Der Elektronenstrahl im Oszilloskop
AFB I–IIIn der Braunschen Röhre eines Schuloszilloskops treten Elektronen aus einer Glühkathode aus und werden durch die Beschleunigungsspannung \(U_\text{B} = 1{,}6\,\mathrm{kV}\) auf ihre Endgeschwindigkeit \(v_0\) gebracht. Anschließend fliegen sie genau in der Mitte zwischen zwei waagerechten Ablenkplatten hindurch (Material M1). Die Platten sind \(l = 4{,}0\,\mathrm{cm}\) lang und haben den Abstand \(d = 1{,}0\,\mathrm{cm}\); zwischen ihnen liegt die Ablenkspannung \(U = 40\,\mathrm V\), wobei die obere Platte am Pluspol angeschlossen ist.
Hinter den Platten legen die Elektronen noch \(L = 7{,}5\,\mathrm{cm}\) bis zum Leuchtschirm zurück. Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\). Das Randfeld an den Plattenenden und die Gewichtskraft bleiben unberücksichtigt.
Die Ablenkung ist gegenüber den Längen senkrecht überhöht gezeichnet. Zwischen den Platten darf das Feld als homogen angesehen werden, außerhalb als feldfrei; das Randfeld an den Plattenenden bleibt unberücksichtigt. Die Gewichtskraft des Elektrons ist nicht eingezeichnet.
- Geben Sie mithilfe von Material M1 an, zu welcher Platte hin das Elektron abgelenkt wird, und begründen Sie Ihre Antwort. Gehen Sie dabei ausdrücklich auf das Vorzeichen der Ladung ein.
- Berechnen Sie die Eintrittsgeschwindigkeit \(v_0\), die elektrische Feldstärke \(E\) zwischen den Platten und die Beschleunigung \(a\), die das Elektron dort quer zu seiner Flugrichtung erfährt.
- Berechnen Sie die Zeit, die sich ein Elektron zwischen den Platten aufhält, sowie die Ablenkung \(y\) am Plattenende. Prüfen Sie damit, ob das Elektron die Platten verlassen kann, ohne auf eine von ihnen zu treffen.
- Weisen Sie nach, dass die Bahn zwischen den Platten eine Parabel ist, indem Sie \(y\) als Funktion von \(x\) aufstellen, und begründen Sie, warum das Elektron hinter den Platten geradlinig zum Schirm weiterfliegt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die obere Platte ist positiv, die untere negativ geladen. Das elektrische Feld zeigt daher von oben nach unten, also senkrecht nach unten (in M1 durch die blauen Feldpfeile dargestellt).
Auf eine Ladung im Feld wirkt die Kraft \(\vec F = q\,\vec E\). Das Elektron trägt die negative Ladung \(q = -e\); die Kraft ist deshalb der Feldrichtung entgegengesetzt und zeigt senkrecht nach oben. Das Elektron wird also zur positiven (oberen) Platte hin abgelenkt.
Die Kraft steht senkrecht auf der ursprünglichen Flugrichtung. In Flugrichtung wirkt keine Kraft — die waagerechte Bewegung bleibt unverändert, während quer dazu eine Ablenkung entsteht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Eintrittsgeschwindigkeit. Die Energie \(W=e\,U_\text{B}\), die das Beschleunigungsfeld überträgt, steckt vollständig in der kinetischen Energie:
\(\displaystyle e\,U_\text{B} = \frac12\,m_\text{e}\,v_0^2 \quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{\frac{2\,e\,U_\text{B}}{m_\text{e}}}\)
\(\displaystyle v_0 = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 1600\,\mathrm V}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}} = \sqrt{5{,}6\cdot 10^{14}\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} = 2{,}4\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)
Feldstärke. Zwischen den Platten ist das Feld homogen:
\(\displaystyle E = \frac{U}{d} = \frac{40\,\mathrm V}{0{,}010\,\mathrm m} = 4{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\)
Beschleunigung. Auf das Elektron wirkt die Kraft \(F = e\,E\), nach dem Grundgesetz der Mechanik folgt daraus
\(\displaystyle a = \frac{F}{m_\text{e}} = \frac{e\,E}{m_\text{e}} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 4{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{V}{m}}}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}} = 7{,}0\cdot 10^{14}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
Bemerkenswert ist, dass diese Beschleunigung nicht von der Geschwindigkeit des Elektrons abhängt: In \(F = e\,E\) kommt \(v\) überhaupt nicht vor.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Flugzeit. In Flugrichtung wirkt keine Kraft, die Bewegung ist dort gleichförmig:
\(\displaystyle t = \frac{l}{v_0} = \frac{0{,}040\,\mathrm m}{2{,}4\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}} = 1{,}7\cdot 10^{-9}\,\mathrm s\)
Das sind knapp zwei Nanosekunden.
Ablenkung am Plattenende. Quer dazu startet das Elektron aus der Ruhe und wird gleichmäßig beschleunigt:
\(\displaystyle y = \frac12\,a\,t^2 = \frac12\cdot 7{,}0\cdot 10^{14}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot \left(1{,}7\cdot 10^{-9}\,\mathrm s\right)^2 = 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm m = 1{,}0\,\mathrm{mm}\)
Prüfung. Das Elektron fliegt mittig ein, hat also bis zu jeder Platte den Abstand \(\frac{d}{2} = 5{,}0\,\mathrm{mm}\). Wegen \(1{,}0\,\mathrm{mm} \lt 5{,}0\,\mathrm{mm}\) verlässt es die Platten, es nutzt nur ein Fünftel des zur Verfügung stehenden Weges aus. Erst bei etwa der fünffachen Ablenkspannung, also rund \(200\,\mathrm V\), würde der Strahl auf die obere Platte treffen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Bahngleichung. Die beiden Teilbewegungen sind voneinander unabhängig:
waagerecht: \(\displaystyle x = v_0\,t\) \(\qquad\) senkrecht: \(\displaystyle y = \frac12\,a\,t^2\)
Auflösen der ersten Gleichung nach der Zeit liefert \(\displaystyle t = \frac{x}{v_0}\). Eingesetzt:
\(\displaystyle y(x) = \frac12\,a\left(\frac{x}{v_0}\right)^{2} = \frac{a}{2\,v_0^{2}}\cdot x^{2}\)
Der Faktor \(\frac{a}{2\,v_0^{2}}\) ist konstant, denn \(a\) und \(v_0\) ändern sich während des Fluges nicht. Es gilt also \(y \sim x^{2}\) — das ist die Gleichung einer Parabel mit dem Scheitel im Eintrittspunkt. Mit den Werten aus b):
\(\displaystyle \frac{a}{2\,v_0^{2}} = \frac{7{,}0\cdot 10^{14}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}{2\cdot\left(2{,}4\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\right)^{2}} = 0{,}61\,\mathrm{\frac{1}{m}} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = 0{,}61\,\mathrm{\frac{1}{m}}\cdot x^{2}\)
Kontrolle am Plattenende: \(y(0{,}040\,\mathrm m) = 0{,}61\,\mathrm{\frac{1}{m}}\cdot (0{,}040\,\mathrm m)^2 = 9{,}8\cdot 10^{-4}\,\mathrm m \approx 1{,}0\,\mathrm{mm}\) — in Übereinstimmung mit Teilaufgabe c); die kleine Abweichung stammt allein vom Runden.
Hinter den Platten. Dort ist der Raum feldfrei, es wirkt also keine Kraft mehr (die Gewichtskraft wird vernachlässigt). Nach dem Trägheitsgesetz behält das Elektron seine Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung bei und fliegt geradlinig und gleichförmig weiter — auf der Tangente, die die Parabel im Austrittspunkt hat. Deshalb besteht die Bahn in M1 aus zwei Teilen: einem Parabelbogen zwischen den Platten und einer Geraden bis zum Schirm.
Tintenstrahldrucker
AFB II–IIIIn einem Tintenstrahldrucker zerfällt ein feiner Tintenstrahl in gleich große Tröpfchen. Jedes Tröpfchen erhält an einer Ladeelektrode eine negative Ladung \(q\) und fliegt anschließend waagerecht mit \(v_0 = 15\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) zwischen zwei Ablenkplatten hindurch (Material M2). Die Platten sind \(l = 1{,}5\,\mathrm{cm}\) lang und haben den Abstand \(d = 2{,}0\,\mathrm{mm}\); die Ablenkspannung beträgt \(U = 2{,}0\,\mathrm{kV}\). Nach dem Verlassen der Platten legt das Tröpfchen noch \(L = 1{,}5\,\mathrm{cm}\) bis zum Papier zurück.
Mit einem Messmikroskop wird die Ablenkung am Plattenende zu \(y_1 = 0{,}50\,\mathrm{mm}\) bestimmt. Ein Tröpfchen hat die Masse \(m = 1{,}0\cdot 10^{-10}\,\mathrm{kg}\). Luftwiderstand und Randfelder bleiben unberücksichtigt; die Elementarladung beträgt \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\).
Die Ablenkung ist gegenüber den Längen senkrecht überhöht gezeichnet. Hinter den Platten wirkt keine Kraft mehr: Das Tröpfchen fliegt auf der Tangente an die Parabel weiter, die im Austrittspunkt mit der Waagerechten den Austrittswinkel \(\alpha\) einschließt.
| Ausstoßgeschwindigkeit \(v_0\) in \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) | Ablenkung \(y_\text{ges}\) auf dem Papier in \(\mathrm{mm}\) |
|---|---|
| \(10\) | \(3{,}36\) |
| \(12\) | \(2{,}37\) |
| \(15\) | \(1{,}50\) |
| \(18\) | \(1{,}05\) |
| \(20\) | \(0{,}83\) |
| \(25\) | \(0{,}55\) |
Die Ausstoßgeschwindigkeit wurde über den Druck der Pumpe verändert; Ablenkspannung, Plattenmaße und Tröpfchengröße blieben dabei unverändert. Die Ablenkung wurde am gedruckten Punkt mit einem Messmikroskop auf \(0{,}01\,\mathrm{mm}\) genau abgelesen.
- Bestimmen Sie aus der gemessenen Ablenkung \(y_1\) am Plattenende die spezifische Ladung \(\frac{q}{m}\) eines Tröpfchens und berechnen Sie daraus, wie viele Elementarladungen es trägt.
- Berechnen Sie den Winkel \(\alpha\), unter dem das Tröpfchen die Platten verlässt, und daraus die gesamte Ablenkung \(y_\text{ges}\) auf dem Papier.
- Leiten Sie her, dass die Ablenkung auf dem Papier umgekehrt proportional zum Quadrat der Ausstoßgeschwindigkeit ist \(\left(y_\text{ges} \sim \frac{1}{v_0^{2}}\right)\), und werten Sie die Messreihe aus Material M3 daraufhin aus.
- Zwei Lernende diskutieren über den Drucker. Nils: „Schnellere Tröpfchen werden stärker abgelenkt, denn die elektrische Kraft wächst mit der Geschwindigkeit.“ Mara: „Verdoppelt man die Ablenkspannung, so verdoppelt sich die Ablenkung; halbiert man dagegen die Ausstoßgeschwindigkeit, so wird die Ablenkung viermal so groß.“ Beurteilen Sie beide Aussagen rechnerisch. Entwickeln Sie abschließend aus dem Unterschied zwischen der elektrischen Kraft \(F = q\,E\) und der Lorentzkraft \(F = q\,v\,B\) eine Idee, wie man aus einem Strahl mit unterschiedlich schnellen Teilchen gezielt eine Geschwindigkeit aussortieren könnte (nur qualitativ).
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Verweildauer zwischen den Platten. Waagerecht bewegt sich das Tröpfchen gleichförmig:
\(\displaystyle t = \frac{l}{v_0} = \frac{0{,}015\,\mathrm m}{15\,\mathrm{\frac{m}{s}}} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm s\)
Querbeschleunigung aus der Messung. Aus \(y_1 = \tfrac12\,a\,t^2\) folgt
\(\displaystyle a = \frac{2\,y_1}{t^{2}} = \frac{2\cdot 5{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm m}{\left(1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm s\right)^{2}} = 1{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
Feldstärke. \(\displaystyle E = \frac{U}{d} = \frac{2000\,\mathrm V}{0{,}0020\,\mathrm m} = 1{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\)
Spezifische Ladung. Die Querbeschleunigung stammt von der elektrischen Kraft \(F = q\,E\):
\(\displaystyle a = \frac{q\,E}{m} \quad\Longrightarrow\quad \frac{q}{m} = \frac{a}{E} = \frac{1{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}{1{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{\frac{C}{kg}}\)
Anzahl der Elementarladungen. Mit \(m = 1{,}0\cdot 10^{-10}\,\mathrm{kg}\) ist \(q = 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{\frac{C}{kg}}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-10}\,\mathrm{kg} = 1{,}0\cdot 10^{-13}\,\mathrm C\), also
\(\displaystyle N = \frac{q}{e} = \frac{1{,}0\cdot 10^{-13}\,\mathrm C}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C} = 6{,}3\cdot 10^{5}\)
Rund \(600\,000\) überschüssige Elektronen sitzen also auf einem Tröpfchen — verglichen mit der Zahl seiner Moleküle eine winzige Menge. Die Vernachlässigung der Gewichtskraft ist gerechtfertigt: Die elektrische Querbeschleunigung ist mit \(1{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) rund \(100\)-mal so groß wie \(g\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Austrittswinkel. Die Quergeschwindigkeit wächst gleichmäßig an, die waagerechte Geschwindigkeit bleibt unverändert:
\(\displaystyle v_y = a\,t = 1{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm s = 1{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)
\(\displaystyle \tan\alpha = \frac{v_y}{v_0} = \frac{1{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{15\,\mathrm{\frac{m}{s}}} = 0{,}067 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 3{,}8^\circ\)
Zusätzliche Ablenkung auf dem feldfreien Reststück. Dort fliegt das Tröpfchen geradlinig unter diesem Winkel weiter:
\(\displaystyle \Delta y = L\cdot\tan\alpha = 0{,}015\,\mathrm m\cdot 0{,}067 = 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm m = 1{,}0\,\mathrm{mm}\)
Gesamte Ablenkung.
\(\displaystyle y_\text{ges} = y_1 + \Delta y = 0{,}50\,\mathrm{mm} + 1{,}0\,\mathrm{mm} = 1{,}5\,\mathrm{mm}\)
Das passt zur Messreihe in M3, die bei \(v_0 = 15\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) genau \(1{,}50\,\mathrm{mm}\) ausweist.
Eleganter geht es mit dem Strahlensatz: Verlängert man die Bahn hinter den Platten rückwärts, so schneidet sie die Einfallsrichtung genau in der Mitte der Platten. Von diesem gedachten Ausgangspunkt aus wächst die Ablenkung geradlinig, sodass gilt
\(\displaystyle y_\text{ges} = y_1\left(1 + \frac{2\,L}{l}\right) = 0{,}50\,\mathrm{mm}\cdot\left(1 + \frac{2\cdot 1{,}5\,\mathrm{cm}}{1{,}5\,\mathrm{cm}}\right) = 0{,}50\,\mathrm{mm}\cdot 3 = 1{,}5\,\mathrm{mm}\)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Herleitung. Die Querbeschleunigung \(a = \frac{q\,U}{m\,d}\) hängt nicht von \(v_0\) ab — in der elektrischen Kraft \(F = q\,E\) kommt die Geschwindigkeit nicht vor. Die Geschwindigkeit steckt allein in der Verweildauer \(t = \frac{l}{v_0}\):
\(\displaystyle y_1 = \frac12\,a\left(\frac{l}{v_0}\right)^{2} = \frac{a\,l^{2}}{2\,v_0^{2}}\)
Mit dem Ergebnis aus b) folgt für die gesamte Ablenkung
\(\displaystyle y_\text{ges} = y_1\left(1+\frac{2L}{l}\right) = \underbrace{\frac{a\,l^{2}}{2}\left(1+\frac{2L}{l}\right)}_{\text{konstant}}\cdot\frac{1}{v_0^{2}}\quad\Longrightarrow\quad y_\text{ges}\sim\frac{1}{v_0^{2}}\)
Doppelt so schnelle Tröpfchen halten sich nur halb so lange im Feld auf; da die Ablenkung quadratisch mit der Zeit wächst, bleibt von ihr nur ein Viertel übrig.
Auswertung der Messreihe. Ist \(y_\text{ges}\sim\frac{1}{v_0^{2}}\), so muss das Produkt \(y_\text{ges}\cdot v_0^{2}\) konstant sein:
| \(v_0\) in \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) | \(y_\text{ges}\) in \(\mathrm{mm}\) | \(y_\text{ges}\cdot v_0^{2}\) in \(\mathrm{mm\cdot\frac{m^2}{s^2}}\) |
|---|---|---|
| \(10\) | \(3{,}36\) | \(336\) |
| \(12\) | \(2{,}37\) | \(341\) |
| \(15\) | \(1{,}50\) | \(338\) |
| \(18\) | \(1{,}05\) | \(340\) |
| \(20\) | \(0{,}83\) | \(332\) |
| \(25\) | \(0{,}55\) | \(344\) |
Die sechs Werte streuen um den Mittelwert \(3{,}4\cdot 10^{2}\,\mathrm{mm\cdot\frac{m^2}{s^2}}\) um weniger als \(2\,\%\) und damit im Rahmen der Messgenauigkeit. Die Messreihe bestätigt die Vermutung \(y_\text{ges}\sim\frac{1}{v_0^{2}}\).
Besonders anschaulich ist der Vergleich der ersten und der fünften Zeile: Bei doppelter Geschwindigkeit (\(10\rightarrow 20\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)) sinkt die Ablenkung von \(3{,}36\,\mathrm{mm}\) auf \(0{,}83\,\mathrm{mm}\), also auf \(\frac{1}{4{,}0}\) des Ausgangswertes.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Nils irrt — und zwar doppelt.
Erster Fehler: Die elektrische Kraft ist \(F = q\,E = q\,\frac{U}{d}\). In diesem Ausdruck kommt die Geschwindigkeit überhaupt nicht vor. Für alle Tröpfchen gilt daher dieselbe Querbeschleunigung \(a = \frac{q\,U}{m\,d} = 1{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\), gleich ob sie mit \(10\) oder mit \(25\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) einfliegen. Nils verwechselt die elektrische Kraft offenbar mit der Lorentzkraft \(F = q\,v\,B\), die tatsächlich proportional zu \(v\) ist.
Zweiter Fehler: Selbst die Richtung seiner Aussage stimmt nicht. Ein schnelleres Tröpfchen hält sich kürzer im Feld auf, und wegen \(y = \tfrac12\,a\,t^{2}\) geht die Ablenkung sogar quadratisch zurück: \(y_\text{ges}\sim\frac{1}{v_0^{2}}\) (Teilaufgabe c). Die Messreihe zeigt es unmittelbar: \(3{,}36\,\mathrm{mm}\) bei \(10\,\mathrm{\frac{m}{s}}\), aber nur \(0{,}83\,\mathrm{mm}\) bei \(20\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Schnellere Tröpfchen werden also schwächer abgelenkt.
Mara hat recht. Wegen \(a = \frac{q\,U}{m\,d}\) ist die Ablenkung der Spannung proportional:
\(\displaystyle U' = 4{,}0\,\mathrm{kV} \;\Rightarrow\; y_\text{ges}' = 2\cdot 1{,}5\,\mathrm{mm} = 3{,}0\,\mathrm{mm}\)
Und mit \(y_\text{ges}\cdot v_0^{2} = 3{,}4\cdot 10^{2}\,\mathrm{mm\cdot\frac{m^2}{s^2}}\) folgt für die halbierte Geschwindigkeit
\(\displaystyle v_0' = 7{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} \;\Rightarrow\; y_\text{ges}' = \frac{3{,}4\cdot 10^{2}}{7{,}5^{2}}\,\mathrm{mm} = 6{,}0\,\mathrm{mm} = 4\cdot 1{,}5\,\mathrm{mm}\)
Beide Teilaussagen Maras werden von der Rechnung bestätigt. Für die Praxis heißt das: Die Schriftgröße steuert man am besten über die Ablenkspannung, denn die Ausstoßgeschwindigkeit hängt am Pumpendruck und geht zudem quadratisch ein — kleine Druckschwankungen würden das Schriftbild stark verzerren.
Ausblick: Teilchen nach ihrer Geschwindigkeit sortieren. Der Vergleich der beiden Kräfte liefert die Idee. Die elektrische Kraft \(F = q\,E\) ist für alle Teilchen gleich groß, unabhängig davon, wie schnell sie fliegen. Die Lorentzkraft \(F = q\,v\,B\) dagegen wächst proportional zur Geschwindigkeit: Sie ist für langsame Teilchen klein und für schnelle groß.
Lässt man beide Kräfte gleichzeitig, aber einander entgegengesetzt auf denselben Strahl wirken, so hängt es allein von der Geschwindigkeit ab, welche der beiden überwiegt: Langsame Teilchen werden zur einen Seite abgelenkt, schnelle zur anderen. Für genau eine Geschwindigkeit müssten sich beide Kräfte gerade aufheben — solche Teilchen flögen ungestört geradeaus und ließen sich hinter einer Blende einzeln herausgreifen. Ein Gerät nach diesem Prinzip wäre ein Geschwindigkeitsfilter; die genaue Bedingung dafür wird im folgenden Unterkapitel aufgestellt.