Eine Zerfallskurve aufnehmen und auswerten
AFB IIEin Praktikumskurs untersucht ein kurzlebiges Präparat. Alle 75 Sekunden wird die Zählrate \(n\) bestimmt (Material M1). Weil die Aktivität proportional zur Zahl der noch nicht zerfallenen Kerne ist, hat die Kurve \(n(t)\) dieselbe Form wie \(N(t)\).
| \(t\) in s | 0 | 75 | 150 | 225 | 300 | 375 | 450 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n\) in \(\tfrac{1}{\mathrm{s}}\) | 480 | 340 | 240 | 170 | 120 | 85 | 60 |
Die Zählrate ist bereits um den Nulleffekt korrigiert. Alle Messwerte sind auf ganze Zahlen gerundet.
- Zeichnen Sie das \(n\)-\(t\)-Diagramm zu M1 und verbinden Sie die Messpunkte durch eine ausgleichende Kurve.
- Ermitteln Sie die Halbwertszeit des Präparats aus Ihrem Diagramm — einmal ausgehend von \(n_0\) und einmal ausgehend von einem späteren Punkt der Kurve — und weisen Sie so nach, dass beide Ablesungen denselben Wert liefern.
- Ein Schüler notiert: „Nach sechs Halbwertszeiten ist das Präparat vollständig zerfallen.“ Überprüfen Sie diese Aussage rechnerisch und erklären Sie, welche Eigenschaft der Zerfallskurve sie verletzt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Das Diagramm zeigt eine fallende, nach rechts immer flacher werdende Kurve, die bei \(n_0=480\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\) auf der \(n\)-Achse startet und sich der \(t\)-Achse annähert. Achsen mit Größe und Einheit beschriften, Messpunkte deutlich eintragen, Ausgleichskurve glatt durch die Punkte legen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Erste Ablesung: \(n_0=480\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\), also \(n_0/2=240\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\). Dieser Wert wird bei \(t=150\ \mathrm{s}\) erreicht — also \(T_{1/2}=150\ \mathrm{s}\).
Zweite Ablesung: Bei \(t=150\ \mathrm{s}\) ist \(n=240\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\); die Hälfte davon, \(120\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\), liegt bei \(t=300\ \mathrm{s}\). Die dafür benötigte Zeit beträgt wieder \(300\ \mathrm{s}-150\ \mathrm{s}=150\ \mathrm{s}\).
Ebenso von \(120\) auf \(60\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\) zwischen 300 s und 450 s. Beide Ablesungen liefern denselben Wert — genau das ist die Kern-Eigenschaft der Zerfallsfunktion: Ein Zeitschritt um \(T_{1/2}\) bedeutet immer Multiplikation mit \(\tfrac12\), unabhängig davon, wo man startet.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nach sechs Halbwertszeiten, also nach \(6\cdot150\ \mathrm{s}=900\ \mathrm{s}\), gilt \(n=480\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\cdot\left(\tfrac12\right)^{6}=480\cdot\tfrac{1}{64}=7{,}5\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\). Das sind noch rund 1,6 % der Anfangsrate und liegt weit über dem Nulleffekt — das Präparat ist also keineswegs „vollständig zerfallen“.
Die Aussage verletzt die Asymptoten-Eigenschaft der Zerfallskurve: In jedem Zeitschritt \(T_{1/2}\) wird der Bestand halbiert, nicht um einen festen Betrag verkleinert. Der Faktor \(\left(\tfrac12\right)^{n}\) wird für wachsendes \(n\) beliebig klein, aber nie null. Die Kurve nähert sich der \(t\)-Achse an, erreicht sie im Modell aber nie.
Aus der Kurve wird eine Gerade
AFB IIIEine Kurve mit dem Auge als „exponentiell“ zu beurteilen, ist unsicher — fast jede fallende Kurve sieht ähnlich aus. Die halblogarithmische Auftragung macht daraus einen echten Nachweis: Nur bei einer exponentiellen Abnahme liegen die Punkte auf einer Geraden.
| \(t\) in s | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n\) in \(\tfrac{1}{\mathrm{s}}\) | 800 | 566 | 400 | 283 | 200 | 141 |
| \(\ln\big(n\cdot\mathrm{s}\big)\) | 6,68 | 6,34 | 5,99 | 5,65 | 5,30 | 4,95 |
Für den Logarithmus wird die Zählrate mit \(1\ \mathrm{s}\) multipliziert, damit das Argument einheitenfrei ist.
- Weisen Sie anhand der logarithmierten Werte in M1 nach, dass die Abnahme exponentiell verläuft.
- Bestimmen Sie aus der Steigung der Geraden die Zerfallskonstante \(\lambda\) und daraus die Halbwertszeit \(T_{1/2}\).
- Dieselbe Gruppe misst an einer zweiten Probe. In der halblogarithmischen Auftragung liegen deren Punkte nicht auf einer Geraden, sondern auf zwei Geradenstücken mit einem deutlichen Knick nach etwa 200 s. Eine Schülerin schließt daraus, die Messung sei fehlerhaft. Nehmen Sie Stellung und entwickeln Sie eine physikalische Deutung des Knicks.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Bei konstanten Zeitschritten von \(\Delta t=100\ \mathrm{s}\) betragen die Differenzen der logarithmierten Werte:
\(6{,}34-6{,}68=-0{,}34\); \(5{,}99-6{,}34=-0{,}35\); \(5{,}65-5{,}99=-0{,}34\); \(5{,}30-5{,}65=-0{,}35\); \(4{,}95-5{,}30=-0{,}35\).
Die Differenzen sind im Rahmen der Rundung konstant. \(\ln n\) nimmt also linear mit \(t\) ab, die Punkte liegen in halblogarithmischer Auftragung auf einer Geraden. Genau das ist das Kennzeichen einer exponentiellen Abnahme: In gleichen Zeitschritten wird \(n\) mit demselben Faktor multipliziert (hier \(e^{-0{,}347}\approx 0{,}71\)), nicht um denselben Betrag verkleinert.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Steigung aus dem ersten und letzten Punkt:
\(m=\dfrac{4{,}95-6{,}68}{500\ \mathrm{s}-0\ \mathrm{s}}=\dfrac{-1{,}73}{500\ \mathrm{s}}=-3{,}5\cdot10^{-3}\ \mathrm{s}^{-1}\).
Wegen \(m=-\lambda\) folgt \(\lambda=3{,}5\cdot10^{-3}\ \mathrm{s}^{-1}\).
\(T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=\dfrac{0{,}693}{3{,}5\cdot10^{-3}\ \mathrm{s}^{-1}}\approx 2{,}0\cdot10^{2}\ \mathrm{s}\).
Kontrolle an der Tabelle: Von \(800\) auf \(400\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\) vergehen genau 200 s — das bestätigt den Wert.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Schlussfolgerung ist zurückzuweisen. Ein Knick ist kein Anzeichen für einen Messfehler, sondern ein aussagekräftiger Befund: Messfehler äußern sich als Streuung der Punkte um eine Gerade, nicht als systematischer Wechsel der Steigung an einer bestimmten Stelle.
Physikalische Deutung: Die Probe enthält offenbar zwei radioaktive Nuklide mit deutlich verschiedenen Halbwertszeiten. Die gemessene Rate ist die Summe zweier Exponentialfunktionen. Am Anfang überwiegt das kurzlebige Nuklid, die Gerade fällt steil. Nach etwa 200 s ist dieser Anteil praktisch verschwunden; danach misst man nur noch das langlebige Nuklid, und die Auftragung geht in eine flachere Gerade über. Aus der Steigung des flachen Teilstücks lässt sich \(\lambda\) des langlebigen Nuklids bestimmen; extrapoliert man diese Gerade zurück und zieht sie von den Messwerten ab, erhält man den kurzlebigen Anteil und dessen Halbwertszeit.
Um die Deutung zu prüfen, würde man die Messung deutlich länger fortsetzen: Bleibt der zweite Teil über viele weitere Messpunkte eine Gerade, ist die Zwei-Nuklid-Erklärung bestätigt.