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Flugzeit im Feld

Wie lange braucht ein Elektron von Platte zu Platte? Dafür braucht man die Beschleunigung im Feld und die Bewegungsgesetze aus der Mechanik.

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Die Beschleunigung im Feld

Der Weg zur Flugzeit hat drei Schritte: Kraft → Beschleunigung → Flugzeit. Zuerst die Beschleunigung \(a\).

  • Feldkraft:\(F=q\,E\) mit \(E=\dfrac{U}{d}\) (1.2.2) — zieht das Elektron zur Plusplatte.
  • Newton:Eine Kraft beschleunigt eine Masse: \(F=m\,a\).
  • Gewichtskraft:rund \(10^{14}\)-mal kleiner — sie wird weggelassen.

Herleitung:

\(F=m\,a\quad\text{und}\quad F=q\,E\)
Ansatz
Newton und Feldkraft — es ist dieselbe Kraft.
\(E=\dfrac{U}{d}\)
Ansatz
Feldstärke im Plattenkondensator (1.2.2).
\(m\,a=q\,E\)
| : \(m\)
Beide Kräfte gleichgesetzt.
\(a=\dfrac{q\,E}{m}\)
| \(E=\tfrac{U}{d}\) einsetzen
Durch die Masse geteilt.
\(a=\dfrac{q\,U}{m\,d}\)
Ergebnis
Alle Größen bleiben unterwegs gleich — \(a\) ist konstant.
Merke

Beschleunigung: \(a=\dfrac{q\,U}{m\,d}\)

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Flugzeit mit den Bewegungsgesetzen

Mit konstantem \(a\) gilt das Weg-Zeit-Gesetz wie beim freien Fall — nur mit \(a\) statt \(g\).

  • Start:Das Elektron startet aus der Ruhe an der Minusplatte.
  • Weg:\(s=\tfrac12\,a\,t^{2}\)
  • Ziel:An der Plusplatte ist der Weg \(s=d\) — gesucht ist die Zeit \(t\).

Herleitung:

\(d=\tfrac12\,a\,t^{2}\)
| · 2
\(s=d\) ins Weg-Zeit-Gesetz eingesetzt.
\(2\,d=a\,t^{2}\)
| : \(a\)
Mit 2 multipliziert — der Bruch ist weg.
\(t^{2}=\dfrac{2\,d}{a}\)
| \(\sqrt{\phantom{x}}\)
Durch \(a\) geteilt.
\(t=\sqrt{\dfrac{2\,d}{a}}\)
Ergebnis
Wurzel gezogen.
Merke

Flugzeit: \(t=\sqrt{\dfrac{2\,d}{a}}\)

Verändere \(d\) und \(U\) und beobachte die Flugzeit. Das Stroboskop markiert gleiche Zeitabstände.

Flug im Kondensator

−+ U = 800 V −+ − d = 5,0 cm v Flugzeit t = 5,96 ns · Endgeschwindigkeit v = 16,8 · 10⁶ m/s

Halte fest: Größerer Abstand verlängert den Flug, höhere Spannung verkürzt ihn. Das Proton (1836-fache Masse) braucht die \(\sqrt{1836}\approx 43\)-fache Flugzeit.

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Wovon die Flugzeit abhängt

Setzt man \(a\) aus Phase 1 in die Flugzeit ein, sieht man alle Einflüsse auf einen Blick.

Herleitung:

\(t=\sqrt{\dfrac{2\,d}{a}}\)
| \(a=\tfrac{q\,U}{m\,d}\) einsetzen
Die Flugzeit aus Phase 2.
\(t=\sqrt{2\,d\cdot\dfrac{m\,d}{q\,U}}\)
| zusammenfassen
Durch einen Bruch teilen heißt: mit dem Kehrwert multiplizieren.
\(t=\sqrt{d^{2}\cdot\dfrac{2\,m}{q\,U}}\)
| \(\sqrt{d^{2}}=d\)
\(d\cdot d=d^{2}\) nach vorn gestellt.
\(t=d\cdot\sqrt{\dfrac{2\,m}{q\,U}}\)
Ergebnis
\(d\) steht jetzt vor der Wurzel.
  • Abstand:\(t\sim d\) — doppelter Abstand, doppelte Flugzeit.
  • Spannung:\(t\sim\dfrac{1}{\sqrt U}\) — vierfache Spannung, halbe Flugzeit.
  • Masse:\(t\sim\sqrt m\) — schwere Teilchen brauchen länger.
Merke

Flugzeit: \(t=d\cdot\sqrt{\dfrac{2\,m}{q\,U}}\)

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Allgemeine Hinweise

Doppelter Abstand, doppelte Zeit

Nicht vierfach: Bei größerem \(d\) wird der Weg länger und \(a\) kleiner. Beides zusammen ergibt \(t\sim d\).

Erst Meter, dann einsetzen

In \(E=\dfrac{U}{d}\) und \(t=\sqrt{\dfrac{2d}{a}}\) gehört \(d\) in Meter: \(5{,}0\,\mathrm{cm}=0{,}050\,\mathrm m\).

Zeiten in Nanosekunden

Elektronen brauchen für einige Zentimeter nur wenige \(\mathrm{ns}=10^{-9}\,\mathrm s\). Ein Ergebnis in Sekunden oder Millisekunden deutet auf einen Einheitenfehler.

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