AbituraufgabenFeldstärke im Kondensator

Diagramm: \(U\) in V auf der Rechtsachse (0 bis 500), \(E\) in \(\mathrm{\frac{V}{m}}\) auf der Hochachse (0 bis 10 000); die fünf Punkte liegen im Rahmen der Messgenauigkeit auf einer Ursprungsgeraden. Rechnerisch: \(\frac{E}{U}=20{,}0;\;20{,}3;\;19{,}8;\;20{,}0;\;20{,}1\) jeweils in \(\mathrm{\frac{1}{m}}\) — der Quotient ist konstant, also gilt \(E\sim U\).

Nach \(E=\frac{U}{d}\) ist die Steigung der Geraden gleich \(\frac{1}{d}\). Mit dem Mittelwert \(\frac{E}{U}\approx 20\,\mathrm{\frac{1}{m}}\) folgt \(\displaystyle d=\frac{1}{20\,\mathrm{\frac{1}{m}}}=0{,}050\,\mathrm m=5{,}0\,\mathrm{cm}\).

Erwartung in der Mitte: \(\displaystyle E=\frac{600\,\mathrm V}{0{,}050\,\mathrm m}=1{,}2\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\), also \(F=E\cdot q=1{,}2\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-9}\,\mathrm C=24\,\mathrm{\mu N}\). Gemessen wurden nur \(20{,}5\,\mathrm{\mu N}\), das entspricht \(E\approx 1{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\).

Erklärung: Am Plattenrand wölben sich die Feldlinien nach außen und liegen weiter auseinander als im Innenbereich. Geringere Feldliniendichte bedeutet geringere Feldstärke — das Feld ist dort nicht mehr homogen. Die Gleichung \(E=\frac{U}{d}\) setzt aber ein homogenes Feld voraus und überschätzt deshalb die Feldstärke am Rand. Der kleinere Messwert ist also kein Messfehler, sondern Folge des Randfeldes.

Weg 1 (Kraft mal Weg): Der Weg ist \(s=\frac{d}{2}=0{,}075\,\mathrm m\). Da die Kraft im homogenen Feld konstant ist: \(W=F\cdot s=2{,}4\cdot 10^{-10}\,\mathrm N\cdot 0{,}075\,\mathrm m=1{,}8\cdot 10^{-11}\,\mathrm J\).

Weg 2 (Ladung mal Spannung): Zwischen Mitte und Platte liegt die Teilspannung \(U_s=E\cdot s=3{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\cdot 0{,}075\,\mathrm m=2{,}25\cdot 10^{4}\,\mathrm V\) (die Hälfte von 45 kV). Damit \(W=|q|\cdot U_s=8{,}0\cdot 10^{-16}\,\mathrm C\cdot 2{,}25\cdot 10^{4}\,\mathrm V=1{,}8\cdot 10^{-11}\,\mathrm J\). Beide Wege stimmen überein.

Ansatz: \(U_\text{max}=E_\text{D}\cdot d=3{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\cdot 0{,}15\,\mathrm m=4{,}5\cdot 10^{5}\,\mathrm V=450\,\mathrm{kV}\).

Beurteilung: Die Betriebsspannung von 45 kV liegt nur bei einem Zehntel der Durchschlagsspannung; rein rechnerisch ließe sie sich also erheblich steigern. Einschränkend ist zu bedenken, dass die Durchschlagsfeldstärke im heißen, staubigen Rauchgas niedriger liegen kann als in sauberer Luft und dass an Kanten der Elektroden das Feld nicht mehr homogen, sondern lokal stärker ist. Eine moderate Erhöhung ist deshalb vertretbar, ein Betrieb nahe 450 kV nicht.

Richtig ist: 70 mV ist eine sehr kleine Spannung. Falsch ist der Schluss auf die Feldstärke, denn die Feldstärke hängt nicht von der Spannung allein ab, sondern vom Quotienten \(\frac{U}{d}\) — und der Plattenabstand ist hier mit 7 nm extrem klein. Nach a) beträgt die Feldstärke \(1{,}0\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\); das ist mehr als das Dreifache der Durchschlagsfeldstärke von Luft und etwa das 200-Fache des Feldes im Schulkondensator aus Aufgabe 1.

Fazit: Die Aussage ist nicht haltbar. Kleine Spannung und kleine Feldstärke sind zwei verschiedene Dinge; über extrem kurze Strecken erzeugen selbst Millivolt gewaltige Felder. Genau deshalb reagiert die Membran so empfindlich auf Spannungsänderungen.

Aussage 1 ist falsch. Die Feldstärke im homogenen Feld ist \(E=\frac{U}{d}\); sie hängt also von zwei Größen ab. Bleibt die Spannung am Netzgerät gleich und wird der Plattenabstand vergrößert, so wächst der Nenner und die Feldstärke sinkt — bei doppeltem Abstand auf die Hälfte. Anschaulich: Dieselbe Spannung verteilt sich auf einen längeren Weg, die Spannung je Meter wird kleiner. Richtig ist an der Aussage nur, dass die Spannung unverändert bleibt.

Aussage 2 ist ebenfalls falsch. Ein Volt ist als Energie je Ladung definiert, \(1\,\mathrm V=1\,\mathrm{\frac{J}{C}}\), und ein Joule als Kraft mal Weg, \(1\,\mathrm J=1\,\mathrm{N\cdot m}\). Damit gilt \(1\,\mathrm{\frac{V}{m}}=1\,\mathrm{\frac{J}{C\cdot m}}=1\,\mathrm{\frac{N\cdot m}{C\cdot m}}=1\,\mathrm{\frac{N}{C}}\). Der Meter kürzt sich vollständig heraus; beide Schreibweisen bezeichnen exakt dieselbe Einheit, ein Umrechnungsfaktor existiert nicht.

Herleitung: Eine Ladung \(q\) wird im homogenen Feld von einer Platte zur anderen bewegt. Die dabei vom Feld übertragene Energie lässt sich auf zwei Weisen ausdrücken. Erstens über die Spannung (1.2.1): \(W=q\cdot U\). Zweitens als Kraft mal Weg, wobei die Kraft im homogenen Feld konstant ist und nach 1.1.5 \(F=E\cdot q\) beträgt; der Weg ist der Plattenabstand \(d\): \(W=F\cdot d=E\cdot q\cdot d\). Gleichsetzen liefert \(q\cdot U=E\cdot q\cdot d\). Division durch \(q\) ergibt \(U=E\cdot d\), also \(\displaystyle E=\frac{U}{d}\). Die Probeladung fällt heraus — die Feldstärke hängt nur vom Aufbau ab, nicht von der Ladung, mit der man sie misst.

Bezug zu Aussage 2: In der Herleitung wird \(W=q\cdot U\) direkt mit \(W=F\cdot d\) gleichgesetzt — beide Ausdrücke sind dieselbe Energie in Joule. Daraus folgt für die Einheiten zwingend \(\mathrm{C\cdot V}=\mathrm{N\cdot m}\) und nach Division durch \(\mathrm{C\cdot m}\) sofort \(\mathrm{\frac{V}{m}}=\mathrm{\frac{N}{C}}\). Wäre ein Umrechnungsfaktor nötig, müsste er schon in der Gleichung \(U=E\cdot d\) auftauchen — dort steht aber keiner. Die Herleitung zeigt also nicht nur die Formel, sondern auch, dass beide Einheiten identisch sind.