Wie die Hallspannung entsteht
AFB I–IIZum Messen magnetischer Felder benutzt man im Praktikum eine Hallsonde. Ihr Herzstück ist ein dünnes Halbleiterplättchen, durch das ein Steuerstrom \(I = 20\,\mathrm{mA}\) längs hindurchfließt (Material M1). Das Plättchen ist \(b = 10\,\mathrm{mm}\) breit und \(d = 0{,}25\,\mathrm{mm}\) dick; die zu messende Flussdichte steht senkrecht auf seiner Fläche. Zwischen den beiden Längskanten misst ein hochohmiges Voltmeter die Hallspannung \(U_\text{H}\).
Im Halbleiter wird der Strom von freien Elektronen getragen. Laut Datenblatt beträgt ihre Dichte \(n = 1{,}0\cdot 10^{20}\,\mathrm{m^{-3}}\); die Elementarladung ist \(e = 1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\). Für die Hallspannung gilt \(\displaystyle U_\text{H} = \frac{B\,I}{n\,e\,d}\).
Gezeichnet ist nur ein stellvertretendes Elektron; im Gleichgewicht heben sich die beiden eingezeichneten Kräfte gerade auf. Der Querschnitt ist nicht maßstäblich — in Wirklichkeit ist das Plättchen 40-mal so breit wie dick. Die beiden Kontakte für die Hallspannung liegen einander genau gegenüber, sodass ohne Magnetfeld keine Spannung angezeigt wird.
- Erklären Sie mithilfe von Material M1, wie zwischen den beiden Längskanten des Plättchens eine Spannung entsteht, und begründen Sie, warum sie nicht beliebig weiter anwächst.
- Berechnen Sie die Hallspannung, die diese Sonde in einem Feld der Flussdichte \(B = 40\,\mathrm{mT}\) liefert.
- Die Sonde wird in den Luftspalt eines Magneten geschoben; das Voltmeter zeigt \(U_\text{H} = 0{,}35\,\mathrm V\) an. Bestimmen Sie die Flussdichte im Luftspalt.
- Ein Lernender schlägt vor, statt des Halbleiters ein gleich großes Kupferplättchen zu verwenden; in Kupfer ist \(n_\text{Cu} = 8{,}5\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}\). Berechnen Sie die Hallspannung dieses Plättchens für \(B = 40\,\mathrm{mT}\) und begründen Sie damit, warum Hallsonden aus dünnen Halbleiterplättchen gebaut werden.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
1. Bewegung der Ladungsträger: Der Steuerstrom fließt in M1 nach rechts. Die freien Elektronen tragen die negative Ladung \(-e\) und bewegen sich daher mit der Driftgeschwindigkeit \(v\) nach links, also entgegen der technischen Stromrichtung.
2. Lorentzkraft: Die Flussdichte steht senkrecht auf der Bewegungsrichtung. Auf jedes Elektron wirkt daher die Lorentzkraft \(F_\text{L} = e\,v\,B\). Mit der Drei-Finger-Regel (Daumen in technische Stromrichtung, also nach rechts, Zeigefinger in die Zeichenebene hinein) zeigt die Kraft nach oben, zur oberen Kante hin.
3. Ladungstrennung: Die Elektronen werden quer zur Stromrichtung abgelenkt und sammeln sich an der oberen Kante an; sie wird negativ geladen. An der unteren Kante fehlen sie, dort bleiben die ortsfesten positiven Rümpfe zurück — die Kante wird positiv. Zwischen den beiden Kanten liegt nun eine Spannung, die Hallspannung \(U_\text{H}\).
4. Gegenkraft und Gleichgewicht: Die getrennten Ladungen erzeugen im Plättchen ein elektrisches Querfeld der Stärke \(E = \frac{U_\text{H}}{b}\), das von der positiven zur negativen Kante zeigt. Es übt auf jedes Elektron die Kraft \(F_\text{el} = e\,E\) aus, die der Lorentzkraft entgegengerichtet ist. Je mehr Ladung sich angesammelt hat, desto größer wird \(F_\text{el}\). Die Ladungstrennung endet daher, sobald
\(\displaystyle e\,E = e\,v\,B\)
gilt — genau wie beim Kräftegleichgewicht im Wien-Filter. Von da an fliegen die Elektronen wieder geradeaus durch das Plättchen, es fließt kein Querstrom mehr, und die Hallspannung bleibt konstant. Sie wächst also nicht beliebig an, sondern stellt sich auf einen festen Wert ein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Nenner zuerst:
\(\displaystyle n\,e\,d = 1{,}0\cdot 10^{20}\,\mathrm{m^{-3}}\cdot 1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm m = 4{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{\frac{C}{m^2}}\)
Damit:
\(\displaystyle U_\text{H} = \frac{B\,I}{n\,e\,d} = \frac{0{,}040\,\mathrm T\cdot 0{,}020\,\mathrm A}{4{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{\frac{C}{m^2}}} = 0{,}20\,\mathrm V\)
Die Sonde liefert also \(200\,\mathrm{mV}\) — eine Spannung, die sich mit einem einfachen Voltmeter bequem und genau messen lässt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Umstellen nach \(B\):
\(\displaystyle B = \frac{U_\text{H}\,n\,e\,d}{I} = \frac{0{,}35\,\mathrm V\cdot 4{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{\frac{C}{m^2}}}{0{,}020\,\mathrm A} = 0{,}070\,\mathrm T\)
Im Luftspalt herrscht eine Flussdichte von \(70\,\mathrm{mT}\). Weil \(U_\text{H}\) bei festem Steuerstrom proportional zu \(B\) ist, wird aus dem Plättchen ein Messgerät für die Flussdichte: Man liest eine Spannung ab und rechnet sie in eine Flussdichte um.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Für Kupfer ändert sich nur die Ladungsträgerdichte:
\(\displaystyle U_\text{H,Cu} = \frac{B\,I}{n_\text{Cu}\,e\,d} = \frac{0{,}040\,\mathrm T\cdot 0{,}020\,\mathrm A}{8{,}5\cdot 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}\cdot 1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm m} = \frac{8{,}0\cdot 10^{-4}}{3{,}4\cdot 10^{6}}\,\mathrm V = 2{,}4\cdot 10^{-10}\,\mathrm V\)
Das sind \(0{,}24\,\mathrm{nV}\) — rund \(8{,}5\cdot 10^{8}\)-mal weniger als die \(0{,}20\,\mathrm V\) des Halbleiterplättchens, genau im Verhältnis der Ladungsträgerdichten \(\frac{n_\text{Cu}}{n} = 8{,}5\cdot 10^{8}\).
Begründung: In der Formel steht \(n\) im Nenner. In einem Metall stehen pro Kubikmeter rund \(10^{29}\) freie Elektronen zur Verfügung; sie tragen denselben Strom schon bei winziger Driftgeschwindigkeit, und weil \(F_\text{L} = e\,v\,B\) mit \(v\) wächst, bleibt die Ablenkung und damit die Ladungstrennung minimal. Eine Spannung von \(0{,}24\,\mathrm{nV}\) verschwindet vollständig in den Thermospannungen der Kontakte, die im Mikrovolt-Bereich liegen — sie ist nicht messbar.
Auch die Dicke kann das nicht ausgleichen: Damit ein Kupferplättchen dieselben \(0{,}20\,\mathrm V\) lieferte, müsste \(\displaystyle d = \frac{B\,I}{n_\text{Cu}\,e\,U_\text{H}} = 2{,}9\cdot 10^{-13}\,\mathrm m\) sein — das ist rund ein Dreihundertstel eines Atomdurchmessers und damit unmöglich. Nur ein Halbleiter mit kleiner Ladungsträgerdichte, dünn ausgeführt, liefert brauchbare Hallspannungen.
Kalibrieren und anwenden
AFB II–IIIBevor die Sonde aus Aufgabe 1 als Messgerät dienen kann, muss sie kalibriert werden. Dazu wird sie in das Innere einer langen Spule gebracht, deren Flussdichte sich aus den Spulendaten berechnen lässt, und die Hallspannung für sechs Flussdichten gemessen (Material M2 und M3). Der Steuerstrom bleibt dabei stets bei \(I = 20\,\mathrm{mA}\).
Das Plättchen ist \(b = 10\,\mathrm{mm}\) breit und \(d = 0{,}25\,\mathrm{mm}\) dick, sein Querschnitt beträgt also \(A = b\cdot d\). Für die Stromstärke in einem Leiter gilt allgemein \(I = n\,e\,A\,v_\text{d}\), wobei \(v_\text{d}\) die mittlere Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger ist. Die Elementarladung beträgt \(e = 1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\).
| Messung | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Flussdichte \(B\) in \(\mathrm{mT}\) | \(5{,}0\) | \(10{,}0\) | \(15{,}0\) | \(20{,}0\) | \(25{,}0\) | \(30{,}0\) |
| Hallspannung \(U_\text{H}\) in \(\mathrm{mV}\) | \(26\) | \(48\) | \(77\) | \(99\) | \(127\) | \(149\) |
Das Kalibrierfeld wurde im Inneren einer langen, luftgefüllten Spule erzeugt; dort lässt sich die Flussdichte aus Windungszahl, Spulenlänge und Spulenstrom mit \(B = \mu_0\,\frac{N}{l}\,I_\text{Sp}\) berechnen. Der Spulenstrom wurde jeweils so eingestellt, dass sich die angegebenen Flussdichten ergeben. Der Steuerstrom durch das Plättchen betrug bei allen sechs Messungen \(I = 20\,\mathrm{mA}\).
Die Ausgleichsgerade wurde durch den Ursprung gelegt, weil ohne Feld keine Hallspannung auftritt. Sie verläuft bei \(B = 30\,\mathrm{mT}\) durch \(U_\text{H} = 150\,\mathrm{mV}\).
- Weisen Sie mit Material M2 rechnerisch nach, dass die Hallspannung im Rahmen der Messgenauigkeit proportional zur Flussdichte ist, und bestimmen Sie aus der Steigung der Kalibriergeraden in Material M3 die Ladungsträgerdichte \(n\) des Plättchens.
- Leiten Sie aus dem Kräftegleichgewicht her, dass \(U_\text{H} = B\,v_\text{d}\,b\) gilt, und zeigen Sie mit \(I = n\,e\,A\,v_\text{d}\), dass daraus \(\displaystyle U_\text{H} = \frac{B\,I}{n\,e\,d}\) folgt.
- Berechnen Sie die Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Plättchen und ordnen Sie ihre Größenordnung ein. Vergleichswert: Ein Elektron, das eine Spannung von \(100\,\mathrm V\) durchlaufen hat, ist etwa \(5{,}9\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) schnell.
- Zwei Lernende überlegen, wie sich die Sonde empfindlicher machen ließe. Mia: „Nehmen wir ein doppelt so breites Plättchen, \(b = 20\,\mathrm{mm}\). Dann werden die Ladungen über die doppelte Strecke getrennt, also verdoppelt sich auch die Hallspannung.“ Ben: „Nein — wir müssen das Plättchen halb so dick machen, \(d = 0{,}125\,\mathrm{mm}\). Das verdoppelt die Hallspannung.“ Beurteilen Sie beide Aussagen rechnerisch für \(B = 20\,\mathrm{mT}\) und entwickeln Sie anschließend ein Verfahren, mit dem sich die Feldverteilung im Luftspalt eines Magneten mit der kalibrierten Sonde vermessen lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Quotienten \(\frac{U_\text{H}}{B}\) in \(\mathrm{\frac{mV}{mT}}\):
\(\displaystyle \frac{26}{5{,}0} = 5{,}20 \qquad \frac{48}{10{,}0} = 4{,}80 \qquad \frac{77}{15{,}0} = 5{,}13\)
\(\displaystyle \frac{99}{20{,}0} = 4{,}95 \qquad \frac{127}{25{,}0} = 5{,}08 \qquad \frac{149}{30{,}0} = 4{,}97\)
Der Mittelwert beträgt \(5{,}02\,\mathrm{\frac{mV}{mT}}\), die größte Abweichung davon (\(4{,}80\,\mathrm{\frac{mV}{mT}}\)) liegt bei rund \(4\,\%\). Der Quotient ist also im Rahmen der Messgenauigkeit konstant; zusammen mit dem Ursprungsdurchgang der Geraden in M3 (ohne Feld keine Hallspannung) ist damit \(U_\text{H} \sim B\) nachgewiesen.
Steigung der Kalibriergeraden, abgelesen bei \(B = 30\,\mathrm{mT}\):
\(\displaystyle s = \frac{U_\text{H}}{B} = \frac{150\,\mathrm{mV}}{30\,\mathrm{mT}} = 5{,}0\,\mathrm{\frac{mV}{mT}} = 5{,}0\,\mathrm{\frac{V}{T}}\)
Aus \(U_\text{H} = \frac{B\,I}{n\,e\,d}\) folgt mit \(\frac{U_\text{H}}{B} = s\):
\(\displaystyle n = \frac{I}{e\,d\,s} = \frac{0{,}020\,\mathrm A}{1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm m\cdot 5{,}0\,\mathrm{\frac{V}{T}}} = 1{,}0\cdot 10^{20}\,\mathrm{m^{-3}}\)
Die Kalibrierung liefert also nicht nur den Umrechnungsfaktor \(s\), mit dem sich künftig jede gemessene Hallspannung in eine Flussdichte übersetzen lässt, sondern nebenbei auch eine Materialeigenschaft des Halbleiters. Der Wert stimmt mit der Angabe des Datenblatts überein und liegt rund neun Zehnerpotenzen unter der Ladungsträgerdichte eines Metalls.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Erster Schritt — Gleichgewicht: Im stationären Zustand heben sich die magnetische und die elektrische Kraft auf ein Elektron gerade auf:
\(\displaystyle e\,E = e\,v_\text{d}\,B \quad\Longrightarrow\quad E = v_\text{d}\,B\)
Die Ladung \(e\) kürzt sich heraus. Das Querfeld zwischen den beiden Kanten darf als homogen angesehen werden; die Kanten haben den Abstand \(b\), also gilt \(E = \frac{U_\text{H}}{b}\) und damit
\(\displaystyle \frac{U_\text{H}}{b} = v_\text{d}\,B \quad\Longrightarrow\quad U_\text{H} = B\,v_\text{d}\,b\)
Zweiter Schritt — Driftgeschwindigkeit ersetzen: Aus \(I = n\,e\,A\,v_\text{d}\) mit \(A = b\cdot d\) folgt
\(\displaystyle v_\text{d} = \frac{I}{n\,e\,b\,d}\)
Einsetzen in die erste Beziehung:
\(\displaystyle U_\text{H} = B\,b\cdot\frac{I}{n\,e\,b\,d} = \frac{B\,I}{n\,e\,d}\)
Die Breite \(b\) kürzt sich vollständig heraus: Sie vergrößert zwar den Abstand der Kanten, vergrößert aber im gleichen Maß den Querschnitt und verkleinert damit die Driftgeschwindigkeit. Übrig bleiben genau die vier Größen \(B\), \(I\), \(n\) und \(d\).
Einheitenkontrolle: \(\displaystyle \frac{\mathrm T\cdot\mathrm A}{\mathrm{m^{-3}}\cdot\mathrm C\cdot\mathrm m} = \frac{\mathrm{\frac{V\,s}{m^2}}\cdot\mathrm A}{\mathrm{\frac{C}{m^2}}} = \frac{\mathrm V\cdot\mathrm{A\,s}}{\mathrm C} = \mathrm V\) — das Ergebnis ist tatsächlich eine Spannung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Querschnitt des Plättchens:
\(\displaystyle A = b\cdot d = 0{,}010\,\mathrm m\cdot 2{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm m = 2{,}5\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m^2}\)
\(\displaystyle v_\text{d} = \frac{I}{n\,e\,A} = \frac{0{,}020\,\mathrm A}{1{,}0\cdot 10^{20}\,\mathrm{m^{-3}}\cdot 1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}5\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m^2}} = 5{,}0\cdot 10^{2}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)
Kontrolle mit der vierten Messung aus M2 (\(B = 20{,}0\,\mathrm{mT}\), \(U_\text{H} = 99\,\mathrm{mV}\)):
\(\displaystyle v_\text{d} = \frac{U_\text{H}}{B\,b} = \frac{0{,}099\,\mathrm V}{0{,}020\,\mathrm T\cdot 0{,}010\,\mathrm m} = 4{,}95\cdot 10^{2}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)
Beide Wege liefern rund \(500\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Einordnung: \(500\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) klingt viel — es sind immerhin \(1800\,\mathrm{\frac{km}{h}}\) —, ist aber rund \(12\,000\)-mal kleiner als die \(5{,}9\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) eines mit \(100\,\mathrm V\) beschleunigten Elektrons. Die Drift ist der ungeordneten, viel schnelleren Wärmebewegung der Elektronen nur überlagert: Sie ist die langsame gemeinsame Wanderung, die den Strom ausmacht. In einem Metall wäre \(v_\text{d}\) wegen der \(8{,}5\cdot 10^{8}\)-mal größeren Ladungsträgerdichte nur \(5{,}9\cdot 10^{-7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\), also weniger als ein Mikrometer pro Sekunde — dort ist die Ablenkung entsprechend winzig, und genau deshalb liefert ein Metall keine brauchbare Hallspannung.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mia: In \(U_\text{H} = \frac{B\,I}{n\,e\,d}\) kommt die Breite \(b\) überhaupt nicht vor. Die Hallspannung bleibt bei \(B = 20\,\mathrm{mT}\) also unverändert:
\(\displaystyle U_\text{H} = \frac{0{,}020\,\mathrm T\cdot 0{,}020\,\mathrm A}{4{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{\frac{C}{m^2}}} = 0{,}10\,\mathrm V\)
Der Grund ist der Zusammenhang aus Teilaufgabe b): Verdoppelt man \(b\) bei gleichem Steuerstrom, so verdoppelt sich der Querschnitt, und die Driftgeschwindigkeit halbiert sich auf \(250\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Damit ist
\(\displaystyle U_\text{H} = B\,v_\text{d}\,b = 0{,}020\,\mathrm T\cdot 250\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 0{,}020\,\mathrm m = 0{,}10\,\mathrm V\)
Mias Überlegung ist falsch: Der längere Trennweg ist zwar richtig gesehen, sie übersieht aber, dass die langsamere Drift eine genau gleich große Verkleinerung der Lorentzkraft bewirkt. Beide Effekte heben sich exakt auf.
Ben: Die Dicke steht im Nenner, eine Halbierung verdoppelt also die Hallspannung:
\(\displaystyle U_\text{H} = \frac{0{,}020\,\mathrm T\cdot 0{,}020\,\mathrm A}{1{,}0\cdot 10^{20}\,\mathrm{m^{-3}}\cdot 1{,}60\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 1{,}25\cdot 10^{-4}\,\mathrm m} = 0{,}20\,\mathrm V\)
Bens Aussage ist richtig. Anschaulich: Bei halber Dicke fließt derselbe Strom durch den halben Querschnitt, die Elektronen driften doppelt so schnell (\(1000\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)), die Lorentzkraft ist doppelt so groß und das Gegenfeld muss doppelt so stark werden. Grenzen setzen die Praxis: Ein halb so dickes Plättchen hat den doppelten Widerstand, erwärmt sich beim selben Steuerstrom stärker — und die Ladungsträgerdichte von Halbleitern hängt empfindlich von der Temperatur ab — und es ist mechanisch empfindlicher.
Verfahren zur Vermessung des Luftspalts:
(1) Vorbereitung. Steuerstrom mit einer Konstantstromquelle auf \(I = 20{,}0\,\mathrm{mA}\) einstellen und während der ganzen Messreihe unverändert lassen, denn \(U_\text{H}\) ist auch zu \(I\) proportional. Vor der ersten Messung die Sonde einige Minuten warmlaufen lassen und die Nullanzeige weit außerhalb des Magneten aufnehmen: Diese Nullspannung \(U_0\) (durch nicht exakt gegenüberliegende Kontakte) wird von jedem Messwert abgezogen.
(2) Positionierung. Die Sonde auf einem Reiter mit Millimeterskala befestigen und in Schritten von \(2\,\mathrm{mm}\) längs der Mittellinie durch den Luftspalt fahren — beginnend außerhalb des Magneten, über die Spaltmitte hinweg, bis wieder außerhalb. Für die Verteilung quer dazu einen zweiten Durchgang senkrecht zum ersten aufnehmen.
(3) Ausrichtung. An jedem Messort die Sonde um ihre Längsachse drehen und den Wert mit der größten Hallspannung notieren: Nur dann steht die Plättchenfläche senkrecht zum Feld und \(U_\text{H}\) erfasst die volle Flussdichte statt nur einer Komponente. Zusätzlich jede Messung mit umgepoltem Steuerstrom wiederholen und \(U_\text{H} = \tfrac{1}{2}\left(U_+ - U_-\right)\) auswerten; damit fallen \(U_0\) und Thermospannungen heraus.
(4) Auswertung. Jeden Messwert mit der Kalibrierung in eine Flussdichte umrechnen, \(\displaystyle B = \frac{U_\text{H}}{s}\) mit \(s = 5{,}0\,\mathrm{\frac{V}{T}}\), und \(B\) über dem Ort auftragen. Zu erwarten ist ein weitgehend waagerechter Verlauf im Inneren des Spalts (homogenes Feld) und ein Abfall zu den Rändern hin.
(5) Grenzen. Die Sonde mittelt über die Fläche ihres Plättchens; Strukturen, die kleiner als \(10\,\mathrm{mm}\) sind, werden verschmiert. Für die Randbereiche ist deshalb ein kleineres Plättchen nötig. Außerdem sollte die Messreihe hin und zurück aufgenommen werden, um Positionierfehler zu erkennen.