Zeitkonstante aus Messwerten: Übungen – Physik Grundkurs

1Der Weg durch den TaschenrechnerAFB I

Ordnen Sie die sechs Arbeitsschritte der GTR-Auswertung in die richtige Reihenfolge (oben der erste).

Ziehe die Zeilen in die richtige Reihenfolge oder verschiebe sie mit den Pfeiltasten der Zeile.

1Die gemessenen Zeiten t in die Liste L₁ eintragen.

2Die zugehörigen Spannungswerte U in die Liste L₂ eintragen.

3Die Liste L₃ = ln(L₂) bilden — damit ist die Messreihe linearisiert.

4Die lineare Regression über L₁ und L₃ ausführen.

5Die Steigung m der Ausgleichsgeraden ablesen.

6Aus der Steigung \(\tau = -\dfrac{1}{m}\) berechnen und daraus \(R = \dfrac{\tau}{C}\) bestimmen.

Der springende Punkt ist Schritt 3: Ohne die Zwischenliste L₃ würde die Regression eine Gerade durch gekrümmte Messpunkte legen und blanken Unsinn liefern. Beachte außerdem, dass nur die Spannungen logarithmiert werden — die Zeiten bleiben unverändert, weil in \(\ln U = \ln U_0 - \dfrac{t}{\tau}\) die Zeit unlogarithmiert auf der rechten Seite steht.

2Linearisierung in WortenAFB I

Vervollständigen Sie den Text zur Auswertung der Entladekurve.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Wird die Entladegleichung , so wird aus der gekrümmten e-Funktion eine . Trägt man ln U über t auf, beträgt ihre \(m = -\dfrac{1}{\tau}\); beim Entladen ist sie stets . Der der Geraden entspricht ln U₀. Die im Taschenrechner nutzt alle Messpunkte gleichzeitig und liefert m mitsamt Vorzeichen.

Zwei Kennzahlen der Geraden tragen die gesamte Physik: Die Steigung liefert über \(\tau = -\dfrac{1}{m}\) die Zeitkonstante und damit den Widerstand, der Achsenabschnitt liefert die Anfangsspannung. Wer das Minuszeichen der Steigung vergisst, bekommt eine negative Zeitkonstante — ein sicheres Warnsignal, dass beim Umformen etwas schiefgelaufen ist.

3Die linearisierte Gleichung bauenAFB I

Bauen Sie die Gleichung zusammen, die nach dem Logarithmieren der Entladefunktion entsteht.

Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an — ein Klick auf einen gesetzten Baustein legt ihn zurück in den Vorrat.

Vergleiche das Ergebnis mit der Schulform einer Geraden, y = b + m · x: Hier ist y = ln U, der Achsenabschnitt b = ln U₀, die Variable x = t und die Steigung \(m = -\dfrac{1}{\tau}\). Die beiden Störbausteine zeigen die typischen Fehler — ein Pluszeichen würde eine wachsende Spannung beschreiben, und ln t hat auf der rechten Seite nichts zu suchen, weil nur die Spannung im Exponenten steckte.

4Zweite Messreihe auswertenAFB II

Eine zweite Messreihe mit \(C = 470\,\mu \mathrm F\) liefert per Regression die Steigung \(m = -0{,}400\,\tfrac{1}{\mathrm s}\).

Bestimmen Sie daraus Schritt für Schritt den verbauten Widerstand.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Zeitkonstante \(\tau = -\dfrac{1}{m}\) in Sekundens
Kapazität C in Farad (470 µF umrechnen, Ergebnis als Dezimalzahl)F
Widerstand \(R = \dfrac{\tau}{C}\) in Ohm (auf ganze Ohm runden)Ω
Um welchen Faktor ist dieser Widerstand größer als die 4,7 kΩ aus dem Hauptversuch?

Der zweite Schritt ist die eigentliche Stolperstelle: 470 µF sind 470 · 10⁻⁶ F = 0,00047 F. Wer stattdessen mit der Zahl 470 rechnet, erhält R ≈ 0,0053 Ω — einen Wert, den man sofort als unsinnig erkennen sollte, weil ein Widerstand im Milliohm-Bereich gar keine Sekunden-Zeitkonstante erzeugen kann. Solche Plausibilitätsprüfungen retten in der Klausur mehr Punkte als jede Rechenroutine.

5Der y-AchsenabschnittAFB II

Im Hauptversuch startet die Entladung bei \(U_0 = 10\,\mathrm V\). Die Regression über \(\ln U\) und \(t\) liefert neben der Steigung auch den Achsenabschnitt \(b\).

Berechnen Sie den Wert von \(b\).

Der Achsenabschnitt ist ln U₀. Gib zwei Nachkommastellen an; Dezimaltrennzeichen egal.

Es gilt b = ln 10 ≈ 2,30. Der Wert ist einheitenlos, denn Logarithmen werden immer von reinen Zahlenwerten genommen — deshalb schreibt man die Achse sauber als \(\ln\!\left(\dfrac{U}{\mathrm{V}}\right)\). Der Achsenabschnitt ist zugleich eine kostenlose Kontrolle der Messung: Kommt die Regression auf einen deutlich anderen Wert, war der Kondensator beim Start nicht vollständig geladen.

6Größen im AuswertungsschemaAFB II

Verbinden Sie jede Größe mit ihrer Bedeutung in der Auswertung.

Klicke links einen Begriff an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie.

Die drei Listen zeigen die Arbeitsteilung im Rechner: L₁ und L₂ sind reine Messdaten, L₃ ist eine daraus berechnete Hilfsgröße. Regressiert wird niemals L₂ gegen L₁, sondern immer L₃ gegen L₁. Und beachte die letzte Zeile: Erst die Division durch die Kapazität macht aus einer Zeit einen Widerstand — τ allein ist noch kein Bauteilwert.

7Wie wirken sich Änderungen aus?AFB II

Kreuzen Sie an, was jeweils zutrifft, wenn am Versuchsaufbau etwas verändert wird.

Klicke in jede Zeile die zutreffenden Felder an. Leere Felder bedeuten „trifft nicht zu“.

Änderung am Versuch	Zeitkonstante τ wird größer	Betrag der Steigung \|m\| wird größer	y-Achsenabschnitt ändert sich
Der Widerstand R wird verdoppelt (C und U₀ bleiben gleich)
Die Kapazität C wird halbiert (R und U₀ bleiben gleich)
Die Anfangsspannung wird von 10 V auf 5 V gesenkt (R und C bleiben gleich)
Es wird 20 s statt 10 s lang gemessen, sonst bleibt alles gleich

Die Tabelle trennt zwei Dinge, die in der Rechnung leicht verschwimmen: Steigung und Achsenabschnitt sind völlig unabhängig voneinander. R und C wirken ausschließlich über τ auf die Steigung, U₀ ausschließlich auf den Achsenabschnitt. Die letzte Zeile ist die wichtigste: Eine längere Messdauer liefert nur mehr Punkte auf derselben Geraden — sie verändert die Physik nicht, macht die Regression aber zuverlässiger.

8Den Widerstand aus Bausteinen legenAFB II

Die Auswertung ergibt \(R = 4700\,\Omega\). Im Praktikumskasten liegen nur Normwiderstände, die sich in Reihe schalten lassen.

Stellen Sie den Wert 4700 Ω aus den angebotenen Bausteinen zusammen.

Schalte Bausteine durch Anklicken zu oder wieder ab. Die Summe darüber zeigt, wo du gerade stehst.

0

Ziel: 4700 Ohm

Bei einer Reihenschaltung addieren sich die Widerstände einfach — deshalb funktioniert das Zusammenlegen wie beim Abzählen von Geldscheinen. Der berechnete Wert 4700 Ω stammt aus \(\dfrac{\tau}{C} = \dfrac{4{,}7\,\mathrm{s}}{0{,}001\,\mathrm{F}}\) und trifft den eingebauten 4,7-kΩ-Widerstand. Genau diese Übereinstimmung ist das eigentliche Ergebnis des Experiments: Die aus der Kurvenform gewonnene Größe stimmt mit dem Bauteilaufdruck überein — ein starkes Argument dafür, dass das exponentielle Modell die Wirklichkeit richtig beschreibt.

9Fehler im AuswertungsprotokollAFB III

Finden Sie die falschen Zeilen in diesem Auswertungsprotokoll und klicken Sie sie an.

In dieser Auswertung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Alle drei Fehler entstehen beim Übersetzen zwischen Formel und Zahlenwert. Zeile 2 verliert ein Vorzeichen, Zeile 4 einen Faktor 10⁶, Zeile 6 erfindet eine Bedingung, die es gar nicht gibt. Gegen alle drei hilft dieselbe Gewohnheit: Zuerst die Einheit prüfen, dann die Größenordnung. Eine negative Zeitkonstante ist physikalisch unmöglich, und ein Widerstand von 0,0047 Ω wäre praktisch ein Stück Draht.

10Auswertung selbst steuernAFB III

Die Messtabelle mit Zeiten und Spannungen liegt vor, ausgewertet ist noch nichts.

Entscheiden Sie an jeder Stelle, wie die Auswertung korrekt weitergeht.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Der Ablauf zeigt die Logik jeder Regressionsauswertung: umformen, prüfen, anpassen, zurückrechnen. Der Prüfschritt in der Mitte wird gern übersprungen, ist aber der wertvollste — die Regression liefert nämlich auch dann eine Gerade samt Steigung, wenn die Messpunkte in Wahrheit auf einer ganz anderen Kurve liegen. Erst der Blick auf die Punktwolke entscheidet, ob das Modell überhaupt passt.

11Die Kapazität selbst bestimmenAFB II

Ein Elektrolytkondensator mit dem Aufdruck \(1000\,\mu\mathrm F\) wird über einen Präzisionswiderstand \(R=2{,}2\,\mathrm{k\Omega}\) entladen. Von \(U_0=9{,}0\,\mathrm V\) ist die Spannung nach \(t_{1/2}=1{,}5\,\mathrm s\) auf \(4{,}5\,\mathrm V\) gefallen.

Bestimmen Sie Schritt für Schritt die tatsächliche Kapazität und vergleichen Sie sie mit dem Aufdruck.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Zeitkonstante \(\tau = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\) in Sekunden (\(\ln 2 \approx 0{,}693\))s
Widerstand R in Ohm (2,2 kΩ umrechnen)Ω
Kapazität \(C = \dfrac{\tau}{R}\) — Ergebnis in Mikrofarad (auf ganze µF runden)µF
Um wie viel Prozent liegt der gemessene Wert unter dem Aufdruck von 1000 µF?%

Diese Kette ist die Umkehrung des Hauptversuchs: Dort war C bekannt und R gesucht, hier ist es andersherum — die Messung selbst bleibt exakt dieselbe, weil die Entladekurve immer nur das Produkt \(\tau = R \cdot C\) liefert. Beachte, dass die Anfangsspannung von 9,0 V in der Rechnung gar nicht vorkommt: Die Halbwertszeit ist bei jeder Startspannung gleich, das ist die charakteristische Eigenschaft eines exponentiellen Abfalls. Und die knapp zwei Prozent Abweichung sind kein Messfehler, sondern normal — Elkos werden mit Toleranzen von bis zu ±20 % gefertigt, weshalb sich das Nachmessen überhaupt lohnt.

12Warum eine exponentielle Regression?AFB II

In einem Protokoll soll begründet werden, warum die Messreihe mit einer Exponentialfunktion und nicht mit einer Geraden oder Parabel ausgewertet wurde.

Ordnen Sie jede Begründung danach ein, ob sie die Wahl wirklich stützt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1trägt die Begründung

2kein tragfähiges Argument

Tragfähig sind nur Argumente, die etwas über die Struktur des Vorgangs oder über die Zahlen der Messreihe aussagen: das physikalische „Änderungsrate proportional zum Bestand“, der Quotiententest, die Geradenlage im ln-Diagramm und das Grenzverhalten. Das Bestimmtheitsmaß gehört ausdrücklich nicht dazu — ein hoher \(r^2\)-Wert sagt nur, dass die gewählte Kurve gut durch die Punkte läuft, und den erreicht eine Parabel bei sechs Messpunkten fast immer ebenfalls. Wo eine Karte im Menü steht und wie eine Kurve „aussieht“, sind gar keine Argumente, sondern Bequemlichkeit und Bauchgefühl.

13Geflossene Ladung aus dem I-t-DiagrammAFB III

Ein Kondensator mit \(C=470\,\mu\mathrm F\) wird über \(R=2{,}2\,\mathrm{k\Omega}\) an \(U_0=9{,}0\,\mathrm V\) aufgeladen. Der Stromsensor liefert im Abstand \(\Delta t=0{,}5\,\mathrm s\) die Werte \(4{,}09\;|\;2{,}52\;|\;1{,}55\;|\;0{,}96\;|\;0{,}59\) mA für \(t=0\) bis \(t=2{,}0\,\mathrm s\).

Ermitteln Sie mit der Streifenmethode die in diesen zwei Sekunden geflossene Ladung und vergleichen Sie sie mit der Gesamtladung.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Anfangsstromstärke \(I_0=\dfrac{U_0}{R}\) in MilliamperemA
Streifensumme: halbe Randwerte plus alle inneren Werte, also \(\dfrac{4{,}09}{2}+2{,}52+1{,}55+0{,}96+\dfrac{0{,}59}{2}\)mA
Geflossene Ladung \(Q\approx\text{Summe}\cdot\Delta t\) mit \(\Delta t=0{,}5\,\mathrm s\), Ergebnis in MillicoulombmC
Gesamtladung bei vollständiger Aufladung: \(Q_{\text{ges}}=C\cdot U_0\) in MillicoulombmC
Wie viel Prozent der Gesamtladung sind nach 2 s geflossen?%

Der erste Schritt ist eine Kontrolle: Wenn \(\frac{U_0}{R}\) nicht den ersten Messwert trifft, war der Kondensator vor dem Start nicht leer. Danach steckt die ganze Physik in der Fläche — die Streifensumme hat die Einheit mA, erst die Multiplikation mit \(\Delta t\) macht daraus eine Ladung in mC. Bemerkenswert ist das Ergebnis der letzten Zeile: Nach nur zwei Sekunden sind bereits rund 87 % der Ladung übertragen, obwohl der Strom noch fließt. Das liegt daran, dass 2 s hier fast zwei Zeitkonstanten entsprechen (\(\tau=R\cdot C\approx1{,}03\,\mathrm s\)). Der kleine Überschuss gegenüber dem exakten Wert ist systematisch: Trapezstreifen überdecken eine nach unten gekrümmte Kurve immer ein wenig.

Interaktive Übung: Zeitkonstante aus Messwerten

Übungsaufgaben