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Das Feder-Masse-Pendel

Eine Masse an einer Feder ist das Musterbeispiel einer harmonischen Schwingung — denn die Federkraft folgt exakt dem linearen Kraftgesetz.

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Erklärung — die Schwingungsdauer der Feder

Die Schwingungsdauer

Die Federkraft erfüllt das lineare Kraftgesetz \(F=-D\cdot y\) (4.1.2) — eine Masse \(m\) an einer Feder mit der Federhärte \(D\) schwingt also harmonisch. Ihre Schwingungsdauer folgt Schritt für Schritt:

Herleitung:

  • Newton:\(m\cdot a=-D\cdot y\) (Grundgleichung der Mechanik mit der Federkraft)
  • Zeiger (4.1.3):die Projektion der Zeigerspitze liefert \(a=-\omega^{2}\cdot y\)
\(-m\,\omega^{2}\,y=-D\,y\)
| : \((-m\,y)\)
Beide Ausdrücke für die Beschleunigung gleichgesetzt.
\(\omega^{2}=\dfrac{D}{m}\)
| \(\sqrt{\phantom{x}}\)
Auslenkung und Masse kürzen sich heraus.
\(\omega=\sqrt{\dfrac{D}{m}}\)
| \(T=\tfrac{2\pi}{\omega}\)
Die Kreisfrequenz der Schwingung.
\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\)
Ergebnis
Die Amplitude kommt nicht vor.
Schwingungsdauer des Feder-Masse-Pendels

\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\)

m: Masse (kg), D: Federhärte (N/m), T: Schwingungsdauer (s)

Feder-Masse-Pendel erkunden

Masse und Federhärte bestimmen die Schwingungsdauer. Die Animation zeigt das Schwingen, Periodendauer und Frequenz werden mit \(T=2\pi\sqrt{m/D}\) berechnet.

Ruhe m
Eine größere Masse schwingt langsamer (größeres T), eine härtere Feder schneller. Die Amplitude spielt für T keine Rolle.

Daraus liest man ab:

  • Größere Masse → größeres T:Eine schwere Masse ist träger und schwingt langsamer.
  • Härtere Feder (großes D) → kleineres T:Eine straffe Feder treibt stärker zurück und schwingt schneller.
  • Die Amplitude kommt nicht vor:Ob klein oder groß ausgelenkt — die Schwingungsdauer bleibt gleich.

Schwingungsdauer berechnen

Eine Masse \(m=0{,}20\,\mathrm{kg}\) hängt an einer Feder mit \(D=20\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\). Wie groß ist die Schwingungsdauer?

Formel\(T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}\)
Einsetzen\(T=2\pi\sqrt{\tfrac{0{,}20}{20}}=2\pi\sqrt{0{,}010}\)
Ergebnis\(T=2\pi\cdot0{,}10=0{,}63\,\mathrm s\)
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Allgemeine Hinweise

Einheiten

m in kg, D in N/m — dann kommt T in Sekunden heraus.

Wurzel

Erst m/D ausrechnen, dann Wurzel, dann mal \(2\pi\).

Hängende Feder

Die Gewichtskraft verschiebt nur die Ruhelage nach unten — T bleibt \(2\pi\sqrt{m/D}\).

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