Spannung und Plattenabstand — zwei Stellschrauben
Zwischen zwei parallelen, entgegengesetzt geladenen Platten ist das Feld homogen (1.1.4). Seine Feldstärke \(E\) muss man dort nicht mit einer Probeladung messen (1.1.5) — sie steckt in zwei Größen, die man am Aufbau einstellt.
- Spannung U:Energie je Coulomb auf dem Weg von Platte zu Platte (1.2.1); am Netzgerät eingestellt.
- Plattenabstand d:immer der senkrechte Abstand der Platten — nicht die Plattenlänge, nicht ein schräger Flugweg.
- Vermutung:größere Spannung → stärkeres Feld, größerer Abstand → schwächeres Feld.
- Homogen:im Innenbereich ist \(E\) überall gleich; nur am Plattenrand wölben sich die Feldlinien nach außen.
Vergleich zweier Kondensatoren an derselben Spannung — rechts ist der Plattenabstand doppelt so groß:
Dass es genau die Hälfte ist, zeigt erst die Rechnung in Phase 2.
Die Beziehung \(E = \dfrac{U}{d}\)
Die Beziehung folgt aus zwei bekannten Gleichungen: Man schreibt dieselbe Energie auf zwei Weisen auf.
Herleitung:
- Energie über die Spannung:eine Ladung \(q\) wandert von Platte zu Platte: \(W=q\cdot U\) (1.2.1)
- Energie als Kraft mal Weg:\(W=F\cdot d\) — der Weg ist der Plattenabstand \(d\)
- Kraft im Feld:\(F=q\cdot E\) (1.1.5)
Im homogenen Feld eines Plattenkondensators ist die Feldstärke die Spannung je Meter Plattenabstand.
- Fester Abstand:\(E\sim U\) — doppelte Spannung, doppelte Feldstärke.
- Feste Spannung:\(E\sim\dfrac{1}{d}\) — doppelter Abstand, halbe Feldstärke.
- Verhältnisgleichung:\(\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{U_1}{U_2}\), solange \(d\) gleich bleibt — dann muss man nicht zweimal rechnen.
- Steigung:die Spannung wächst von der Minusplatte aus gleichmäßig mit dem Weg; die Steigung dieser Geraden ist \(E\) — „Spannung je Meter“.
Die Feldlinien werden dichter, wenn das Feld stärker wird, und der Balken darunter zeigt \(E\) maßstäblich an. Mit Wert merken lässt sich eine Einstellung festhalten und mit jeder weiteren vergleichen — so wird die Proportionalität in Zahlen sichtbar.
Der Punkt wandert auf der Geraden, und das grün gestrichelte Steigungsdreieck wächst mit. Sein Quotient \(\Delta U : \Delta x\) bleibt dabei immer gleich — er ist die Feldstärke. Bei festem \(U\) und größerem \(d\) endet die Gerade weiter rechts und wird flacher, und genau das bedeutet „kleinere Feldstärke“.
Bei \(x=d\) erreicht die Gerade genau die anliegende Spannung \(U\) — deshalb gilt \(E=\dfrac{U}{d}\).
Einheit \(\mathrm{\frac{V}{m}}\) und Rechnen mit der Formel
- Einheit:\(1\,\mathrm{\frac{V}{m}}=1\,\mathrm{\frac{N}{C}}\) — dieselbe Einheit wie in 1.1.5, einmal „Spannung je Meter“, einmal „Kraft je Ladung“.
- Typische Werte:einige hundert Volt an wenigen Zentimetern ergeben einige \(10\,000\,\mathrm{\frac{V}{m}}\).
- Kleine Abstände:weil \(d\) im Nenner steht, erzeugen schon wenige Volt an einem Millimeterspalt sehr starke Felder.
- Geltung:nur im homogenen Feld — nicht am Plattenrand (dort ist \(E\) kleiner) und nicht für eine Punktladung.
| gegeben | gesucht | Rechnung | Einheit des Ergebnisses |
|---|---|---|---|
| U und d | E | \(E=\dfrac{U}{d}\) | \(\mathrm{\frac{V}{m}}\) |
| E und d | U | \(U=E\cdot d\) | \(\mathrm{V}\) |
| E und U | d | \(d=\dfrac{U}{E}\) | \(\mathrm{m}\) |
- Beispiel:\(U = 200\,\mathrm V\), \(d = 4{,}0\,\mathrm{cm} = 0{,}04\,\mathrm m\): \(E = \dfrac{200}{0{,}04} = 5000\,\mathrm{\tfrac{V}{m}}\).
- Umgestellt:\(E = 12\,000\,\mathrm{\tfrac{V}{m}}\), \(d = 0{,}025\,\mathrm m\): \(U = E \cdot d = 300\,\mathrm V\) — das liefert jedes Schulnetzgerät.
Allgemeine Hinweise
d ist senkrecht und in Metern
In \(E=\tfrac{U}{d}\) steht der senkrechte Plattenabstand, und zwar in Metern: 5 cm sind 0,05 m. Plattenlänge oder schräger Flugweg gehören dort nicht hinein.
Mal d nicht durch d
Suchst du die Spannung, gilt \(U=E\cdot d\). Kommen für einen Laboraufbau mehrere hunderttausend Volt heraus, hast du fast sicher \(U=\tfrac{E}{d}\) gerechnet.
Nur eine Größe darf wandern
\(E\sim U\) und damit \(\tfrac{E_1}{E_2}=\tfrac{U_1}{U_2}\) gelten nur bei festem \(d\). Verstellst du gleichzeitig den Plattenabstand, ist die Verhältnisgleichung hinfällig.