Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDie De-Broglie-Wellenlänge — Erklärung, Video nachlesen.
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Übungsaufgaben
1Die Idee von de BroglieAFB I
Vervollständigen Sie den Text zur De-Broglie-Gleichung \(\lambda=h/p\).
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
De Broglie ordnet jedem Teilchen mit dem p = m·v eine Wellenlänge zu. Die Brücke zwischen Teilchen- und Wellenbild schlägt das Plancksche h = 6,626·10−34 Js. Weil p im Nenner von λ = h/p steht, ist die Wellenlänge zur Geschwindigkeit: Verdoppelt man v, so sich λ. Im Nenner steht außerdem die — bei einem Tennisball wird λ deshalb so , dass sie sich niemals messen lässt.
Achten Sie auf die Stellung im Bruch: Alles, was im Nenner steht (m und v), verkleinert λ, wenn es größer wird. Nur h im Zähler ist eine Naturkonstante und ändert sich nie. Wer diesen Bau der Formel einmal verinnerlicht hat, braucht für die Frage „größer oder kleiner?" gar keine Rechnung mehr.
2Wird λ größer oder kleiner?AFB I
Ordnen Sie jede Änderung danach ein, wie sich die De-Broglie-Wellenlänge verhält.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1λ wird größer
2λ wird kleiner
Alle acht Karten lassen sich mit einem einzigen Blick auf λ = h/(m·v) entscheiden: Jede Karte beschreibt letztlich eine Änderung des Nenners. Der Klassiker unter den Fehlern ist die Beschleunigungsspannung — sie klingt nach „mehr Energie, also mehr Welle", macht das Elektron aber schneller und damit kurzwelliger. Genau deshalb arbeitet ein Elektronenmikroskop mit hohen Spannungen: Kurze Wellenlänge bedeutet feine Auflösung.
3Aussagen prüfenAFB I
Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde" neu.
Die beiden falschen Aussagen zum Tennisball und zur Gültigkeit gehören zusammen: De Broglies Gleichung macht keine Ausnahme für große Körper — sie liefert dort nur so absurd kleine Werte, dass kein Experiment sie je nachweisen könnte. Die Grenze zwischen „Quantenwelt" und Alltag ist also keine Grenze der Formel, sondern eine Grenze der Messbarkeit.
4Die Formel zusammensetzenAFB II
Bauen Sie die De-Broglie-Gleichung aus den Bausteinen zusammen.
Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an. Ein Klick auf einen belegten Platz gibt den Baustein zurück.
Zwei Bausteine sind besonders verführerisch: das Malzeichen und der Ausdruck (h · v). Wer λ = h·v schreibt, dreht die Aussage genau um — dann wären schnelle Teilchen langwellig, und Elektronenmikroskope müssten möglichst langsame Elektronen benutzen. Merken Sie sich die Formel deshalb nicht als Buchstabenfolge, sondern als Aussage: Wellenlänge ist Wirkungsquantum geteilt durch Impuls.
5Wellenlänge eines schnellen ElektronsAFB II
Ein Elektron (\(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\)) fliegt mit \(v=3{,}0\cdot10^{6}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\). Es gilt \(h=6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}\).
Berechnen Sie seine De-Broglie-Wellenlänge in Nanometern.Nutze λ = h ÷ (m · v) und rechne das Ergebnis von Metern in Nanometer um (1 nm = 10−9 m). Enter prüft.
Der Nenner ist 9,11·10−31 kg · 3,0·106 m/s = 2,73·10−24 kg·m/s, und 6,626·10−34 ÷ 2,73·10−24 = 2,4·10−10 m = 0,24 nm. Vergleichen Sie mit dem Beispiel der Seite: Dort ergab v = 1,0·106 m/s gerade 0,73 nm — die dreifache Geschwindigkeit liefert nun ein Drittel davon. Der häufigste Fehler ist die Umrechnung: 2,4·10−10 m sind 0,24 nm und nicht 2,4 nm.
6Vom Impuls zur WellenlängeAFB II
Ein Elektron fliegt mit \(v=2{,}0\cdot10^{6}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\) (\(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\), \(h=6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}\)).
Rechnen Sie Schritt für Schritt bis zur Wellenlänge — und prüfen Sie zum Schluss die Antiproportionalität.Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wie groß ist der Impuls p = m · v? (Zahl vor 10−24)·10−24 kg·m/s
- Wie groß ist λ = h ÷ p? (Zahl vor 10−10)·10−10 m
- Wie viele Nanometer sind das?nm
- Wie groß wäre λ bei halber Geschwindigkeit? (in 10−10 m)·10−10 m
Der letzte Schritt ist der eigentliche Lernschritt: Sie mussten nicht neu einsetzen, sondern nur verdoppeln — halbe Geschwindigkeit bedeutet doppelte Wellenlänge. Wer stattdessen die ganze Rechnung wiederholt, verliert in der Klausur Zeit und riskiert Rechenfehler. Behalten Sie außerdem die Größenordnung im Blick: Elektronenwellenlängen liegen im Bereich einiger Zehntel Nanometer und damit ungefähr beim Abstand benachbarter Atome in einem Kristall — nur deshalb funktioniert die Elektronenbeugung überhaupt.
7Wellenlängen der Größe nachAFB II
Es gilt \(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\), \(m_p=1{,}67\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}\).
Ordnen Sie die Objekte nach abnehmender De-Broglie-Wellenlänge (oben die größte).Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Elektron mit v = 1,0·105 m/s
2Elektron mit v = 1,0·106 m/s
3Elektron mit v = 1,0·107 m/s
4Proton mit v = 1,0·106 m/s
5Tennisball (58 g) mit v = 30 m/s
Die drei Elektronen unterscheiden sich nur durch v und stehen deshalb in umgekehrter Reihenfolge zur Geschwindigkeit: 7,3 nm, 0,73 nm und 0,073 nm. Das Proton fällt trotz mäßiger Geschwindigkeit weit zurück, weil seine Masse rund 1800-mal größer ist — es landet bei etwa 4·10−13 m. Der Tennisball schließlich kommt auf rund 4·10−34 m, also etwa 1024-mal kleiner als ein Atomkern. Diese Kluft ist der Grund dafür, dass wir im Alltag nie Wellenverhalten bemerken.
8Welche Geschwindigkeit gehört zu 0,10 nm?AFB II
Ein Elektron soll die De-Broglie-Wellenlänge \(\lambda=0{,}10\,\mathrm{nm}=1{,}0\cdot10^{-10}\,\mathrm m\) haben.
Bestimmen Sie die dafür nötige Geschwindigkeit in Millionen Metern pro Sekunde.9Vierfache GeschwindigkeitAFB III
Ein Elektron wird von \(v_1=1{,}0\cdot10^{6}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\) (dort ist \(\lambda_1=0{,}73\,\mathrm{nm}\)) auf \(v_2=4{,}0\cdot10^{6}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\) beschleunigt.
Wählen Sie alle Aussagen aus, die dann zutreffen.Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen".
Die drei richtigen Aussagen sind nur drei Formulierungen derselben Rechnung: p wächst um den Faktor 4, also schrumpft λ = h/p auf 0,73 nm ÷ 4 ≈ 0,18 nm. Die letzte Ablenkung ist eine Feinheit für Fortgeschrittene: Bei sehr hohen Geschwindigkeiten nimmt die Masse relativistisch tatsächlich zu, doch 4·106 m/s sind erst gut ein Prozent der Lichtgeschwindigkeit — der Effekt liegt hier weit unter der Messgenauigkeit.
10Fehler im SchülerheftAFB III
Finden Sie die falschen Zeilen in diesem Heftauszug und klicken Sie sie an.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Alle drei Fehler entstehen aus derselben Nachlässigkeit: Zähler und Nenner werden vertauscht oder der Nenner wird gar nicht beachtet. Prüfen Sie eine solche Behauptung immer mit einem Extremfall — „unendlich schnell" müsste nach Zeile 2 eine unendlich lange Welle ergeben, was offensichtlich unsinnig ist. Zeile 6 verwechselt zudem nicht messbar mit nicht vorhanden; das ist der zentrale Denkfehler beim Übergang von der Quanten- in die Alltagswelt.