AbituraufgabenZeitkonstante aus Messwerten

Beim Entladen gilt \(U(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) mit \(\tau=R\cdot C\). Dabei ist \(U(t)\) die Spannung am Kondensator zur Zeit \(t\), \(U_0\) die Anfangsspannung, \(R\) der Entladewiderstand und \(C\) die Kapazität. Die Zeitkonstante \(\tau\) legt fest, wie schnell die Entladung abläuft: Nach der Zeit \(\tau\) ist die Spannung auf \(e^{-1}\approx 37\,\%\) des Anfangswerts gefallen, nach jeder weiteren Zeitspanne \(\tau\) erneut auf 37 % des jeweiligen Werts. Ihre Einheit ist die Sekunde: \([\tau]=\Omega\cdot\mathrm F=\mathrm s\).

Bei einer Exponentialfunktion führen gleiche Zeitschritte zu gleichen Quotienten aufeinanderfolgender Werte. Für \(\Delta t=1\,\mathrm s\) ergibt sich aus M1: \(\frac{6{,}40}{10{,}00}=0{,}640\), \(\frac{4{,}05}{6{,}40}=0{,}633\), \(\frac{2{,}58}{4{,}05}=0{,}637\), \(\frac{1{,}65}{2{,}58}=0{,}640\), \(\frac{1{,}05}{1{,}65}=0{,}636\), \(\frac{0{,}66}{1{,}05}=0{,}629\). Alle Quotienten liegen zwischen 0,63 und 0,64; die Abweichungen erklären sich durch das Runden auf zwei Nachkommastellen. In jeder Sekunde bleiben also rund 64 % der Spannung übrig — das ist das Kennzeichen einer Exponentialfunktion. Die Differenzen dagegen schrumpfen von 3,60 V auf 0,39 V, eine lineare Abnahme scheidet aus.

Die Regressionsgerade \(y=a\cdot x+b\) beschreibt \(\ln U\) über \(t\); ihre Steigung ist \(a=-\frac{1}{\tau}\). Daraus \(\displaystyle\tau=-\frac{1}{a}=\frac{1}{0{,}4524\,\frac{1}{\mathrm s}}=2{,}21\,\mathrm s\). Widerstand: \(\displaystyle R=\frac{\tau}{C}=\frac{2{,}21\,\mathrm s}{470\cdot10^{-6}\,\mathrm F}=4{,}70\cdot10^{3}\,\Omega=4{,}70\,\mathrm{k\Omega}\). Der Wert stimmt mit dem Aufdruck 4,7 kΩ überein; die Abweichung liegt weit unter der üblichen Toleranz von Widerständen und Kondensatoren.

Logarithmieren des Entladegesetzes: \(\ln U=\ln\!\left(U_0\cdot e^{-t/\tau}\right)=\ln U_0+\ln e^{-t/\tau}=\ln U_0-\frac{1}{\tau}\cdot t\). Das ist eine Geradengleichung in \(t\) mit der Steigung \(-\frac{1}{\tau}\) und dem Achsenabschnitt \(\ln U_0\): Trägt man \(\ln U\) (Liste L3) über \(t\) (Liste L1) auf, liegen die Punkte auf einer Geraden. Der Achsenabschnitt der Regression ist \(b=\ln U_0\), also \(U_0=e^{b}=e^{2{,}3057}\,\mathrm V=10{,}03\,\mathrm V\). Der gemessene Anfangswert 10,00 V wird bis auf 0,3 % bestätigt.

Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der die Spannung auf die Hälfte des Anfangswerts gesunken ist. Man markiert \(\frac{U_0}{2}=6{,}0\,\mathrm V\) auf der Spannungsachse, geht waagerecht bis zum Schnittpunkt mit der Kurve und von dort senkrecht auf die Zeitachse. Ablesung: \(t_{1/2}\approx 14\,\mathrm s\) (zwischen 13,5 s und 14,5 s).

Einsetzen von \(U=\frac{U_0}{2}\) zur Zeit \(t=t_{1/2}\): \(\frac{U_0}{2}=U_0\cdot e^{-t_{1/2}/\tau}\). Kürzen von \(U_0\): \(\frac12=e^{-t_{1/2}/\tau}\). Logarithmieren: \(\ln\frac12=-\frac{t_{1/2}}{\tau}\). Mit \(\ln\frac12=-\ln 2\) folgt \(-\ln 2=-\frac{t_{1/2}}{\tau}\), also \(t_{1/2}=\tau\cdot\ln 2\approx 0{,}693\cdot\tau\).

Zeitkonstante: \(\displaystyle\tau=\frac{t_{1/2}}{\ln 2}=\frac{14\,\mathrm s}{0{,}693}=20{,}2\,\mathrm s\). Kapazität: \(\displaystyle C=\frac{\tau}{R}=\frac{20{,}2\,\mathrm s}{1{,}00\cdot10^{4}\,\Omega}=2{,}02\cdot10^{-3}\,\mathrm F\approx 2{,}0\,\mathrm{mF}=2000\,\mu\mathrm F\). Toleranzbereich: \(0{,}8\cdot2200\,\mu\mathrm F=1760\,\mu\mathrm F\) bis \(1{,}2\cdot2200\,\mu\mathrm F=2640\,\mu\mathrm F\). Der gemessene Wert liegt rund 9 % unter dem Nennwert, aber innerhalb der Toleranz — der Kondensator ist in Ordnung. Die Ableseunsicherheit von etwa 0,5 s bei \(t_{1/2}\) entspricht nur rund 4 % und ändert dieses Urteil nicht.

Beginnt man die Zeitzählung zu dem Zeitpunkt \(t_1\), an dem die Spannung 6,0 V beträgt, so gilt von dort an ebenfalls \(U(t)=6{,}0\,\mathrm V\cdot e^{-(t-t_1)/\tau}\) — der Entladevorgang „weiß“ nichts von seiner Vorgeschichte, weil der Strom in jedem Augenblick nur von der momentan anliegenden Spannung abhängt. Die Anfangsspannung steht in der Exponentialfunktion nur als Vorfaktor; sie kürzt sich bei der Halbwertsbedingung heraus (siehe b). Die Zeit für den Abfall auf die Hälfte ist daher für jeden Startwert dieselbe, \(t_{1/2}=\tau\ln2\). Beide Ablesungen liefern deshalb dasselbe \(\tau\) und dieselbe Kapazität. Aus dem Diagramm: 6,0 V bei ca. 14 s, 3,0 V bei ca. 28 s — Differenz wieder 14 s.

Der Entladestrom wird von der Spannung getrieben, die am Kondensator anliegt: \(I=\frac{U}{R}\). Dieser Strom transportiert Ladung vom Kondensator weg, und mit der Ladung sinkt wegen \(U=\frac{Q}{C}\) auch die Spannung. Die Abnahme der Spannung pro Zeit ist also proportional zur Spannung selbst: Ist noch viel Spannung da, fließt ein großer Strom und die Spannung fällt schnell; ist wenig übrig, fällt sie langsam. Eine Größe, deren Änderungsrate proportional zum eigenen Bestand ist, wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben — genau wie beim radioaktiven Zerfall. Der Funktionstyp folgt damit aus dem Aufbau des Stromkreises und steht vor der ersten Messung fest.

Jede positive Zahl lässt sich als Potenz von \(e\) schreiben: \(b=e^{\ln b}\). Damit \(b^{t}=\left(e^{\ln b}\right)^{t}=e^{t\cdot\ln b}\), also \(U=a\cdot e^{t\cdot\ln b}\). Vergleich mit \(U=U_0\cdot e^{-t/\tau}\) ergibt \(U_0=a\) und \(\ln b=-\frac{1}{\tau}\), d. h. \(\tau=-\frac{1}{\ln b}\). Zahlenwert: \(\ln 0{,}636=-0{,}4526\), also \(\displaystyle\tau=\frac{1}{0{,}4526}\,\mathrm s=2{,}21\,\mathrm s\). Das ist derselbe Wert wie aus der Linearisierung in Aufgabe 1 — kein Zufall, denn der GTR berechnet die ExpReg intern genau über die Regression der logarithmierten Werte.

Im Messbereich unterscheiden sich beide Kurven kaum, das zeigt auch das hohe \(r^2\). Jenseits davon laufen sie auseinander. Exponentialfunktion: \(U(8\,\mathrm s)=10{,}03\cdot0{,}636^{8}\,\mathrm V=0{,}27\,\mathrm V\), \(U(10\,\mathrm s)=0{,}11\,\mathrm V\) — die Spannung sinkt weiter gegen null, bleibt aber positiv. Parabel: Sie hat bei \(t_S=\frac{3{,}32}{2\cdot0{,}308}\,\mathrm s=5{,}4\,\mathrm s\) ihren Scheitel mit \(U\approx0{,}77\,\mathrm V\); danach steigt sie wieder: \(U(8\,\mathrm s)=0{,}308\cdot64-3{,}32\cdot8+9{,}72=2{,}87\,\mathrm V\), \(U(10\,\mathrm s)=7{,}3\,\mathrm V\). Ein Kondensator, der nur über einen Widerstand entladen wird, kann seine Spannung aber nicht ohne Quelle zurückgewinnen. Die Parabel widerspricht deshalb außerhalb des Messbereichs der Physik; Tims Aussage ist falsch. Ein hohes \(r^2\) beschreibt nur, wie gut die Kurve durch die vorhandenen Punkte läuft — es ersetzt nicht die Begründung des Funktionstyps.

Eine Gerade sagt gleiche Spannungsabnahmen in gleichen Zeitschritten voraus. Die Messreihe zeigt aber Differenzen von \(-3{,}60\,\mathrm V\), \(-2{,}35\,\mathrm V\), \(-1{,}47\,\mathrm V\), \(-0{,}93\,\mathrm V\), \(-0{,}60\,\mathrm V\), \(-0{,}39\,\mathrm V\) — die Abnahme wird immer kleiner, die Kurve flacht ab. Außerdem schneidet die Regressionsgerade die Zeitachse bei \(t=\frac{8{,}18}{1{,}47}\,\mathrm s=5{,}6\,\mathrm s\) und liefert danach negative Spannungen, obwohl bei 6 s noch 0,66 V gemessen wurden und die Spannung beim Entladen niemals das Vorzeichen wechselt. Merkmale ohne Rechner: (1) Die Differenzen sind nicht konstant, sondern nehmen ab; (2) die Werte werden immer kleiner, bleiben aber positiv — sie nähern sich der Zeitachse, statt sie zu durchstoßen. Auch ein Blick auf M2 genügt: Die Gerade verfehlt die ersten und letzten Punkte systematisch nach derselben Seite.

Das Produkt \(Q=I\cdot t\) gilt nur, wenn die Stromstärke während der gesamten Zeit konstant ist. Beim Aufladen nimmt \(I\) aber von 4,09 mA auf 0,27 mA ab, weil die wachsende Kondensatorspannung der Quelle immer stärker entgegenwirkt; es gibt keinen einzelnen Wert, den man für \(I\) einsetzen könnte. Im \(I\)-\(t\)-Diagramm ist \(I\cdot t\) der Flächeninhalt eines Rechtecks unter einer waagerechten Stromlinie. Bei veränderlichem Strom tritt an seine Stelle die Fläche unter der Kurve zwischen \(t=0\) und dem Endzeitpunkt. Man bestimmt sie näherungsweise, indem man die Fläche in schmale senkrechte Streifen zerlegt, jeden Streifen als Trapez berechnet und die Streifenflächen addiert.

Streifenmethode mit \(\Delta t=1\,\mathrm s\): \(Q\approx\left(\frac{4{,}09}{2}+2{,}60+1{,}65+1{,}05+0{,}66+0{,}42+\frac{0{,}27}{2}\right)\mathrm{mA}\cdot1\,\mathrm s=(2{,}045+6{,}38+0{,}135)\,\mathrm{mA\,s}=8{,}56\,\mathrm{mA\,s}\). Mit \(1\,\mathrm{mA\,s}=1\,\mathrm{mC}\): In den ersten 6 s fließen etwa \(Q\approx8{,}6\,\mathrm{mC}=8{,}6\cdot10^{-3}\,\mathrm C\) auf den Kondensator.

Nach vollständiger Aufladung liegt am Kondensator \(U_0=9{,}0\,\mathrm V\): \(Q_{\text{ges}}=C\cdot U_0=1000\cdot10^{-6}\,\mathrm F\cdot9{,}0\,\mathrm V=9{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm C=9{,}0\,\mathrm{mC}\). Anteil nach 6 s: \(\frac{8{,}56\,\mathrm{mC}}{9{,}0\,\mathrm{mC}}=0{,}95\) — rund 95 % der Ladung sind angekommen. Das passt zu \(6\,\mathrm s\approx2{,}7\,\tau\) (mit \(\tau=2{,}2\,\mathrm s\)): Nach \(3\tau\) fehlen noch etwa 5 %.

Die Stromkurve ist nach oben gekrümmt (konvex): Sie fällt zunächst steil und dann immer flacher. Die gerade Oberkante eines Trapezes verbindet zwei Punkte der Kurve; bei einer konvexen Kurve liegt diese Sehne oberhalb des Kurvenbogens. Jeder Streifen enthält deshalb etwas mehr Fläche als die Kurve tatsächlich einschließt — der Wert aus b) ist zu groß. Rechnerische Kontrolle: Der exakte Wert beträgt \(Q=Q_{\text{ges}}\left(1-e^{-6/2{,}2}\right)=9{,}0\,\mathrm{mC}\cdot0{,}935=8{,}41\,\mathrm{mC}\); die Streifensumme liegt etwa 1,8 % darüber. Verbesserung: schmalere Streifen wählen, z. B. \(\Delta t=0{,}5\,\mathrm s\) oder \(0{,}1\,\mathrm s\) — der Stromsensor liefert die dafür nötigen Zwischenwerte ohnehin. Je schmaler die Streifen, desto dichter liegt die Sehne am Bogen, und die Abweichung fällt unter ein Promille.

Quotienten aufeinanderfolgender Werte aus M1: \(\frac{2{,}60}{4{,}09}=0{,}636\), \(\frac{1{,}65}{2{,}60}=0{,}635\), \(\frac{1{,}05}{1{,}65}=0{,}636\), \(\frac{0{,}66}{1{,}05}=0{,}629\), \(\frac{0{,}42}{0{,}66}=0{,}636\), \(\frac{0{,}27}{0{,}42}=0{,}643\). Bei gleichen Zeitschritten sind die Quotienten im Rahmen der Rundung konstant (\(k\approx0{,}636\)) — der Strom nimmt exponentiell ab: \(I(t)=I_0\cdot k^{t}=I_0\cdot e^{-t/\tau}\). Zeitkonstante: \(\tau=-\frac{1}{\ln k}=-\frac{1}{\ln0{,}636}\,\mathrm s=\frac{1}{0{,}4526}\,\mathrm s=2{,}21\,\mathrm s\). Kapazität: \(C=\frac{\tau}{R}=\frac{2{,}21\,\mathrm s}{2200\,\Omega}=1{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm F=1000\,\mu\mathrm F\) — der Aufdruck wird bestätigt. Kontrolle: \(I_0=\frac{U_0}{R}=\frac{9{,}0\,\mathrm V}{2200\,\Omega}=4{,}09\,\mathrm{mA}\), genau der erste Messwert.

Aussage 1 (Mara) ist physikalisch richtig, praktisch aber ungünstig. Zu Beginn fließt der Strom \(I_0=\frac{U_0}{R}\). Wegen \(\Delta Q=C\cdot\Delta U\) sinkt die Spannung anfangs mit der Rate \(\frac{\Delta U}{\Delta t}=-\frac{I_0}{C}=-\frac{U_0}{RC}=-\frac{U_0}{\tau}\). Die Tangente bei \(t=0\) lautet also \(U=U_0-\frac{U_0}{\tau}\,t\) und schneidet die Zeitachse bei \(t=\tau\) — man liest \(\tau\) tatsächlich direkt ab. Allerdings nutzt das Verfahren nur den Kurvenanfang, eine Tangente lässt sich von Hand nur ungenau anlegen, und gerade dort fällt die Kurve am steilsten, sodass Ablesefehler stark durchschlagen. Als schnelle Kontrolle geeignet, als Hauptauswertung nicht.

Aussage 2 (Jonas) ist falsch. Beide Auftragungen ergeben zwar Geraden, aber wegen \(\lg U=\frac{\ln U}{\ln 10}\) gilt \(\lg U=\lg U_0-\frac{t}{\tau\cdot\ln 10}\). Die Steigung ist bei \(\lg\) um den Faktor \(\ln 10\approx2{,}30\) kleiner: \(m_{\lg}=-\frac{1}{\tau\ln10}\). Wer sie wie \(m_{\ln}=-\frac{1}{\tau}\) auswertet, erhält ein um den Faktor 2,3 zu großes \(\tau\) und eine 2,3-mal zu große Kapazität. Richtig wäre \(\tau=-\frac{1}{m_{\lg}\cdot\ln 10}\).

Aussage 3 (Elif) ist falsch. Startet die Stoppuhr um \(\Delta\) zu spät, sind alle gemessenen Zeiten um denselben Betrag zu klein: \(t_{\text{mess}}=t-\Delta\). In \(\ln U=\ln U_0-\frac{t_{\text{mess}}+\Delta}{\tau}=\left(\ln U_0-\frac{\Delta}{\tau}\right)-\frac{t_{\text{mess}}}{\tau}\) ändert sich nur der Achsenabschnitt, nicht die Steigung — und aus der Steigung wird \(\tau\) bestimmt. Außerdem wird der Wert bei \(t=0\) gar nicht mit der Stoppuhr gemessen: Er ist die Spannung, die vor dem Umschalten am geladenen Kondensator anliegt, und damit der zuverlässigste Punkt der Reihe. Ihn wegzulassen verschenkt Information, ohne einen Fehler zu beseitigen.

Aufbau: Der Kondensator wird über den Umschalter in Stellung 1 mit dem Netzgerät verbunden (Aufladen), in Stellung 2 mit dem Widerstand \(R=1{,}0\,\mathrm{M\Omega}\) (Entladen). Das Voltmeter liegt parallel zum Kondensator und zeigt \(U_C\) an. Durchführung: Am Netzgerät wird eine gut ablesbare Anfangsspannung eingestellt, z. B. \(U_0=10{,}0\,\mathrm V\); man wartet, bis das Voltmeter diesen Wert stabil anzeigt. Beim Umschalten in Stellung 2 wird gleichzeitig die Stoppuhr gestartet (zu zweit: eine Person schaltet und startet, eine liest ab). Die Spannung wird in festen Abständen notiert, z. B. alle 2 s, bis sie auf etwa 5 % von \(U_0\) gefallen ist (rund \(3\tau\); bei einigen Mikrofarad und \(1\,\mathrm{M\Omega}\) sind das einige bis einige zehn Sekunden). Die Messung wird zwei- bis dreimal wiederholt. Auswertung: Zeiten in L1, Spannungen in L2, L3 = ln(L2). Kontrolle des Funktionstyps über die Quotienten aufeinanderfolgender Werte, dann LinReg für L1 und L3. Aus der Steigung \(a\) folgt \(\tau=-\frac{1}{a}\) und daraus \(C=\frac{\tau}{R}\). Der Achsenabschnitt \(b\) dient als Kontrolle: \(e^{b}\) muss \(U_0\) ergeben. Aus den Wiederholungen wird der Mittelwert von \(C\) gebildet und die Streuung als Maß für die Unsicherheit angegeben.

Während der Entladung liegt das Voltmeter parallel zu \(R\); der Kondensator entlädt sich über beide Wege. Ersatzwiderstand: \(\frac{1}{R_{\text{ges}}}=\frac{1}{1{,}0\,\mathrm{M\Omega}}+\frac{1}{10\,\mathrm{M\Omega}}=\frac{1{,}1}{\mathrm{M\Omega}}\), also \(R_{\text{ges}}=0{,}91\,\mathrm{M\Omega}\). Die tatsächliche Zeitkonstante ist \(\tau=R_{\text{ges}}\cdot C\), die Entladung läuft um rund 9 % schneller als mit \(R\) allein. Wer in der Auswertung mit \(C=\frac{\tau}{R}\) und \(R=1{,}0\,\mathrm{M\Omega}\) rechnet, erhält \(C_{\text{mess}}=\frac{R_{\text{ges}}}{R}\cdot C=0{,}91\,C\): Die Kapazität wird systematisch um etwa 9 % zu klein bestimmt. Abhilfe: entweder mit \(R_{\text{ges}}\) rechnen oder einen deutlich kleineren Entladewiderstand wählen (bei \(R=10\,\mathrm{k\Omega}\) läge der Fehler nur bei 0,1 %) — dann wird allerdings \(\tau\) so kurz, dass eine Stoppuhr nicht mehr ausreicht und ein Sensor nötig ist.

Für die Halbwertszeit-Methode spricht: Sie braucht keinen Rechner und keine Logarithmen, ist am Diagramm in einer Minute erledigt und lässt sich an mehreren Stellen der Kurve wiederholen (12 V → 6 V, 6 V → 3 V), was eine einfache Kontrolle liefert. Dagegen spricht: Sie nutzt nur zwei Punkte der Messreihe; ein einzelner Ablesefehler oder Ausreißer geht voll in das Ergebnis ein; die Ablesegenauigkeit ist durch das Diagrammraster begrenzt (bei 14 s etwa ±0,5 s, also ±4 %). Für die lineare Regression spricht: Sie verwendet alle Messwerte gleichzeitig, mittelt zufällige Ablesefehler heraus, liefert mit \(r^2\) und dem Vergleich \(e^{b}\) mit \(U_0\) eingebaute Kontrollen und deckt über die Linearität des \(\ln U\)-\(t\)-Diagramms auch den Funktionstyp auf. Dagegen spricht der höhere Aufwand (Listen, Logarithmieren, Rechnerbedienung) und die Gefahr, Ergebnisse unkritisch zu übernehmen — etwa eine hohe \(r^2\)-Zahl für einen falschen Funktionstyp (Aufgabe 3). Fazit: Für eine belastbare Bestimmung der Kapazität — etwa um die Toleranzangabe eines Bauteils zu prüfen — ist die Regression vorzuziehen, weil sie alle Messwerte nutzt und den Einzelfehler unterdrückt. Die Halbwertszeit eignet sich als schnelle Plausibilitätskontrolle des Regressionsergebnisses; beide zusammen sind besser als jede Methode allein.