AbituraufgabenWahrscheinlichkeitsdeutung

\(|\psi|^2\) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit (genauer: Wahrscheinlichkeitsdichte) ein Elektron an der betreffenden Stelle des Schirms registriert wird. Wo \(|\psi|^2\) groß ist, ist ein Treffer wahrscheinlich (helle Streifen); wo \(|\psi|^2 = 0\) ist, trifft kein Elektron auf (dunkle Streifen).

Der Zusammenhang mit M2 ist statistisch: Schickt man \(N\) Elektronen, so ist die zu erwartende Trefferzahl in einem Streifen \(N\cdot P\), wobei \(P\) die Fläche unter der \(|\psi|^2\)-Kurve über diesem Streifen ist. Für eine einzelne Messung sagt \(|\psi|^2\) dagegen nichts vorher — es beschreibt die Häufigkeitsverteilung vieler Messungen.

Erwartungswert: \(N\cdot P = 20\,000\cdot0{,}20 = 4000\) Treffer.

Gemessen wurden 3962 Treffer. Die Abweichung beträgt \(|3962-4000| = 38\) Treffer, also \(\dfrac{38}{4000}=0{,}0095 = 0{,}95\,\%\).

Messwert und Vorhersage stimmen sehr gut überein; die Abweichung liegt im Bereich der zu erwartenden statistischen Schwankung.

\(N = 200\): erwartet \(200\cdot0{,}20 = 40\), gemessen 47; relative Abweichung \(\dfrac{7}{40}=0{,}175 = 17{,}5\,\%\).

\(N = 20\,000\): erwartet 4000, gemessen 3962; relative Abweichung \(0{,}95\,\%\) (siehe b)).

Die relative Abweichung ist bei der kleinen Messreihe rund 18-mal so groß. Ursache ist die statistische Natur des Vorgangs: Jeder einzelne Treffer ist zufällig, und die absoluten Schwankungen wachsen nur etwa mit \(\sqrt{N}\), während der Erwartungswert mit \(N\) wächst. Die relative Schwankung nimmt daher wie \(\frac{1}{\sqrt{N}}\) ab: für \(N=200\) sind das etwa \(\frac{1}{\sqrt{40}}\approx16\,\%\), für \(N=20\,000\) etwa \(\frac{1}{\sqrt{4000}}\approx1{,}6\,\%\) — genau die beobachtete Größenordnung. Je mehr Elektronen registriert werden, desto genauer bildet das Histogramm die Kurve \(|\psi|^2\) ab.

Die Theorie liefert mit \(\psi\) keine Bahn und keinen Auftreffort, sondern nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(|\psi|^2\). Aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt grundsätzlich keine Aussage über den Ausgang eines Einzelereignisses — ebenso wenig, wie aus der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\) folgt, welche Zahl der nächste Würfelwurf zeigt.

Wesentlich ist dabei: Diese Unbestimmtheit ist keine Folge ungenauer Messgeräte oder unbekannter Anfangsbedingungen. Auch bei vollständiger Kenntnis von \(\psi\) — also bei vollständiger Kenntnis des Zustands — bleibt der einzelne Auftreffort offen. Vorhersagbar ist allein die Häufigkeit der Treffer über viele Messungen, und diese wird durch \(|\psi|^2\) exakt beschrieben.

Klassische Erwartung: Geht jedes Elektron auf einer festen Bahn durch genau einen Spalt, so ist die Trefferzahl bei zwei offenen Spalten gleich der Summe der beiden Einzelmessungen.

Ort P: Summe \(850 + 870 = 1720\) Treffer erwartet — gemessen wurden nur 35. Das sind rund 2 % des erwarteten Wertes.

Ort Q: Summe \(900 + 880 = 1780\) erwartet — gemessen wurden 3520, also etwa das Doppelte.

Damit ist die klassische Vorstellung widerlegt: Das Öffnen eines zusätzlichen Weges verringert am Ort P die Trefferzahl auf einen Bruchteil. Ein Teilchen auf einer festen Bahn kann davon nichts „wissen“ — mehr offene Wege können bei unabhängigen Bahnen nie zu weniger Treffern führen. Die Beobachtung entspricht dagegen genau der Überlagerung zweier Wellen: Am Ort P löschen sich die Teilwellen nahezu aus, am Ort Q verstärken sie sich. (Rechnerisch: Addiert man statt der Trefferzahlen die Amplituden, so ergibt sich für Q \((\sqrt{900}+\sqrt{880})^2\approx3560\) — in guter Übereinstimmung mit dem Messwert.)

Mias Aussage ist nicht haltbar.

Nachvollziehbar ist ihr Ausgangspunkt: Beim Würfel ist der Ausgang tatsächlich nur deshalb unvorhersagbar, weil man Wurfhöhe, Drehung und Reibung nicht genau genug kennt; im Prinzip liegt das Ergebnis fest. Wahrscheinlichkeit beschreibt dort wirklich Unwissenheit.

Ihre Vorstellung scheitert aber an dem Befund aus a): Nimmt man an, jedes Elektron habe einen festen Weg durch genau einen Spalt, so darf das Öffnen des zweiten Spalts an der Bahn der „durch Spalt 1“ fliegenden Elektronen nichts ändern — die Trefferzahlen müssten sich addieren. Gemessen wird das Gegenteil. Die Unbestimmtheit ist deshalb keine bloße Wissenslücke, sondern grundsätzlich: Vor der Messung besitzt das Elektron keinen bestimmten Auftreffort und keinen bestimmten Weg.

Zutreffend an Mias Aussage bleibt nur, dass \(|\psi|^2\) eine Wahrscheinlichkeit angibt — die Deutung dieser Wahrscheinlichkeit als „verborgene Bahn“ ist jedoch mit den Messdaten unvereinbar.

Tareks Schluss ist falsch; sein Fehler liegt in der Annahme, die fehlenden Elektronen seien „verschwunden“.

Die Gesamtzahl der registrierten Elektronen ist in allen drei Versuchen dieselbe: Es werden stets alle \(20\,000\) Elektronen auf dem Schirm nachgewiesen. Bei zwei offenen Spalten fehlen am Ort P zwar rund 1700 Treffer, dafür kommen aber am Ort Q rund 1700 zusätzliche hinzu (3520 statt 1780). Die Elektronen werden also nicht vernichtet, sondern nur anders verteilt — aus den Minima in die Maxima.

Damit bleiben sowohl die Zahl der Elektronen als auch ihre Energie erhalten: Jedes Elektron trägt seine Energie zum Schirm, nur eben nicht überall gleich häufig. Interferenz ist stets eine Umverteilung von Intensität, nie ihre Vernichtung — dasselbe gilt für Wasser-, Schall- und Lichtwellen. Die Energieerhaltung wird durch das Experiment nicht verletzt.

Argumente für die These: Die klassische Physik beschreibt einzelne Vorgänge vollständig: Aus Ort und Geschwindigkeit folgt die gesamte Bahn. Gemessen an diesem Anspruch leistet die Quantenphysik weniger, denn über den einzelnen Auftreffort sagt sie nichts. Historisch haben bedeutende Physiker (u. a. Einstein) genau deshalb vermutet, es müsse noch unbekannte, „verborgene“ Größen geben, die den Einzelfall festlegen.

Argumente gegen die These: Eine Theorie ist unvollständig, wenn sie beobachtbare Vorhersagen schuldig bleibt. Die Quantenphysik sagt jedoch alles vorher, was sich überhaupt reproduzierbar messen lässt: die gesamte Verteilung \(|\psi|^2\) und damit jede Häufigkeit — in Aufgabe 1 auf etwa 1 % genau. Der Einzelfall ist nicht deshalb offen, weil Information fehlt, sondern weil es die entsprechende Eigenschaft vor der Messung nicht gibt; die Annahme verborgener Bahnen widerspricht nach a) den Messdaten.

Ergebnis: Die These ist zurückzuweisen, wenn man „vollständig“ auf das bezieht, was messbar ist. Sie beruht auf der Übertragung eines klassischen Vollständigkeitsbegriffs auf einen Bereich, in dem er nicht angemessen ist. Angemessen ist die Feststellung: Die Quantenphysik ist eine vollständige, aber grundsätzlich statistische Theorie.