AbituraufgabenKondensator und Kapazität

\(\displaystyle C=\frac{Q}{U}\). Dabei ist \(C\) die Kapazität in Farad (F), \(Q\) der Betrag der Ladung auf einer Platte in Coulomb (C) und \(U\) die Spannung zwischen den Platten in Volt (V); es gilt \(1\,\mathrm F = 1\,\mathrm{\frac{C}{V}}\). Der Wert \(330\,\mu\mathrm F = 3{,}3\cdot 10^{-4}\,\mathrm F\) bedeutet: Pro Volt anliegender Spannung speichert der Kondensator die Ladung \(3{,}3\cdot 10^{-4}\,\mathrm C\) auf jeder Platte. Die Kapazität ist eine Eigenschaft des Bauteils und hängt nicht davon ab, wie weit es gerade aufgeladen ist.

Ansatz: \(Q = C\cdot U\). Einsetzen: \(Q = 3{,}3\cdot 10^{-4}\,\mathrm{\frac{C}{V}}\cdot 300\,\mathrm V = 9{,}9\cdot 10^{-2}\,\mathrm C \approx 0{,}10\,\mathrm C\). Elektronenzahl: \(\displaystyle N=\frac{Q}{e}=\frac{9{,}9\cdot 10^{-2}\,\mathrm C}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C}\approx 6{,}2\cdot 10^{17}\). Es wurden also rund \(6\cdot 10^{17}\) Elektronen von der oberen auf die untere Platte verschoben.

Ansatz: \(Q = I\cdot t\), also \(\displaystyle t=\frac{Q}{I}\). Einsetzen: \(\displaystyle t=\frac{9{,}9\cdot 10^{-2}\,\mathrm C}{0{,}025\,\mathrm A}=3{,}96\,\mathrm s\approx 4{,}0\,\mathrm s\). Das entspricht der typischen Wartezeit, bis ein Blitzgerät wieder bereit ist.

Beim Aufladen verschiebt die Ladeschaltung Elektronen von der einen Platte auf die andere; sie erzeugt keine Ladung, sondern trennt nur vorhandene Ladung (Ladungserhaltung). Auf der einen Platte fehlen genau so viele Elektronen, wie auf der anderen zusätzlich sitzen: Die eine Platte trägt \(+Q\), die andere \(-Q\). Die Gesamtladung ist \((+Q)+(-Q)=0\), das Bauteil ist nach außen neutral. Mit „der Ladung \(Q\)“ eines Kondensators ist deshalb immer der Betrag der Ladung auf einer Platte gemeint.

Das Diagramm zeigt fünf Messpunkte, die (im Rahmen der Messunsicherheit) auf einer Geraden liegen; die Ausgleichsgerade verläuft durch den Ursprung. Eine Ursprungsgerade bedeutet: Verdoppelt sich \(U\), verdoppelt sich auch \(Q\); der Quotient \(\frac{Q}{U}\) ist konstant (z. B. \(0{,}21\,\mathrm{\frac{\mu C}{kV}}\), \(0{,}22\,\mathrm{\frac{\mu C}{kV}}\), \(0{,}223\,\mathrm{\frac{\mu C}{kV}}\), \(0{,}218\,\mathrm{\frac{\mu C}{kV}}\), \(0{,}22\,\mathrm{\frac{\mu C}{kV}}\)). Damit sind \(Q\) und \(U\) zueinander proportional.

Steigungsdreieck auf der Ausgleichsgeraden, z. B. von \(U=0\) bis \(U=5{,}0\,\mathrm{kV}\): \(\Delta Q\approx 1{,}10\,\mathrm{\mu C}\). Ansatz: \(\displaystyle C=\frac{\Delta Q}{\Delta U}=\frac{1{,}10\cdot 10^{-6}\,\mathrm C}{5{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm V}=2{,}2\cdot 10^{-10}\,\mathrm F=220\,\mathrm{pF}\). (Je nach Lage der Ausgleichsgeraden sind Werte zwischen etwa 215 pF und 225 pF zu erwarten.)

Umrechnung: \(A=490\,\mathrm{cm^2}=4{,}9\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m^2}\). Umstellen: \(\displaystyle d=\frac{\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,A}{C}\). Einsetzen: \(\displaystyle d=\frac{8{,}85\cdot 10^{-12}\,\mathrm{\frac{F}{m}}\cdot 1\cdot 4{,}9\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m^2}}{2{,}2\cdot 10^{-10}\,\mathrm F}=1{,}97\cdot 10^{-3}\,\mathrm m\approx 2{,}0\,\mathrm{mm}\). Im Versuch waren also 2-mm-Abstandshalter eingesetzt.

Mit Glas gilt \(C'=\varepsilon_r\cdot C=6\cdot 220\,\mathrm{pF}=1{,}32\,\mathrm{nF}\). Ansatz: \(Q'=C'\cdot U=1{,}32\cdot 10^{-9}\,\mathrm F\cdot 3{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm V=4{,}0\cdot 10^{-6}\,\mathrm C=4{,}0\,\mathrm{\mu C}\) — das Sechsfache der bisherigen Ladung von 0,67 µC.

Erklärung: Im Feld zwischen den Platten richten sich die Moleküle des Glases aus; an den Glasoberflächen entstehen Randladungen, die den Plattenladungen gegenüberliegen und deren Feld teilweise aufheben. Bliebe die Ladung auf den Platten gleich, wäre das Feld schwächer und damit nach \(U=E\cdot d\) auch die Spannung kleiner als 3,0 kV. Die angeschlossene Quelle hält die Spannung aber fest: Sie schiebt so lange zusätzliche Ladung auf die Platten, bis die Feldstärke \(E=\frac{U}{d}\) wieder erreicht ist. Bei gleicher Spannung sitzt deshalb die sechsfache Ladung auf den Platten.

Umrechnung: \(A=3{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2}\), \(d=2{,}5\cdot 10^{-5}\,\mathrm m\). Ansatz: \(\displaystyle C=\varepsilon_0\,\frac{A}{d}=8{,}85\cdot 10^{-12}\,\mathrm{\frac{F}{m}}\cdot\frac{3{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2}}{2{,}5\cdot 10^{-5}\,\mathrm m}=1{,}06\cdot 10^{-10}\,\mathrm F\approx 106\,\mathrm{pF}\). Ladung: \(Q=C\cdot U_0=1{,}06\cdot 10^{-10}\,\mathrm F\cdot 48\,\mathrm V=5{,}1\cdot 10^{-9}\,\mathrm C=5{,}1\,\mathrm{nC}\).

Herleitung: Aus \(C=\frac{Q}{U}\) folgt \(U=\frac{Q}{C}\). Mit \(C=\varepsilon_0\frac{A}{d}\) ergibt sich \(\displaystyle U=\frac{Q}{\varepsilon_0 A}\cdot d\). Da \(Q\), \(\varepsilon_0\) und \(A\) konstant sind, ist der Faktor \(\frac{Q}{\varepsilon_0 A}\) konstant — also \(U\sim d\).

Rechnung: Neuer Abstand \(d'=24\,\mu\mathrm m\). Wegen \(U\sim d\) gilt \(\displaystyle U'=U_0\cdot\frac{d'}{d}=48\,\mathrm V\cdot\frac{24\,\mu\mathrm m}{25\,\mu\mathrm m}=46{,}1\,\mathrm V\). Die Spannung sinkt um etwa 1,9 V — diese Spannungsänderung ist das Mikrofonsignal.

Ruhelage: \(\displaystyle E=\frac{U_0}{d}=\frac{48\,\mathrm V}{2{,}5\cdot 10^{-5}\,\mathrm m}=1{,}9\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\). Ausgelenkt: \(\displaystyle E'=\frac{U'}{d'}=\frac{46{,}1\,\mathrm V}{2{,}4\cdot 10^{-5}\,\mathrm m}=1{,}9\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\). Beide Werte stimmen überein. Allgemein: \(\displaystyle E=\frac{U}{d}=\frac{Q\,d}{\varepsilon_0 A\cdot d}=\frac{Q}{\varepsilon_0 A}\) — der Abstand kürzt sich heraus. Bei konstanter Ladung hängt die Feldstärke im Plattenkondensator nur von der Ladung und der Plattenfläche ab; Spannung und Abstand ändern sich im gleichen Verhältnis.

Nach Teilaufgabe c) bleibt die Feldstärke bei jeder Auslenkung \(E=\frac{Q}{\varepsilon_0 A}=1{,}9\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\), unabhängig davon, wie weit die Membran schwingt — auch beim kleinsten Abstand von \(20\,\mu\mathrm m\). Dieser Wert liegt deutlich unter der Überschlagsfeldstärke von \(3{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\) (rund 64 % davon). Ein Überschlag ist also nicht zu befürchten. Die naheliegende Rechnung \(\frac{48\,\mathrm V}{20\,\mu\mathrm m}=2{,}4\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\) ist zwar ebenfalls unkritisch, aber physikalisch falsch: Bei ausgelenkter Membran liegt nicht mehr die volle Spannung von 48 V an, weil die Ladung und nicht die Spannung konstant bleibt.

Umstellen: \(\displaystyle A=\frac{C\cdot d}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r}\). Einsetzen: \(\displaystyle A=\frac{4{,}7\cdot 10^{-7}\,\mathrm F\cdot 6{,}0\cdot 10^{-6}\,\mathrm m}{8{,}85\cdot 10^{-12}\,\mathrm{\frac{F}{m}}\cdot 2{,}2}=0{,}145\,\mathrm{m^2}\) — also etwa \(1450\,\mathrm{cm^2}\), fast ein DIN-A4-Blatt (\(624\,\mathrm{cm^2}\)) zweimal. Länge: \(\displaystyle l=\frac{A}{b}=\frac{0{,}145\,\mathrm{m^2}}{0{,}030\,\mathrm m}=4{,}8\,\mathrm m\). Im daumengroßen Bauteil stecken also rund 4,8 m Folie.

Die Kapazität wächst mit der Fläche \(A\) und mit \(\varepsilon_r\) und sinkt mit dem Abstand \(d\). \(\varepsilon_r\) ist durch das Material festgelegt und lässt sich bei Kunststoffen nur um einen kleinen Faktor (etwa 2 bis 4) verändern. Die beiden anderen Stellschrauben bieten dagegen viel mehr Spielraum: Der Abstand steht im Nenner, sodass eine Folie von wenigen Mikrometern Dicke die Kapazität gegenüber Abständen im Millimeterbereich um den Faktor 1000 vergrößert; und die Fläche lässt sich durch die Folienlänge fast beliebig groß machen. Beides zusammen liefert die große Kapazität. Ein ebener Plattenkondensator mit \(0{,}145\,\mathrm{m^2}\) Fläche wäre aber unhandlich groß — erst das Aufwickeln bringt die riesige Fläche in ein kleines Volumen, ohne dass sich die gegenüberliegenden Folien berühren, weil die Kunststofffolie sie überall auf Abstand hält.

Wegen \(C\sim\frac{1}{d}\) verdoppelt sich die Kapazität bei halbem Abstand: \(C'=2\cdot 470\,\mathrm{nF}=940\,\mathrm{nF}\). Feldstärke in der Folie bei \(U_\text{max}=630\,\mathrm V\): bisher \(\displaystyle E=\frac{630\,\mathrm V}{6{,}0\cdot 10^{-6}\,\mathrm m}=1{,}05\cdot 10^{8}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\), neu \(\displaystyle E'=\frac{630\,\mathrm V}{3{,}0\cdot 10^{-6}\,\mathrm m}=2{,}1\cdot 10^{8}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\). Beurteilung: Die Feldstärke verdoppelt sich, bleibt mit \(2{,}1\cdot 10^{8}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\) aber unter dem zulässigen Wert \(2{,}5\cdot 10^{8}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\) (etwa 84 % davon). Der neue Kondensator darf also weiterhin mit 630 V betrieben werden — allerdings ist die Sicherheitsreserve deutlich kleiner geworden; eine noch dünnere Folie würde bei dieser Spannung die Grenze überschreiten, sodass die Nennspannung dann herabgesetzt werden müsste.

Aussage 1 ist in ihrem Schluss falsch. Richtig ist: Bei höherer Spannung trägt der Kondensator mehr Ladung, denn \(Q=C\cdot U\). Ladung und Spannung sind aber zueinander proportional — verdoppelt man \(U\), verdoppelt sich auch \(Q\), und der Quotient \(C=\frac{Q}{U}\) bleibt unverändert. Die Kapazität ist eine Eigenschaft des Bauteils: Sie hängt nach \(C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d}\) nur von Plattenfläche, Plattenabstand und Dielektrikum ab, nicht von der angelegten Spannung. Auch die Formulierung „wie viel Ladung ein Kondensator speichern kann“ ist ungenau: Die Kapazität gibt an, wie viel Ladung er pro Volt speichert — die tatsächlich speicherbare Ladung wird erst durch die höchste zulässige Spannung begrenzt.

Aussage 2 ist zur Hälfte richtig. Nach dem Trennen von der Quelle bleibt die Ladung \(Q\) auf den Platten erhalten. Vergrößert man den Abstand, sinkt die Kapazität wegen \(C\sim\frac{1}{d}\), und nach \(U=\frac{Q}{C}\) steigt die Spannung — dieser Teil stimmt. Falsch ist „ohne Energiezufuhr“: Die entgegengesetzt geladenen Platten ziehen sich an. Wer sie auseinanderzieht, muss gegen diese Anziehungskraft eine Kraft längs des Weges aufbringen und führt dabei Energie zu („Kraft mal Weg“). Genau diese Energie wird dem Kondensator zugeführt; die höhere Spannung entsteht also nicht „aus dem Nichts“.

Für den Vorschlag spricht: Nach \(C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d}\) würde Wasser mit \(\varepsilon_r=81\) die Kapazität gegenüber Kunststofffolie (\(\varepsilon_r\approx 2\) bis 3) auf etwa das 30-Fache steigern — bei gleicher Fläche und gleichem Abstand. Der Effekt ist real und wird bei der Auswahl von Dielektrika tatsächlich ausgenutzt (z. B. durch Keramiken mit sehr großem \(\varepsilon_r\)).

Dagegen spricht: Ein Dielektrikum muss ein Isolator sein. Selbst destilliertes Wasser enthält stets einige Ionen und nimmt aus der Luft und den Elektroden schnell weitere auf; es leitet daher merklich, sodass sich der Kondensator über das Wasser selbst entlädt und keine Ladung dauerhaft speichern kann. Außerdem ist Wasser bei hohen Feldstärken nur schlecht durchschlagfest, es verdunstet, gefriert unter 0 °C, und ein flüssiges Dielektrikum lässt sich nicht wie eine Folie auf wenige Mikrometer Dicke bringen — der Gewinn durch \(\varepsilon_r\) würde durch den größeren Abstand \(d\) wieder aufgezehrt. Fazit: Der Vorschlag nutzt zwar die richtige Stellschraube, scheitert aber an den übrigen Anforderungen an ein Dielektrikum; praktisch werden feste Stoffe mit großem \(\varepsilon_r\) und guter Isolierfähigkeit eingesetzt.