Das Zerfallsgesetz

Erklärung — Vom Zufall zum Gesetz

Der einzelne Kern würfelt — die Menge gehorcht

Ein radioaktiver Kern zerfällt zufällig wie ein Würfelwurf: Für ein festes Zeitintervall gibt es nur eine Wahrscheinlichkeit \(p\) für seinen Zerfall.

Einzelner Kern:Zufall ohne Gedächtnis — ein alter Kern zerfällt nicht eher als ein junger; Druck, Temperatur, chemische Bindung ändern \(p\) nicht.
Viele Kerne:Von \(N\) Kernen zerfallen im nächsten Zeitschritt im Mittel \(p\cdot N\). Bei \(N\sim 10^{20}\) Kernen sind die relativen Schwankungen winzig — die Abnahme wird exakt vorhersagbar.
Folge:In jedem Zeitschritt verschwindet derselbe Anteil \(p\) des Bestands — das ist genau das Rezept für eine exponentielle Abnahme.

Im Applet „würfeln“ 400 Kerne in jedem Schritt. Beobachte, wie aus Zufall eine glatte Kurve wird — und wie sie bei wenigen Kernen zerfranst.

Jeder Punkt ist ein Atomkern. Pro Zeitschritt zerfällt jeder Kern mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) (Regler). Rechts wächst live das Diagramm der übrigen Kerne — mit der theoretischen Kurve \(N_0\cdot(1-p)^k\) als Überlagerung und der Halbwertszeit-Linie bei \(N_0/2\). Im Modus „echte Zeit“ zeigt sich dieselbe Physik als e-Funktion mit der Zeitachse in Halbwertszeiten.

Zerfallswahrscheinlichkeit pro Schritt: 17 %

Schritt 0übrig: 400zerfallen: 0erwartete Halbwertszeit: 3,7 Schritte

Merke: Der Zufall verschwindet nicht — er wird nur relativ unwichtig, wenn \(N\) riesig ist. Ein Gramm Uran enthält \(\sim 2{,}5\cdot 10^{21}\) Kerne: Deshalb wirkt der Zerfall makroskopisch wie ein präzises Uhrwerk.

Das Zerfallsgesetz und die Halbwertszeit

Die Simulation zeigt: Nach einer festen Zeitspanne ist immer die Hälfte des Bestands übrig — egal, wie viele Kerne es gerade sind.

Halbwertszeit:\(T_{1/2}\) ist die Zeit, nach der die Hälfte der Kerne zerfallen ist.
Halbieren:nach \(n=t/T_{1/2}\) Halbwertszeiten ist der Faktor \(\left(\tfrac12\right)^{n}\) übrig.
e-Form:mit \(\tfrac12=e^{-\ln 2}\) (Mathematik) wird daraus \(N_0\cdot e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\cdot t}\).
Zerfallskonstante:\(\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\) ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (z. B. in \(\mathrm{s}^{-1}\)), für jedes Nuklid fest.

Zerfallsgesetz

\(N(t)=N_0\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=N_0\cdot e^{-\lambda t}\qquad \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\)

\(N_0\) = Kerne zu Beginn • \(N(t)\) = noch nicht zerfallene Kerne zur Zeit \(t\) • \(\lambda\) = Zerfallskonstante • Halbierungsform bequem, wenn \(t\) ein Vielfaches von \(T_{1/2}\) ist

Nuklid	\(T_{1/2}\)	Wofür bekannt?
\({}^{99m}\mathrm{Tc}\)	\(6{,}0\,\mathrm{h}\)	Nuklearmedizin (Szintigrafie)
\({}^{131}\mathrm{I}\)	\(8{,}0\,\mathrm{d}\)	Schilddrüsentherapie
\({}^{222}\mathrm{Rn}\)	\(3{,}8\,\mathrm{d}\)	Radon in Kellerräumen
\({}^{137}\mathrm{Cs}\)	\(30{,}2\,\mathrm{a}\)	Reaktorunfälle
\({}^{14}\mathrm{C}\)	\(5730\,\mathrm{a}\)	Altersbestimmung (C-14-Methode)
\({}^{238}\mathrm{U}\)	\(4{,}5\cdot 10^{9}\,\mathrm{a}\)	Erdalter, Zerfallsreihe

Aktivität — das Tempo des Zerfalls

Das Zählrohr (8.1.1) misst nicht, wie viele Kerne noch da sind, sondern wie viele pro Sekunde zerfallen: die Aktivität \(A\).

Herleitung:

\(A=\lambda\cdot N\)

| \(N\) einsetzen

Jeder der \(N\) Kerne zerfällt mit der Rate \(\lambda\).

\(A=\lambda\,N_0\,e^{-\lambda t}\)

| \(A_0=\lambda N_0\)

Die Kernzahl nimmt exponentiell ab.

\(A(t)=A_0\cdot e^{-\lambda t}\)

Ergebnis

Die Aktivität fällt mit derselben Halbwertszeit wie \(N\).

Aktivität

\(A=\lambda\cdot N \qquad A(t)=A_0\cdot e^{-\lambda t}\)

Einheit: Becquerel, \(1\,\mathrm{Bq}=1\) Zerfall pro Sekunde — die Aktivität nimmt mit derselben Halbwertszeit ab wie \(N\)

Größenordnungen:Eine Banane hat durch ihr Kalium-40 etwa \(15\,\mathrm{Bq}\), der menschliche Körper rund \(9000\,\mathrm{Bq}\) — Becquerel sind eine sehr „kleine“ Einheit, deshalb tauchen oft kBq und MBq auf.
Doppelrolle von \(\lambda\):Großes \(\lambda\) bedeutet kurze Halbwertszeit und hohe Aktivität bei gleicher Kernzahl — kurzlebige Nuklide strahlen heftig, aber kurz.
Achtung Einheiten:Für \(A\) in Bq muss \(\lambda\) in \(\mathrm{s}^{-1}\) stehen — Halbwertszeiten also erst in Sekunden umrechnen (\(1\,\mathrm{a}\approx 3{,}15\cdot 10^{7}\,\mathrm{s}\)).

Drei Musteraufgaben — mit immer weniger Hilfe

Dieselbe Werkzeugkiste (Zerfallsgesetz, \(\lambda\), Aktivität) in drei Aufgaben. Die erste rechnen wir komplett vor, bei der zweiten bekommst du nur den Plan, die dritte gehört dir.

Beispiel 1 — komplett vorgemacht (C-14)Wie groß ist der Anteil der ursprünglichen \({}^{14}\mathrm{C}\)-Kerne nach \(11\,460\) Jahren (\(T_{1/2}=5730\,\mathrm{a}\))? — Erst die Zeit in Halbwertszeiten umrechnen: \(t/T_{1/2}=11\,460/5730=2\). Dann die Halbierungsform nutzen: \(\frac{N}{N_0}=\left(\frac12\right)^{2}=\frac14=25\,\%\). Nach zwei Halbwertszeiten ist also noch ein Viertel übrig — nicht nichts!

Beispiel 2 — nur noch der Plan (λ aus T½)Gesucht ist die Zerfallskonstante von \({}^{137}\mathrm{Cs}\) (\(T_{1/2}=30{,}2\,\mathrm{a}\)). Plan: Formel \(\lambda=\ln 2/T_{1/2}\) direkt anwenden, Einheit der Halbwertszeit beibehalten. Ergebnis zum Vergleichen: \(\lambda=\frac{0{,}693}{30{,}2\,\mathrm{a}}\approx 0{,}023\,\mathrm{a}^{-1}\) — pro Jahr zerfällt also gut \(2\,\%\) des Bestands.

Beispiel 3 — jetzt du (Aktivität)Ein Präparat enthält \(N=2{,}0\cdot 10^{14}\) Kerne \({}^{90}\mathrm{Sr}\) (\(T_{1/2}=28{,}8\,\mathrm{a}\)). Berechne \(\lambda\) in \(\mathrm{s}^{-1}\) (Jahr erst in Sekunden umrechnen!) und dann die Aktivität \(A=\lambda\cdot N\). Kontrollwert zum Selbstprüfen: \(A\approx 1{,}5\cdot 10^{5}\,\mathrm{Bq}\).

Allgemeine Hinweise

Erst in T½ denken

Prüfe zuerst, ob \(t\) ein Vielfaches von \(T_{1/2}\) ist — dann reicht wiederholtes Halbieren, ganz ohne e-Funktion.

Einheiten-Duo λ und t

\(\lambda\) und \(t\) müssen zur selben Zeiteinheit gehören: \(\lambda\) in \(\mathrm{a}^{-1}\) → \(t\) in Jahren; für Bq brauchst du \(\lambda\) in \(\mathrm{s}^{-1}\).

Taschenrechner-Falle

\(e^{-\lambda t}\): Minuszeichen nicht vergessen und den Exponenten komplett klammern: e^(−λ·t). Kontrolle: Das Ergebnis muss kleiner als \(N_0\) sein.