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Übungen: Das Zerfallsgesetz

Kein Kern verrät, wann er zerfällt — und trotzdem tickt die Menge wie ein Uhrwerk: Für den einzelnen Kern gibt es nur eine Wahrscheinlichkeit.

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Übungsaufgaben

1Zufall und GesetzAFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Der scheinbare Widerspruch dieses Kapitels löst sich über die Zahl auf: Ein einzelner Kern ist reiner Zufall, aber ein Gramm Uran enthält rund 2,5 · 1021 Kerne. Bei so vielen Würfen wird das Mittel extrem zuverlässig — der Zufall verschwindet nicht, er wird nur relativ unbedeutend. Deshalb wirkt der Zerfall makroskopisch wie ein Uhrwerk und mikroskopisch wie ein Würfel.
2Nuklid und HalbwertszeitAFB I

Finden Sie zu jedem Nuklid die passende Halbwertszeit.

Decke zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen.
Versuche: 0 von 12
Die Spanne dieser sechs Nuklide umfasst mehr als dreizehn Zehnerpotenzen — von Stunden bis zu Milliarden Jahren. Genau danach richtet sich die Anwendung: 99mTc ist in der Diagnostik brauchbar, weil es den Körper binnen Tagen wieder verlässt, 238U dagegen datiert das Alter der Erde. Merke dir die Faustregel: kurze Halbwertszeit = hohe Aktivität, aber schnell vorbei; lange Halbwertszeit = schwache, dafür jahrtausendelange Strahlung.
3Was gilt für die Aktivität?AFB I

Wählen Sie alle Aussagen aus, die für die Aktivität \(A\) zutreffen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Der Kern der Sache steckt in A = λ · N: Die Aktivität ist ein Tempo, kein Vorrat. Weil N mit der Zeit fällt und λ konstant bleibt, fällt A exakt gleich schnell — dieselbe Halbwertszeit, dieselbe e-Funktion. Bei Zahlenwerten lohnt die Einheitenkontrolle zuerst: Eine Halbwertszeit in Jahren liefert λ in a−1, und damit kommt niemals Becquerel heraus.
4Radon im KellerAFB II

Eine Radonprobe (\({}^{222}\mathrm{Rn}\), \(T_{1/2}=3{,}8\,\mathrm d\)) hat zu Beginn die Aktivität \(A_0=800\,\mathrm{Bq}\). Betrachtet wird der Zeitpunkt \(t=11{,}4\,\mathrm d\).

Rechnen Sie Schritt für Schritt bis zur Zerfallskonstante.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wie viele Halbwertszeiten sind vergangen? (11,4 d ÷ 3,8 d)T½
  2. Welcher Anteil ist dann noch übrig? (½)n als Dezimalzahl
  3. Wie groß ist die Aktivität zu diesem Zeitpunkt? (800 Bq · Anteil)Bq
  4. Wie groß ist λ = ln2 ÷ T½?1/d
Weil 11,4 d genau das Dreifache von 3,8 d sind, braucht dieser Fall keine e-Funktion: Dreimal halbieren heißt Faktor ½ · ½ · ½ = 0,125. Prüfe bei jeder Zerfallsaufgabe zuerst, ob t ein ganzzahliges Vielfaches von T½ ist — das erspart den Taschenrechner und die typischen Vorzeichenfehler im Exponenten. Der letzte Schritt zeigt außerdem, dass λ und T½ dieselbe Information in zwei Verpackungen sind.
5Kernzahl oder Aktivität?AFB II

Ordnen Sie jede Eigenschaft der Kernzahl \(N(t)\), der Aktivität \(A(t)\) oder beiden zu.

Ziehe jeden Begriff in den passenden Bereich — oder wähle ihn mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Bereichs.
1 nur die Kernzahl N(t)
2 nur die Aktivität A(t)
3 gilt für beide
Beide Größen laufen mit derselben e-Funktion und derselben Halbwertszeit — nur die Bedeutung unterscheidet sich: N ist ein Bestand (Stückzahl), A eine Rate (Stück pro Sekunde). Verbunden sind sie durch A = λ · N. Der praktische Grund, warum in Aufgaben fast immer A auftaucht: Kerne kann niemand zählen, Zerfälle dagegen sehr wohl. Eine Angabe in Bq für eine Kernzahl ist deshalb immer ein Fehler.
6Halbwertszeit und ZerfallskonstanteAFB II

Verbinden Sie jede Halbwertszeit mit der zugehörigen Zerfallskonstante \(\lambda=\tfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\).

Klicke links einen Wert an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie.
Die beiden Größen sind umgekehrt proportional: Zehnfache Halbwertszeit bedeutet ein Zehntel der Zerfallskonstante. Die Zeile T½ = 30 a ist die aus dem Kapitel bekannte von 137Cs — λ ≈ 0,023 a−1 heißt anschaulich: gut 2 % des Bestands zerfallen pro Jahr. Achte auf die Einheit im Exponenten: λ in a−1 verlangt zwingend t in Jahren.
7Wie lange lebt das Nuklid?AFB II

Stufen: 1 = Sekunden bis Stunden · 2 = Tage · 3 = Jahre bis Jahrzehnte · 4 = Jahrhunderte bis Jahrtausende · 5 = Millionen bis Milliarden Jahre

Schätzen Sie aus der Anwendung heraus die Größenordnung der Halbwertszeit ein.

Wähle für jede Zeile eine Stufe von 1 bis 5 und klicke dann auf „Einschätzung prüfen“.
1 = Sekunden bis Stunden5 = Millionen bis Milliarden Jahre
99mTc — Szintigrafie: Der Patient darf noch am selben Tag nach Hause
131I — Schilddrüsentherapie: Die Station wird nach gut einer Woche verlassen
137Cs — belastet Böden nach einem Reaktorunfall über Jahrzehnte
14C — Altersbestimmung archäologischer Funde
238U — Bestimmung des Erdalters aus Zerfallsreihen
Die Anwendung verrät die Halbwertszeit fast immer von selbst, denn beide müssen zusammenpassen. Ein Diagnostik-Nuklid muss schnell verschwinden, sonst bliebe die Strahlenbelastung; ein Datierungsverfahren braucht dagegen eine Halbwertszeit in der Größenordnung des zu messenden Alters. Mit 14C (5730 a) lässt sich deshalb ein 3000 Jahre altes Holzstück datieren, aber niemals ein Gestein von 3 Milliarden Jahren — dafür ist längst zu wenig übrig.
8Welcher Rechenweg?AFB II

Gegeben sind die Halbwertszeit und die Anfangsaktivität. Gesucht ist die Aktivität nach einer Zeit \(t\), die kein ganzzahliges Vielfaches von \(T_{1/2}\) ist. Die Zerfallskonstante ist noch nicht bekannt.

Bestimmen Sie über den Entscheidungsbaum den passenden Rechenweg.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
    Der Baum macht die richtige Reihenfolge sichtbar: erst prüfen, dann rechnen. Wer sofort zur e-Funktion greift, verschenkt bei glatten Vielfachen von T½ den einfachen Weg und handelt sich die klassischen Fehler ein — vergessenes Minuszeichen, fehlende Klammer um den Exponenten, unpassende Zeiteinheit. Und wer λ braucht, es aber nicht hat, muss es zuerst aus T½ berechnen, statt einfach den Kehrwert zu bilden.
    9Messung im PraktikumAFB III

    Ein Praktikumsteam misst mit dem Zählrohr die Aktivität einer unbekannten Probe.

    Untersuchen Sie den Fall Schritt für Schritt.

    Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was folgt als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
      Der letzte Schritt ist der eigentlich lehrreiche: Eine Abweichung nach oben spricht fast nie gegen das Zerfallsgesetz, sondern für einen konstanten Zusatzbeitrag. Deshalb beginnt jede saubere Messung mit einer Nullratenmessung ohne Präparat. Zieht man hier rund 60 Impulse pro Minute Untergrund ab, bleiben genau die erwarteten 200 — das Gesetz stimmt, das Messgerät zählt nur ehrlich alles mit.
      10Aktivität eines StrontiumpräparatsAFB III

      Ein Präparat enthält \(N=2{,}0\cdot 10^{14}\) Kerne \({}^{90}\mathrm{Sr}\) mit \(T_{1/2}=28{,}8\,\mathrm a\). Es gilt \(1\,\mathrm a\approx 3{,}15\cdot 10^{7}\,\mathrm s\).

      Berechnen Sie die Aktivität und geben Sie sie in Kilobecquerel an.

      Rechne die Halbwertszeit zuerst in Sekunden um, dann λ = ln2/T½, dann A = λ · N. Trage die Zahl in kBq ein.
      Der entscheidende Schritt steht ganz am Anfang: T½ = 28,8 a · 3,15 · 107 s/a ≈ 9,1 · 108 s. Damit wird λ ≈ 0,693/9,1 · 108 s ≈ 7,6 · 10−10 s−1 und A = λ · N ≈ 1,5 · 105 Bq, also rund 153 kBq. Wer die Umrechnung in Sekunden vergisst, erhält λ in a−1 und damit eine Zahl, die um den Faktor 3 · 107 zu groß ist — Becquerel ist nun einmal pro Sekunde definiert.