Elektronenkanone im Oszilloskop
AFB IIn der Bildröhre eines Oszilloskops erzeugt eine Elektronenkanone den Elektronenstrahl. Aus einer geheizten Katode treten Elektronen praktisch mit der Geschwindigkeit null aus. Zwischen Katode und Anode liegt die Beschleunigungsspannung \(U = 1{,}5\,\mathrm{kV}\) an; der Abstand der beiden Elektroden beträgt \(d = 3{,}0\,\mathrm{cm}\) (Material M1). Das Feld zwischen Katode und Anode kann als homogen angesehen werden, die Röhre ist evakuiert.
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\).
- Begründen Sie anhand von Material M1, dass die Elektronen zur Anode hin beschleunigt werden, und berechnen Sie den Betrag der Kraft auf ein Elektron sowie seine Beschleunigung.
- Berechnen Sie mithilfe des Energiesatzes die Geschwindigkeit, mit der ein Elektron die Anode erreicht.
- Berechnen Sie die Zeit, die ein Elektron für den Weg von der Katode zur Anode benötigt, und zeigen Sie, dass sich mit dieser Zeit die Geschwindigkeit aus Teilaufgabe b) bestätigt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
In M1 zeigen die Feldlinien von der Anode zur Katode, die Feldrichtung ist also nach links gerichtet. Die Feldrichtung ist als Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung festgelegt; das Elektron ist negativ geladen, die Kraft wirkt daher entgegen der Feldrichtung — nach rechts, zur Anode hin. Die Elektronen werden folglich zur Anode beschleunigt.
Feldstärke: \(\displaystyle E=\frac{U}{d}=\frac{1500\,\mathrm V}{0{,}030\,\mathrm m}=5{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\). Kraft: \(F=e\,E=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 5{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}=8{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N\). Beschleunigung: \(\displaystyle a=\frac{F}{m_\text{e}}=\frac{8{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}=8{,}8\cdot 10^{15}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\). Diese Beschleunigung ist auf dem gesamten Weg konstant, weil das Feld homogen ist.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Energiesatz: \(e\,U=\tfrac12 m_\text{e} v^{2}\), also \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\,e\,U}{m_\text{e}}}\). Einsetzen: \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 1500\,\mathrm V}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=\sqrt{5{,}27\cdot 10^{14}\,\mathrm{\frac{m^{2}}{s^{2}}}}\). Ergebnis: \(v=2{,}3\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) (rund 8 % der Lichtgeschwindigkeit).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: \(d=\tfrac12 a t^{2}\), also \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2d}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}030\,\mathrm m}{8{,}8\cdot 10^{15}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}}}=2{,}6\cdot 10^{-9}\,\mathrm s=2{,}6\,\mathrm{ns}\).
Kontrolle: \(v=a\,t=8{,}8\cdot 10^{15}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\cdot 2{,}6\cdot 10^{-9}\,\mathrm s=2{,}3\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Der kinematische Weg liefert dieselbe Endgeschwindigkeit wie der Energiesatz — beide Beschreibungen derselben Bewegung stimmen überein.
Protonen aus der Ionenquelle
AFB IIIn einer Ionenquelle werden Protonen erzeugt und anschließend zwischen zwei parallelen Platten aus der Ruhe beschleunigt. Eine Simulation der Bewegung liefert das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm in Material M1. Nach \(t = 0{,}50\,\mathrm{\mu s}\) erreicht das Proton die zweite Platte mit \(v = 4{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{p} = 1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\).
Der Graph beginnt im Ursprung und endet im markierten Punkt P, in dem das Proton die zweite Platte erreicht.
- Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen in Material M1 und erklären Sie mithilfe der Feldkraft, warum die Bewegung des Protons gleichmäßig beschleunigt ist.
- Ermitteln Sie aus Material M1 die Beschleunigung des Protons und berechnen Sie daraus die Feldstärke zwischen den Platten.
- Berechnen Sie den Abstand der beiden Platten und die zwischen ihnen anliegende Spannung.
- Weisen Sie nach, dass sich die Spannung aus Teilaufgabe c) auch ohne Kenntnis des Plattenabstands direkt aus der Endgeschwindigkeit ergibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Graph ist eine Ursprungsgerade: Die Geschwindigkeit wächst proportional zur Zeit von \(0\) bis \(4{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) bei \(t=0{,}50\,\mathrm{\mu s}\) (Punkt P), die Steigung ist konstant.
Erklärung: Zwischen den parallelen Platten ist das Feld homogen, die Feldstärke \(E\) ist also an jeder Stelle gleich. Damit wirkt auf das Proton überall dieselbe Kraft \(F=e\,E\). Nach \(F=m\,a\) gehört zu einer konstanten Kraft eine konstante Beschleunigung — die Bewegung ist gleichmäßig beschleunigt, und genau das zeigt sich im linearen \(v\)-\(t\)-Verlauf.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Beschleunigung aus der Steigung: \(\displaystyle a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{4{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{0{,}50\cdot 10^{-6}\,\mathrm s}=8{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\).
Kraft: \(F=m_\text{p}\,a=1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\cdot 8{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}=1{,}34\cdot 10^{-15}\,\mathrm N\). Feldstärke: \(\displaystyle E=\frac{F}{e}=\frac{1{,}34\cdot 10^{-15}\,\mathrm N}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C}=8{,}4\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Plattenabstand: \(d=\tfrac12 a t^{2}=\tfrac12\cdot 8{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\cdot\left(0{,}50\cdot 10^{-6}\,\mathrm s\right)^{2}=0{,}10\,\mathrm m=10\,\mathrm{cm}\).
Spannung: \(U=E\cdot d=8{,}4\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\cdot 0{,}10\,\mathrm m\approx 8{,}4\cdot 10^{2}\,\mathrm V\) (mit ungerundeten Zwischenwerten: \(835\,\mathrm V\)).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Energiesatz: \(e\,U=\tfrac12 m_\text{p} v^{2}\), also \(\displaystyle U=\frac{m_\text{p}\,v^{2}}{2e}=\frac{1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\cdot\left(4{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\right)^{2}}{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C}=835\,\mathrm V\).
Das ist derselbe Wert wie in c). Der Plattenabstand geht nicht ein: Die Endgeschwindigkeit wird allein durch die durchlaufene Spannung festgelegt — ein langer Weg im schwachen Feld liefert dieselbe Energie wie ein kurzer im starken.
Flugzeiten im Vergleich
AFB IIIn einer evakuierten Röhre werden Elektronen aus der Ruhe zwischen zwei parallelen Platten beschleunigt. Mit einer schnellen Messelektronik wird ihre Flugzeit \(t\) von Platte zu Platte für verschiedene Plattenabstände \(d\) und Spannungen \(U\) bestimmt (Material M1).
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\).
| Messung | Abstand \(d\) in cm | Spannung \(U\) in V | Flugzeit \(t\) in ns |
|---|---|---|---|
| 1 | 2,0 | 100 | 6,7 |
| 2 | 4,0 | 100 | 13,5 |
| 3 | 2,0 | 400 | 3,4 |
| 4 | 4,0 | 400 | 6,7 |
| 5 | 6,0 | 900 | 6,7 |
- Beschreiben Sie anhand der Messungen 1 bis 4, wie sich die Flugzeit bei doppeltem Abstand und bei vierfacher Spannung ändert.
- Zeigen Sie, dass für die Flugzeit \(t=d\cdot\sqrt{\dfrac{2\,m_\text{e}}{e\,U}}\) gilt, und erklären Sie damit die Beobachtungen aus a).
- Weisen Sie für Messung 1 rechnerisch nach, dass der Messwert zur Formel aus b) passt.
- Für einen Abstand von \(6{,}0\,\mathrm{cm}\) soll die Flugzeit auf \(3{,}4\,\mathrm{ns}\) sinken. Ermitteln Sie mithilfe von Messung 5 die nötige Spannung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Messung 1 → 2: doppelter Abstand bei gleicher Spannung, die Flugzeit verdoppelt sich (\(6{,}7\,\mathrm{ns}\to 13{,}5\,\mathrm{ns}\)). Messung 1 → 3: vierfache Spannung bei gleichem Abstand, die Flugzeit halbiert sich (\(6{,}7\,\mathrm{ns}\to 3{,}4\,\mathrm{ns}\)). Messung 4 zeigt beides zusammen: doppelter Abstand und vierfache Spannung heben sich auf.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Mit \(a=\frac{e\,U}{m_\text{e}\,d}\) wird aus \(d=\tfrac12 a\,t^{2}\): \(t^{2}=\frac{2\,d}{a}=\frac{2\,m_\text{e}\,d^{2}}{e\,U}\), also \(t=d\cdot\sqrt{\frac{2\,m_\text{e}}{e\,U}}\).
Daraus folgt \(t\sim d\) bei fester Spannung (doppelter Abstand, doppelte Zeit) und \(t\sim\frac{1}{\sqrt U}\) bei festem Abstand (vierfache Spannung, halbe Zeit) — genau wie in M1.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\displaystyle t=0{,}020\,\mathrm m\cdot\sqrt{\frac{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 100\,\mathrm V}}=0{,}020\,\mathrm m\cdot 3{,}37\cdot 10^{-7}\,\mathrm{\tfrac{s}{m}}\approx 6{,}7\cdot 10^{-9}\,\mathrm s=6{,}7\,\mathrm{ns}\) — stimmt mit dem Messwert überein.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Bei festem \(d=6{,}0\,\mathrm{cm}\) gilt \(t\sim\frac{1}{\sqrt U}\). Die Zeit soll halbiert werden, also muss \(\sqrt U\) doppelt so groß werden: \(U=4\cdot 900\,\mathrm V=3{,}6\,\mathrm{kV}\).
Ein unbekanntes Ion
AFB IIIIn einem Versuch soll die Sorte eines einfach positiv geladenen Ions bestimmt werden. Das Ion startet aus der Ruhe an der positiven Platte eines Plattenkondensators mit \(U = 2{,}0\,\mathrm{kV}\) und \(d = 8{,}0\,\mathrm{cm}\) und wird zur Gegenplatte hin beschleunigt. Eine Stroboskopaufnahme hält seine Position alle \(\Delta t = 0{,}10\,\mathrm{\mu s}\) fest (Material M1, Messwerte in M2). Die Massen der infrage kommenden Ionen enthält Material M3.
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\).
Der Maßstab unter der Aufnahme ist in Zentimetern geteilt.
| Aufnahme | Zeit \(t\) in µs | Weg \(s\) in cm |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0,10 | 0,30 |
| 2 | 0,20 | 1,20 |
| 3 | 0,30 | 2,70 |
| 4 | 0,40 | 4,80 |
| 5 | 0,50 | 7,50 |
| Ion | Masse in kg |
|---|---|
| Wasserstoff \(\mathrm{H^{+}}\) | \(1{,}67\cdot 10^{-27}\) |
| Deuterium \(\mathrm{D^{+}}\) | \(3{,}34\cdot 10^{-27}\) |
| Helium \(\mathrm{He^{+}}\) | \(6{,}64\cdot 10^{-27}\) |
| Lithium \(\mathrm{Li^{+}}\) | \(1{,}15\cdot 10^{-26}\) |
- Weisen Sie anhand der Messwerte in Material M2 nach, dass sich das Ion gleichmäßig beschleunigt bewegt.
- Ermitteln Sie die Beschleunigung des Ions und entscheiden Sie mithilfe von Material M3 begründet, um welche Ionensorte es sich handelt.
- Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der das Ion die Gegenplatte erreicht, auf zwei voneinander unabhängigen Wegen.
- Der Versuch soll auch zweifach geladene Helium-Ionen \(\mathrm{He^{2+}}\) nachweisen. Beurteilen Sie, ob sich mit dieser Anordnung ein \(\mathrm{He^{2+}}\)-Ion von einem einfach geladenen Deuterium-Ion \(\mathrm{D^{+}}\) unterscheiden lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhe gilt \(s=\tfrac12 a t^{2}\), der Weg wächst also quadratisch mit der Zeit: Der Quotient \(\frac{s}{t^{2}}\) muss konstant sein. Prüfung mit M2: \(\frac{0{,}30}{0{,}10^{2}}=30\), \(\frac{1{,}20}{0{,}20^{2}}=30\), \(\frac{2{,}70}{0{,}30^{2}}=30\), \(\frac{4{,}80}{0{,}40^{2}}=30\), \(\frac{7{,}50}{0{,}50^{2}}=30\) (jeweils in \(\mathrm{\frac{cm}{\mu s^{2}}}\)). Der Quotient ist für alle Messwerte gleich — die Bewegung ist gleichmäßig beschleunigt.
Gleichwertig: Die Wegstücke in den fünf gleichen Zeitabschnitten betragen \(0{,}30\), \(0{,}90\), \(1{,}50\), \(2{,}10\) und \(2{,}70\,\mathrm{cm}\) und verhalten sich wie \(1:3:5:7:9\) — das charakteristische Muster der gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhe.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Beschleunigung, z. B. aus dem letzten Messpunkt: \(\displaystyle a=\frac{2s}{t^{2}}=\frac{2\cdot 0{,}075\,\mathrm m}{\left(0{,}50\cdot 10^{-6}\,\mathrm s\right)^{2}}=6{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\).
Feldkraft: \(\displaystyle E=\frac{U}{d}=\frac{2000\,\mathrm V}{0{,}080\,\mathrm m}=2{,}5\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\), \(F=e\,E=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}5\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}=4{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N\). Masse: \(\displaystyle m=\frac{F}{a}=\frac{4{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N}{6{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}}=6{,}7\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\).
Entscheidung: Der Wert stimmt im Rahmen der Messgenauigkeit mit der Masse von \(\mathrm{He^{+}}\) (\(6{,}64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\)) überein; \(\mathrm{D^{+}}\) wäre nur halb, \(\mathrm{Li^{+}}\) fast doppelt so schwer und \(\mathrm{H^{+}}\) viermal leichter. Es handelt sich um ein Helium-Ion \(\mathrm{He^{+}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Weg 1 (Kinematik): Flugzeit \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2d}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}080\,\mathrm m}{6{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}}}=5{,}2\cdot 10^{-7}\,\mathrm s\); Endgeschwindigkeit \(v=a\,t=6{,}0\cdot 10^{11}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\cdot 5{,}16\cdot 10^{-7}\,\mathrm s=3{,}1\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Weg 2 (Energiesatz): \(e\,U=\tfrac12 m v^{2}\), also \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\,e\,U}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2000\,\mathrm V}{6{,}64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}}=3{,}1\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Beide Wege stimmen überein.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Anordnung registriert nur die Bewegung des Ions, also seine Beschleunigung \(a=\frac{q\,E}{m}\) — und damit nur den Quotienten \(\frac{q}{m}\), nicht Ladung und Masse getrennt.
Für \(\mathrm{He^{2+}}\): \(\displaystyle a=\frac{2e\,E}{m_\text{He}}=\frac{2\cdot 4{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N}{6{,}64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}=1{,}20\cdot 10^{12}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\). Für \(\mathrm{D^{+}}\): \(\displaystyle a=\frac{e\,E}{m_\text{D}}=\frac{4{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm N}{3{,}34\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}=1{,}20\cdot 10^{12}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\). Beide Ionen haben (bis auf Abweichungen weit unterhalb der Messgenauigkeit) dasselbe Verhältnis \(\frac{q}{m}\), dieselbe Beschleunigung und daher identische Stroboskopaufnahmen. Auch der Energiesatz hilft nicht: \(\mathrm{He^{2+}}\) erhält zwar die doppelte Energie \(2e\,U\), hat aber auch die doppelte Masse — \(v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}\) ist für beide gleich (\(4{,}4\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)).
Urteil: Mit dieser Anordnung lassen sich \(\mathrm{He^{2+}}\) und \(\mathrm{D^{+}}\) nicht unterscheiden. Dazu müsste eine Größe gemessen werden, die Ladung oder Masse getrennt erfasst — etwa die beim Auftreffen abgegebene Energie (\(4\,\mathrm{keV}\) gegenüber \(2\,\mathrm{keV}\)) oder die transportierte Ladung.
Ein Flugzeit-Massenspektrometer
AFB IIIIn einem Flugzeit-Massenspektrometer werden einfach positiv geladene Ionen aus der Ruhe auf der Strecke \(d = 10\,\mathrm{cm}\) durch die Spannung \(U = 5{,}0\,\mathrm{kV}\) beschleunigt. Gemessen wird die Zeit, die ein Ion für diese Strecke braucht. Für ein unbekanntes Ion ergibt sich \(t = 0{,}98\,\mathrm{\mu s}\). Infrage kommen die Ionen aus Material M1.
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und der atomaren Masseneinheit \(1\,\mathrm u = 1{,}66\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\).
| Ion | Masse |
|---|---|
| Lithium \(\mathrm{Li^+}\) | \(7\,\mathrm u\) |
| Natrium \(\mathrm{Na^+}\) | \(23\,\mathrm u\) |
| Kalium \(\mathrm{K^+}\) | \(39\,\mathrm u\) |
- Erläutern Sie, warum schwere Ionen länger brauchen, obwohl alle Ionen beim Durchlaufen der Spannung dieselbe Energie aufnehmen.
- Zeigen Sie, dass sich die Masse eines Ions aus der Flugzeit mit \(m=\dfrac{e\,U\,t^{2}}{2\,d^{2}}\) bestimmen lässt.
- Ermitteln Sie die Masse des unbekannten Ions und entscheiden Sie, um welches Ion aus M1 es sich handelt.
- Ein Schüler behauptet: „Mit dieser Methode lässt sich die Masse jedes Ions eindeutig bestimmen.“ Beurteilen Sie diese Aussage für den Fall, dass auch zweifach geladene Ionen auftreten können.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Alle Ionen tragen die Ladung \(e\) und nehmen daher dieselbe Energie \(e\,U\) auf. Wegen \(e\,U=\tfrac12 m v^{2}\) ist die Endgeschwindigkeit \(v=\sqrt{\frac{2eU}{m}}\) umso kleiner, je größer die Masse ist. Da alle aus der Ruhe starten und gleichmäßig beschleunigt werden, ist auch die mittlere Geschwindigkeit \(\tfrac12 v\) kleiner — schwere Ionen brauchen für dieselbe Strecke länger.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Aus \(a=\frac{e\,U}{m\,d}\) und \(d=\tfrac12 a\,t^{2}\) folgt \(t^{2}=\frac{2\,m\,d^{2}}{e\,U}\). Nach \(m\) umgestellt: \(m=\frac{e\,U\,t^{2}}{2\,d^{2}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\displaystyle m=\frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 5000\,\mathrm V\cdot\left(0{,}98\cdot 10^{-6}\,\mathrm s\right)^{2}}{2\cdot\left(0{,}10\,\mathrm m\right)^{2}}\approx 3{,}8\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}\). In Masseneinheiten: \(m\approx\frac{3{,}8\cdot 10^{-26}}{1{,}66\cdot 10^{-27}}\,\mathrm u\approx 23\,\mathrm u\).
Das unbekannte Ion ist also Natrium \(\mathrm{Na^+}\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Für ein Ion mit der Ladung \(q\) gilt \(t=d\cdot\sqrt{\frac{2\,m}{q\,U}}\): Die Flugzeit hängt nur vom Verhältnis \(\frac{m}{q}\) ab. Ein zweifach geladenes Ion der Masse \(46\,\mathrm u\) hat dasselbe \(\frac{m}{q}\) wie \(\mathrm{Na^+}\) und bräuchte genauso lange.
Die Aussage stimmt daher nur, wenn feststeht, dass alle Ionen einfach geladen sind. Allgemein bestimmt die Methode nicht die Masse, sondern das Verhältnis aus Masse und Ladung.