem Bereich eine harmonische Schwingung ausführt, und erläutern Sie die Bedeutung des Minuszeichens in \(F=-D\cdot y\).
- Beurteilen Sie den Messwert bei \(y=12{,}0\,\mathrm{cm}\) sowie die Aussage eines Schülers: „Weil die Kraft bei \(12\,\mathrm{cm}\) kleiner ausfällt als erwartet, schwingt der Wagen bei so großer Auslenkung schneller hin und her."
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Prüfgröße: Bei einem linearen Kraftgesetz muss \(\frac{F}{y}\) konstant sein.
\(\frac{0{,}50\,\mathrm N}{0{,}020\,\mathrm m}=25{,}0\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\); \(\frac{1{,}00}{0{,}040}=25{,}0\); \(\frac{1{,}52}{0{,}060}=25{,}3\); \(\frac{2{,}00}{0{,}080}=25{,}0\); \(\frac{2{,}49}{0{,}100}=24{,}9\) (jeweils in \(\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\)).
Antwortsatz: Die fünf Quotienten stimmen im Rahmen der Messgenauigkeit überein. Bis \(y=10{,}0\,\mathrm{cm}\) ist die rücktreibende Kraft also proportional zur Auslenkung, es gilt das lineare Kraftgesetz mit der Richtgröße \(D\approx 25\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\). Auch M2 bestätigt dies: Die ersten fünf Messpunkte liegen auf einer Ursprungsgeraden.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Harmonisch ist eine Schwingung genau dann, wenn die rücktreibende Kraft dem Betrag nach proportional zur Auslenkung ist und immer zur Ruhelage zurückzeigt. Die erste Bedingung ist in Teilaufgabe a) gezeigt worden. Die zweite ist durch den Aufbau erfüllt: Wird der Wagen nach rechts ausgelenkt, so wird die rechte Feder gestaucht und die linke gedehnt — beide ziehen bzw. drücken ihn nach links, also zur Ruhelage. Für die Auslenkung nach links gilt dasselbe mit umgekehrten Vorzeichen. Damit führt der Wagen im Bereich bis \(10\,\mathrm{cm}\) eine harmonische Schwingung aus, deren Zeit-Ort-Diagramm eine reine Sinuskurve ist.
Das Minuszeichen in \(F=-D\cdot y\) enthält keine zusätzliche Zahl, sondern eine Richtungsaussage: Kraft und Auslenkung haben stets entgegengesetzte Vorzeichen. Ist \(y>0\), so ist \(F<0\) — die Kraft weist zurück zur Ruhelage. Ohne das Minuszeichen würde der Wagen aus der Ruhelage heraus beschleunigt und käme nie zurück; es gäbe gar keine Schwingung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Erwartung nach dem linearen Gesetz: \(F=D\cdot y = 25\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\cdot 0{,}120\,\mathrm m = 3{,}00\,\mathrm N\). Gemessen wurden aber nur \(2{,}70\,\mathrm N\), also rund \(10\,\%\) weniger. Der Quotient fällt hier auf \(\frac{2{,}70\,\mathrm N}{0{,}120\,\mathrm m}=22{,}5\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\) — die Abweichung ist deutlich größer als die Streuung der übrigen Messwerte und daher nicht mit Messunsicherheit zu erklären. Bei \(12\,\mathrm{cm}\) verlässt die Feder ihren linearen Bereich; das Kraftgesetz \(F=-D\,y\) gilt dort nicht mehr.
Beurteilung der Schüleraussage: Sie ist zurückzuweisen. Zwar trifft der Ausgangspunkt zu — die Rückstellkraft ist kleiner als erwartet. Die Folgerung kehrt den Zusammenhang aber um: Eine kleinere rücktreibende Kraft bedeutet nach \(a=\frac{F}{m}\) eine kleinere Beschleunigung zur Ruhelage hin. Der Wagen wird also schwächer zurückgetrieben und braucht für den Weg zurück länger. Die Schwingungsdauer nimmt zu, die Bewegung wird langsamer, nicht schneller.
Ergänzend: Weil die Rückstellkraft nicht mehr proportional zur Auslenkung ist, ist die Schwingung bei so großer Auslenkung überhaupt nicht mehr harmonisch. Das Zeit-Ort-Diagramm wäre keine reine Sinuskurve mehr, und eine feste Schwingungsdauer im bisherigen Sinne ließe sich nur noch näherungsweise angeben. Für den Versuch folgt daraus: Die Auslenkung sollte \(10\,\mathrm{cm}\) nicht überschreiten.