Wiegen in der Schwerelosigkeit
AFB IIAuf der Internationalen Raumstation befinden sich Besatzung und Station im freien Fall um die Erde; alle Gegenstände schweben. Um dennoch die Körpermasse der Besatzungsmitglieder überwachen zu können, wird ein Schwingungsmassenmesser eingesetzt (Material M1). Ein Astronaut schnallt sich auf einem Sitz fest, der an einer Feder hängt und auf einer Schiene reibungsarm hin- und hergleiten kann. Nach dem Auslenken schwingt die Anordnung harmonisch; ihre Schwingungsdauer wird elektronisch gemessen. Die technischen Daten sind M2 zu entnehmen.
Der Sitz gleitet nahezu reibungsfrei auf einer waagerechten Schiene und wird von einer Feder hin- und hergezogen. Gemessen wird allein die Schwingungsdauer.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Federhärte \(D\) | \(2{,}4\cdot 10^{3}\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\) |
| Masse des leeren Sitzes \(m_\mathrm{S}\) | \(8{,}0\,\mathrm{kg}\) |
| gemessene Schwingungsdauer mit Astronaut | \(1{,}20\,\mathrm s\) |
- Berechnen Sie die Schwingungsdauer, die sich für den leeren Sitz ergibt.
- Leiten Sie aus \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}\) eine Gleichung für die schwingende Masse \(m\) her und berechnen Sie damit die Masse des Astronauten.
- Erklären Sie, warum eine gewöhnliche Personenwaage an Bord der Raumstation unbrauchbar ist, das Schwingungsverfahren dort aber zuverlässig arbeitet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m_\mathrm{S}}{D}}\).
Einsetzen: \(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{8{,}0\,\mathrm{kg}}{2{,}4\cdot 10^{3}\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}}}=2\pi\sqrt{3{,}33\cdot 10^{-3}\,\mathrm{s^{2}}}=2\pi\cdot 5{,}77\cdot 10^{-2}\,\mathrm s\).
Ergebnis: \(T=0{,}36\,\mathrm s\). Der leere Sitz schwingt also fast dreimal pro Sekunde hin und her.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Herleitung: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\quad\Big|\ (\dots)^{2}\) liefert \(T^{2}=4\pi^{2}\cdot\dfrac{m}{D}\). Multiplikation mit \(D\) und Division durch \(4\pi^{2}\) ergibt \(\displaystyle m=\frac{D\,T^{2}}{4\pi^{2}}\).
Einsetzen: \(\displaystyle m=\frac{2{,}4\cdot 10^{3}\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\cdot (1{,}20\,\mathrm s)^{2}}{4\pi^{2}}=\frac{3456\,\mathrm{kg}}{39{,}48}=87{,}5\,\mathrm{kg}\).
Das ist die gesamte schwingende Masse aus Sitz und Astronaut. Für den Astronauten folgt \(m_\mathrm{A}=87{,}5\,\mathrm{kg}-8{,}0\,\mathrm{kg}=79{,}5\,\mathrm{kg}\approx 80\,\mathrm{kg}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Eine Personenwaage misst nicht unmittelbar die Masse, sondern die Gewichtskraft, mit der der Körper auf die Standfläche drückt; aus \(F_\mathrm{G}=m\cdot g\) wird daraus die Masse ausgerechnet. Auf der Raumstation befinden sich Waage und Person gemeinsam im freien Fall um die Erde. Die Person drückt deshalb nicht auf die Fläche — die Waage zeigt null an, unabhängig davon, wie groß ihre Masse ist.
Das Schwingungsverfahren misst dagegen eine ganz andere Eigenschaft: die Trägheit. In \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}\) kommt die Fallbeschleunigung \(g\) überhaupt nicht vor. Die rücktreibende Kraft liefert allein die Feder, und wie schnell die Masse dieser Kraft folgt, hängt nur von \(m\) und \(D\) ab. Das Verfahren funktioniert deshalb im Schwerelosen genauso gut wie auf der Erde — und würde auf dem Mond dasselbe Ergebnis liefern.
Die Federhärte aus einer Messreihe
AFB IIIEine Praktikumsgruppe hängt nacheinander verschiedene Massestücke an dieselbe Schraubenfeder, lenkt sie jeweils um etwa \(3\,\mathrm{cm}\) aus und misst die Schwingungsdauer (Material M1). Die Gruppe möchte daraus die Federhärte \(D\) bestimmen. Bei der Auswertung entsteht die Diskussion in Material M2.
| \(m\) in g | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(T\) in s | 0,44 | 0,63 | 0,77 | 0,89 | 0,99 |
- Weisen Sie anhand der Messwerte in M1 nach, dass \(T^{2}\) proportional zu \(m\) ist, und ermitteln Sie daraus die Federhärte \(D\).
- Berechnen Sie die Schwingungsdauer, die für \(m=800\,\mathrm g\) zu erwarten ist, und begründen Sie ohne weitere Rechnung, wie sich \(T\) ändert, wenn die angehängte Masse vervierfacht wird.
- Beurteilen Sie die beiden Aussagen in M2.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Prüfgröße: \(\dfrac{T^{2}}{m}\) muss konstant sein.
\(\frac{(0{,}44)^{2}}{0{,}100}=1{,}94\); \(\frac{(0{,}63)^{2}}{0{,}200}=1{,}98\); \(\frac{(0{,}77)^{2}}{0{,}300}=1{,}98\); \(\frac{(0{,}89)^{2}}{0{,}400}=1{,}98\); \(\frac{(0{,}99)^{2}}{0{,}500}=1{,}96\) (jeweils in \(\tfrac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm{kg}}\)).
Antwortsatz: Alle fünf Quotienten stimmen im Rahmen der Messgenauigkeit mit \(1{,}97\,\tfrac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm{kg}}\) überein. Damit ist \(T^{2}\sim m\) nachgewiesen.
Federhärte: Aus \(T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{D}\cdot m\) folgt \(\displaystyle D=\frac{4\pi^{2}}{T^{2}/m}=\frac{39{,}48}{1{,}97\,\tfrac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm{kg}}}=20{,}0\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Erwartete Schwingungsdauer: \(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}800\,\mathrm{kg}}{20{,}0\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}}}=2\pi\sqrt{0{,}0400\,\mathrm{s^{2}}}=2\pi\cdot 0{,}200\,\mathrm s=1{,}26\,\mathrm s\).
Vervierfachung der Masse: In \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}\) steht die Masse unter der Wurzel. Vervierfacht man \(m\), so vervierfacht sich der Radikand, die Wurzel wächst aber nur um den Faktor \(\sqrt{4}=2\). Die Schwingungsdauer verdoppelt sich also. Die Messreihe bestätigt das: Von \(100\,\mathrm g\) \((0{,}44\,\mathrm s)\) auf \(400\,\mathrm g\) \((0{,}89\,\mathrm s)\) ist \(T\) tatsächlich rund doppelt so groß.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zu Nele: Die Aussage ist zurückzuweisen, und die Messreihe widerlegt sie unmittelbar: Von \(m=100\,\mathrm g\) auf \(m=200\,\mathrm g\) steigt \(T\) nur von \(0{,}44\,\mathrm s\) auf \(0{,}63\,\mathrm s\), also um den Faktor \(1{,}43\approx\sqrt{2}\) und nicht um den Faktor 2. Der Fehler liegt im Lesen der Formel: Die Masse steht unter der Wurzel. Erst eine vierfache Masse verdoppelt die Schwingungsdauer.
Zu Ben: Die Aussage ist zutreffend. Beim Schwingen bewegt sich nicht nur das Massestück, sondern auch ein Teil der Feder selbst; die tatsächlich schwingende Masse ist also etwas größer als das angehängte \(m\). Dadurch fällt die gemessene Schwingungsdauer etwas größer aus, als sie für \(m\) allein zu erwarten wäre. In \(D=\frac{4\pi^{2}m}{T^{2}}\) steht \(T^{2}\) im Nenner — ein zu großes \(T\) liefert also ein zu kleines \(D\). Bens Argument ist damit vollständig: Es handelt sich um eine systematische Abweichung, die sich durch Wiederholen der Messung nicht verkleinern lässt.
Bewertung des Effekts: Die Abweichung ist umso größer, je leichter das angehängte Massestück ist. In der vorliegenden Messreihe zeigt sich kein klarer Trend in den Quotienten aus Teilaufgabe a); der Einfluss liegt hier also unterhalb der Messgenauigkeit. Wer ihn ausschließen will, verwendet eine möglichst leichte Feder oder große Massestücke.