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Zerfallskurven auswerten

Radioaktiver Zerfall folgt keiner Geraden, sondern einer Exponentialfunktion: Nach jeder Halbwertszeit bleibt die Hälfte.

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Erklärung — Kurve lesen und linearisieren

Die Form der Zerfallskurve

Die Zerfallskurve \(N(t)\) hat drei typische Merkmale:

  • Immer fallend, immer flacher:Am Anfang sinkt \(N\) schnell, dann immer langsamer — weil jeweils nur noch die Hälfte des immer kleineren Bestands wegfällt.
  • Gleicher Faktor in gleichen Schritten:Zu jedem festen Zeitschritt \(T_{1/2}\) gehört Multiplikation mit \(\tfrac12\) — nicht das Abziehen einer festen Zahl. \(600\to300\to150\to75\).
  • Asymptote:Die Kurve nähert sich der Zeitachse an, erreicht sie aber im Modell nie. \(N\) wird immer kleiner, aber nie exakt null.

\(N_0\) und \(T_{1/2}\) aus dem Graphen ablesen

  • \(N_0\) ablesen:Dort, wo die Kurve die \(N\)-Achse schneidet (bei \(t=0\)), steht der Anfangswert \(N_0\).
  • \(T_{1/2}\) ablesen:Suche auf der \(N\)-Achse den halben Anfangswert \(N_0/2\), gehe waagerecht bis zur Kurve und von dort senkrecht nach unten — die abgelesene Zeit ist die Halbwertszeit \(T_{1/2}\).

Zerfallskurve erkunden

Anfangswert \(N_0\) und Halbwertszeit \(T_{1/2}\) bestimmen die Zerfallskurve; der Ablesepunkt zeigt \(N(t)\) an der gewählten Zeit. In der halblogarithmischen Darstellung wird aus derselben Kurve eine Gerade.

Zerfallskurve N(t)Ablesepunkt
800
5 d
10,0 d

Lineare Achsen: Die Kurve fällt immer flacher — nach jeder Halbwertszeit halbiert sich N. Sie nähert sich der t-Achse, erreicht sie aber nie.

Ablesung N(t)–
Halbwertszeiten n = t/T–
Rest (½)^n–
Zerfallskonstante λ = ln2/T–
Die Zerfallsfunktion und ihre Kern-Eigenschaft

\(N(t)=N_0\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\qquad N\big(t+T_{1/2}\big)=\dfrac{1}{2}\,N(t)\)

Zerfallsgesetz aus 8.1.2. \(N_0\) legt den Startwert fest, \(T_{1/2}\) das Tempo. Ein Schritt um \(T_{1/2}\) heißt überall auf der Kurve: mal \(\tfrac12\) — das macht die Abnahme exponentiell.

Halblogarithmische Darstellung — aus der Kurve wird eine Gerade

Herleitung:

\(N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda t}\)
| \(\ln\)
Das Zerfallsgesetz in e-Form (8.1.2).
\(\ln N=\ln N_0+\ln e^{-\lambda t}\)
| vereinfachen
Aus dem Produkt wird eine Summe.
\(\ln N=\ln N_0-\lambda\,t\)
Ergebnis
Eine Gerade: Achsenabschnitt \(\ln N_0\), Steigung \(-\lambda\).
Linearisierung durch Logarithmieren

\(\ln N = \ln N_0 - \lambda\,t\)

Gerade \(y=b+m\cdot t\): \(\ln N\) gegen \(t\) aufgetragen (oder \(N\) auf logarithmischer Achse) fällt linear; Achsenabschnitt \(\ln N_0\), Steigung \(m=-\lambda\). Je steiler, desto kürzer \(T_{1/2}\).

So liest du \(T_{1/2}\) aus dem Graphen ab

Nur der Graph ist gegeben — keine Zahlenwerte. Stelle im Applet \(N_0=800\), \(T_{1/2}=5\,\mathrm{d}\) ein und prüfe jeden Schritt.

Schritt 1 — komplett vorgemachtLies bei \(t=0\) den Anfangswert ab: Die Kurve startet bei \(N_0=800\). Der halbe Wert ist \(N_0/2=400\).
Schritt 2 — nur noch die IdeeGehe von \(400\) auf der \(N\)-Achse waagerecht bis zur Kurve, dann senkrecht nach unten zur \(t\)-Achse. Der abgelesene Zeitwert ist \(T_{1/2}\).
Schritt 3 — jetzt duSchiebe den Ablesepunkt so, dass \(N(t)=400\) angezeigt wird. Welche Zeit steht dann bei \(t\)? Stimmt sie mit der eingestellten Halbwertszeit \(5\,\mathrm{d}\) überein?

So wird aus der Kurve eine Gerade

Die halblogarithmische Darstellung ist der Trick, mit dem man \(\lambda\) und \(T_{1/2}\) besonders leicht bestimmt.

Schritt 1 — komplett vorgemachtLogarithmiere \(N=N_0\,e^{-\lambda t}\): Es entsteht \(\ln N=\ln N_0-\lambda t\) — also \(y=b+m\,t\) mit Steigung \(m=-\lambda\).
Schritt 2 — nur noch die IdeeAuf einer logarithmischen \(N\)-Achse liegt \(\ln N\) linear über \(t\): Die Zerfallskurve wird zur fallenden Geraden mit Achsenabschnitt \(\ln N_0\).
Schritt 3 — jetzt duSchalte das Applet auf Halblogarithmisch. Überzeuge dich, dass die Kurve zur Geraden wird, und überlege: Wie kommst du aus der Steigung \(-\lambda\) auf \(T_{1/2}\)? (Tipp: \(\lambda=\tfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\).)
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Allgemeine Hinweise

\(N_0\) steht bei t = 0

Der Schnittpunkt der Kurve mit der \(N\)-Achse ist immer der Anfangswert \(N_0\). Von dort startest du jede Ablesung.

Halbieren, nicht abziehen

Prüfe bei jeder Kurve: Geht \(N\) in gleichen Zeitschritten auf die Hälfte (×\(\tfrac12\))? Dann ist sie exponentiell. Konstante Differenzen ergäben eine Gerade.

Gerade heißt exponentiell

Wird eine Messkurve in halblogarithmischer Auftragung zur Geraden, ist der Vorgang exponentiell. Die Steigung \(-\lambda\) liefert direkt die Halbwertszeit.

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