Vom α-Teilchen zum Spannungsimpuls
AFB IIEin Halbleiterdetektor ist im Kern eine pn-Diode, an die eine Spannung in Sperrrichtung angelegt wird. Ein \(\alpha\)-Teilchen aus einem Americium-Präparat gibt in der Sperrschicht seine gesamte Energie \(W=5{,}4\ \mathrm{MeV}\) ab. Für Silizium beträgt die Paarbildungsenergie \(W_{\text{Paar}}=3{,}6\ \mathrm{eV}\); die Elementarladung ist \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\).
- Erklären Sie, warum die Spannung in Sperrrichtung angelegt wird und welche Rolle die Sperrschicht beim Nachweis des Teilchens spielt.
- Berechnen Sie die Anzahl der erzeugten Elektron-Loch-Paare und die insgesamt gesammelte Ladung \(Q\).
- Begründen Sie, warum die Höhe des Spannungsimpulses ein Maß für die Energie des Teilchens ist, und geben Sie an, wie sich der Impuls ändert, wenn ein Teilchen mit doppelter Energie eintrifft.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Sperrspannung (Pluspol an die n-Seite, Minuspol an die p-Seite) zieht die frei beweglichen Ladungsträger von der Grenzschicht weg. Dadurch entsteht am pn-Übergang eine breite, nahezu ladungsfreie Zone — die Sperrschicht oder Raumladungszone.
Genau das macht den Nachweis möglich: Weil dort im Ruhezustand praktisch keine freien Ladungsträger vorhanden sind, fließt kein nennenswerter Strom. Jedes Ladungsträgerpaar, das ein einfallendes Teilchen dort erzeugt, fällt daher sofort auf. Zusätzlich herrscht in der Sperrschicht ein starkes elektrisches Feld, das die entstandenen Elektronen zur n-Seite und die Löcher zur p-Seite treibt, bevor sie rekombinieren können. Die Sperrschicht ist damit das empfindliche Volumen des Detektors; je höher die Sperrspannung, desto breiter wird sie.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(N_{\text{Paare}}=\dfrac{W}{W_{\text{Paar}}}=\dfrac{5{,}4\cdot10^{6}\ \mathrm{eV}}{3{,}6\ \mathrm{eV}}=1{,}5\cdot10^{6}\) Paare.
\(Q=N_{\text{Paare}}\cdot e=1{,}5\cdot10^{6}\cdot 1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\approx 2{,}4\cdot10^{-13}\ \mathrm{C}\).
Ein einziges \(\alpha\)-Teilchen liefert also rund \(0{,}24\ \mathrm{pC}\) — wenig, aber mit einem empfindlichen Verstärker gut messbar.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Paarbildungsenergie \(W_{\text{Paar}}\) ist eine feste Materialkonstante des Siliziums, und jedes Paar trägt genau die Elementarladung \(e\) bei. Damit gilt \(Q=\dfrac{W}{W_{\text{Paar}}}\cdot e\): Die gesammelte Ladung ist der abgegebenen Energie direkt proportional. Da der nachgeschaltete Verstärker aus dieser Ladung einen Spannungsimpuls erzeugt, dessen Höhe proportional zu \(Q\) ist, ist auch die Impulshöhe proportional zu \(W\). Genau darauf beruht die \(\alpha\)- und \(\gamma\)-Spektroskopie.
Bei doppelter Energie entstehen doppelt so viele Paare, es wird die doppelte Ladung gesammelt, und der Impuls wird doppelt so hoch. Im Spektrum liegt die zugehörige Linie folglich beim doppelten Kanal.
Warum der Halbleiter genauer misst
AFB IIIBeide Detektoren aus Material M1 weisen dasselbe Teilchen nach — und liefern doch sehr unterschiedlich brauchbare Informationen. Ein Teilchen gebe in beiden Fällen die Energie \(W=1{,}0\ \mathrm{MeV}\) ab.
| Detektor | Nachweismedium | Energie je Ladungspaar |
|---|---|---|
| Geiger-Müller-Zählrohr | Zählgas (Argon) | \(30\ \mathrm{eV}\) |
| Halbleiterdetektor | Silizium | \(3{,}6\ \mathrm{eV}\) |
Für die zufällige Schwankung der Zahl der erzeugten Ladungsträger gilt näherungsweise \(\Delta N\approx\sqrt{N}\); die relative Schwankung beträgt also \(\dfrac{\Delta N}{N}=\dfrac{1}{\sqrt{N}}\).
- Berechnen Sie für beide Detektoren die Anzahl der erzeugten Ladungspaare und die relative Schwankung \(\dfrac{1}{\sqrt{N}}\).
- Erklären Sie mithilfe Ihrer Ergebnisse aus a), warum der Halbleiterdetektor die deutlich bessere Energieauflösung besitzt.
- Zwei \(\alpha\)-Linien eines Präparats liegen bei \(5{,}30\ \mathrm{MeV}\) und \(5{,}49\ \mathrm{MeV}\). Entscheiden Sie begründet, mit welchem Detektor sie getrennt sichtbar gemacht werden können. Ein Mitschüler meint, das Zählrohr erreiche dieselbe Trennung, wenn man nur lange genug misst — beurteilen Sie diesen Einwand.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Zählrohr (Gas): \(N=\dfrac{1{,}0\cdot10^{6}\ \mathrm{eV}}{30\ \mathrm{eV}}=3{,}3\cdot10^{4}\) Paare.
\(\dfrac{1}{\sqrt{N}}=\dfrac{1}{182}\approx 5{,}5\cdot10^{-3}=0{,}55\ \%\).
Halbleiter (Silizium): \(N=\dfrac{1{,}0\cdot10^{6}\ \mathrm{eV}}{3{,}6\ \mathrm{eV}}=2{,}8\cdot10^{5}\) Paare.
\(\dfrac{1}{\sqrt{N}}=\dfrac{1}{527}\approx 1{,}9\cdot10^{-3}=0{,}19\ \%\).
Der Halbleiter erzeugt rund \(\dfrac{30}{3{,}6}\approx 8{,}3\)-mal so viele Ladungsträger; die relative Schwankung ist entsprechend um den Faktor \(\sqrt{8{,}3}\approx 2{,}9\) kleiner.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Impulshöhe ist proportional zur Zahl der erzeugten Ladungsträger. Diese Zahl unterliegt aber dem Zufall: Auch bei exakt gleicher Teilchenenergie entstehen nicht jedes Mal genau gleich viele Paare, sondern \(N\pm\sqrt{N}\). Die Impulse desselben Übergangs streuen daher um einen Mittelwert — im Spektrum wird aus der physikalisch scharfen Energie ein Peak endlicher Breite.
Je größer \(N\), desto kleiner ist die relative Schwankung \(1/\sqrt{N}\) und desto schmaler der Peak. Weil im Silizium wegen der achtmal kleineren Paarbildungsenergie achtmal so viele Träger entstehen, sind seine Peaks etwa dreimal schmaler als die eines gasgefüllten Detektors. Genau das meint „bessere Energieauflösung“: Zwei dicht benachbarte Energien erscheinen noch als zwei getrennte Peaks statt als ein verschmierter Berg.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Entscheidung: Der relative Abstand der beiden Linien beträgt \(\dfrac{\Delta W}{W}=\dfrac{5{,}49-5{,}30}{5{,}30}\approx 3{,}6\ \%\). Die Auflösungsgrenzen aus a) liegen bei 0,55 % (Gas) bzw. 0,19 % (Silizium) — rechnerisch lägen beide unter dem Linienabstand. Entscheidend ist aber etwas anderes: Ein Geiger-Müller-Zählrohr arbeitet im Plateau, in dem jedes Teilchen unabhängig von seiner Energie dieselbe volle Lawine auslöst. Seine Impulse tragen deshalb überhaupt keine Energieinformation — es kann nur zählen, nicht messen. Für die Trennung der beiden Linien ist also allein der Halbleiterdetektor geeignet.
Zum Einwand: Er ist zurückzuweisen. Eine längere Messzeit erhöht die Zahl der registrierten Teilchen und verbessert damit die Statistik der Zählrate — ein Peak wird höher und sein Flächeninhalt genauer bestimmbar. Die Breite eines Peaks entsteht dagegen aus der Schwankung innerhalb eines einzelnen Impulses; sie hängt nur von \(N\) und damit vom Detektormaterial ab. Mehr Messzeit macht den Peak also nicht schmaler. Beim Zählrohr kommt hinzu, dass gar keine Peaks entstehen können — hier hilft auch unendlich lange Messzeit nicht.