AbituraufgabenLade- und Entladekurve messen

Stellung 1: Der Strom fließt vom Pluspol der Quelle über Kontakt 1 und den Umschalter durch den Stromsensor und den Widerstand \(R\) zum Kondensator, lädt diesen auf und fließt über die untere Leitung zum Minuspol zurück. Stellung 2: Die Quelle ist abgetrennt; der Kondensator treibt den Strom in umgekehrter Richtung durch \(R\), den Stromsensor und den Umschalter über Kontakt 2 zurück zur anderen Kondensatorplatte — er entlädt sich. Der Widerstand liegt im gemeinsamen Zweig und wird in beiden Stellungen durchflossen: Er begrenzt die Stromstärke und legt mit \(C\) die Zeitkonstante fest, sodass Laden und Entladen mit derselben Zeitkonstante \(\tau=R\,C\) ablaufen.

Ansatz: \(\tau=R\cdot C=4700\,\Omega\cdot1{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm F=4{,}7\,\mathrm s\). Unmittelbar nach dem Umschalten ist der Kondensator ungeladen, es gilt \(U_C=0\), also liegt die volle Quellenspannung am Widerstand: \(\displaystyle I_0=\frac{U_0}{R}=\frac{10\,\mathrm V}{4700\,\Omega}=2{,}1\cdot10^{-3}\,\mathrm A=2{,}1\,\mathrm{mA}\).

Ansatz: \(Q=C\cdot U_0=1{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm F\cdot10\,\mathrm V=1{,}0\cdot10^{-2}\,\mathrm C=10\,\mathrm{mC}\). Bei konstanter Stromstärke \(I_0\) gilt \(Q=I_0\cdot t\), also \(\displaystyle t=\frac{Q}{I_0}=\frac{1{,}0\cdot10^{-2}\,\mathrm C}{2{,}13\cdot10^{-3}\,\mathrm A}=4{,}7\,\mathrm s\). Das ist genau die Zeitkonstante: Würde der Anfangsstrom unverändert weiterfließen, wäre der Kondensator nach \(\tau\) vollständig geladen.

Die Spannung erreicht \(5{,}0\,\mathrm V\) zwischen \(t=2\,\mathrm s\) (\(6{,}3\,\mathrm V\)) und \(t=4\,\mathrm s\) (\(4{,}1\,\mathrm V\)). Lineare Zwischenrechnung: \(\displaystyle T_{1/2}\approx2\,\mathrm s+\frac{6{,}3-5{,}0}{6{,}3-4{,}1}\cdot2\,\mathrm s\approx3{,}2\,\mathrm s\) (Ablesen aus M2 liefert denselben Wert). Daraus \(\displaystyle \tau=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}=\frac{3{,}2\,\mathrm s}{0{,}693}\approx4{,}6\,\mathrm s\). Vergleich: Aus den Bauteilwerten folgt \(\tau=R\,C=4{,}7\,\mathrm s\); der aus der Messung bestimmte Wert weicht nur um etwa 2 % ab und liegt etwas darunter.

Einsetzen: \(U(6\,\mathrm s)=10\,\mathrm V\cdot e^{-\frac{6\,\mathrm s}{4{,}7\,\mathrm s}}=10\,\mathrm V\cdot e^{-1{,}28}\approx2{,}8\,\mathrm V\). Der Messwert \(2{,}7\,\mathrm V\) liegt rund 3 % darunter. Im Rahmen der Ablesegenauigkeit von 0,1 V passt der Messwert zum erwarteten Verlauf; die kleine Abweichung geht in dieselbe Richtung wie in Teilaufgabe a).

Beim Ablesen vergeht zwischen dem Signal der Stoppuhr und dem Blick auf das Voltmeter eine kurze Reaktionszeit. Da die Spannung fortlaufend fällt, wird der Wert immer erst ein wenig nach dem vorgesehenen Zeitpunkt abgelesen und ist deshalb etwas zu klein. Weil dieser Effekt bei jeder Ablesung in dieselbe Richtung wirkt, handelt es sich um einen systematischen Fehler: Die Messpunkte streuen nicht um die erwartete Kurve, sondern liegen geschlossen darunter. Der Wert bei \(t=0\) ist davon nicht betroffen, weil er die bekannte Quellenspannung ist.

Für den Vorschlag spricht, dass mehr Wertepaare den Verlauf dichter belegen. Dagegen spricht: Die Reaktionszeit beim Ablesen liegt in der Größenordnung von einigen Zehntelsekunden und ist damit nicht mehr klein gegenüber dem Intervall von \(0{,}5\,\mathrm s\); ein sicheres Ablesen im Halbsekundentakt ist von Hand nicht möglich, die Werte würden zusätzlich streuen. Vor allem aber bleibt der systematische Fehler aus Teilaufgabe c) unverändert bestehen — er hängt von der Reaktionszeit ab, nicht vom Abstand der Ablesungen. Fazit: Der Vorschlag verbessert die Messung nicht. Genauer wird sie erst durch eine automatische Erfassung (Messinterface), die den Ablesezeitpunkt selbst festlegt.

Unmittelbar nach dem Umschalten trägt der Kondensator keine Ladung, also gilt \(U_C=0\). Da sich die Quellenspannung auf Widerstand und Kondensator aufteilt (\(U_0=U_R+U_C\)), liegt die gesamte Spannung am Widerstand: \(U_R=U_0\), und nach \(I=\frac{U_R}{R}\) folgt \(I_0=\frac{U_0}{R}\). Mit jeder transportierten Ladung wächst \(U_C=\frac{Q}{C}\); damit wird \(U_R=U_0-U_C\) kleiner und mit ihr die Stromstärke. Der Strom nimmt so lange ab, bis \(U_C=U_0\) erreicht ist und kein Strom mehr fließt.

\(0{,}37\cdot2{,}13\,\mathrm{mA}\approx0{,}79\,\mathrm{mA}\). Dieser Wert liegt zwischen \(t=4\,\mathrm s\) (\(0{,}91\,\mathrm{mA}\)) und \(t=6\,\mathrm s\) (\(0{,}59\,\mathrm{mA}\)): \(\displaystyle \tau\approx4\,\mathrm s+\frac{0{,}91-0{,}79}{0{,}91-0{,}59}\cdot2\,\mathrm s\approx4{,}8\,\mathrm s\). Kapazität: \(\displaystyle C=\frac{\tau}{R}=\frac{4{,}8\,\mathrm s}{4700\,\Omega}\approx1{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm F=1000\,\mu\mathrm F\), in Übereinstimmung mit dem aufgedruckten Wert.

Trapeze (Breite 1 s bis \(t=4\,\mathrm s\), danach 2 s): \(\tfrac{2{,}13+1{,}72}{2}+\tfrac{1{,}72+1{,}39}{2}+\tfrac{1{,}39+1{,}12}{2}+\tfrac{1{,}12+0{,}91}{2}\) \(=1{,}93+1{,}56+1{,}26+1{,}02=5{,}77\) (in \(\mathrm{mA\cdot s}\)); dazu \((0{,}91+0{,}59)+(0{,}59+0{,}39)+(0{,}39+0{,}25)=1{,}50+0{,}98+0{,}64=3{,}12\). Summe: \(Q(10\,\mathrm s)\approx8{,}9\,\mathrm{mA\cdot s}=8{,}9\,\mathrm{mC}\).

Vergleich: Der vollständig geladene Kondensator trägt \(Q=C\cdot U_0=10\,\mathrm{mC}\) (Aufgabe 1). Der Schätzwert liegt etwa 11 % darunter. Erklärung: Bei \(t=10\,\mathrm s\) fließt noch ein Strom von \(0{,}25\,\mathrm{mA}\), der Kondensator ist also noch nicht vollständig geladen — nach gut zwei Zeitkonstanten sind erst \(1-e^{-\frac{10}{4{,}7}}\approx88\,\%\) der Endladung, also rund \(8{,}8\,\mathrm{mC}\), auf den Platten. Der Rest fließt in den folgenden Sekunden nach; der Schätzwert passt somit sehr gut.

\(I_0=\frac{U_0}{R}\): für \(2{,}2\,\mathrm{k\Omega}\): \(4{,}5\,\mathrm{mA}\); für \(4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\): \(2{,}1\,\mathrm{mA}\); für \(10\,\mathrm{k\Omega}\): \(1{,}0\,\mathrm{mA}\); für \(22\,\mathrm{k\Omega}\): \(0{,}45\,\mathrm{mA}\). Die Bedingung \(I_0>0{,}5\,\mathrm{mA}\) erfüllen die drei Widerstände \(2{,}2\,\mathrm{k\Omega}\), \(4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\) und \(10\,\mathrm{k\Omega}\); bei \(22\,\mathrm{k\Omega}\) läge schon der Startwert unter der Messgrenze.

\(\tau=10\,000\,\Omega\cdot2{,}2\cdot10^{-3}\,\mathrm F=22\,\mathrm s\), also \(3\tau=66\,\mathrm s\) — weit länger als das Messfenster von \(15\,\mathrm s\). Der Vorgang ist nicht abgeschlossen: Am Ende des Fensters zeigt der Sensor noch \(I(15\,\mathrm s)=1{,}0\,\mathrm{mA}\cdot e^{-\frac{15}{22}}\approx0{,}51\,\mathrm{mA}\), also rund die Hälfte des Anfangswertes. Die Software erfasst nur den Anfang der Kurve; der exponentielle Verlauf wird nicht sichtbar.

Bedingungen: \(3\tau\le10\,\mathrm s\Rightarrow\tau\le3{,}3\,\mathrm s\); \(I_0\ge2\,\mathrm{mA}\Rightarrow R\le5\,\mathrm{k\Omega}\), also \(R=2{,}2\,\mathrm{k\Omega}\) oder \(4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\). Mit \(C\le\frac{\tau}{R}\) folgt für \(2{,}2\,\mathrm{k\Omega}\): \(C\le1500\,\mu\mathrm F\) (220, 470 oder 1000 µF); für \(4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\): \(C\le700\,\mu\mathrm F\) (220 oder 470 µF). Eine gute Wahl ist z. B. \(R=2{,}2\,\mathrm{k\Omega}\) mit \(C=1000\,\mu\mathrm F\): \(\tau=2{,}2\,\mathrm s\), \(3\tau=6{,}6\,\mathrm s\), \(I_0=4{,}5\,\mathrm{mA}\) — beide Bedingungen sind mit Reserve erfüllt (ebenso \(4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\) mit \(470\,\mu\mathrm F\), dort ist \(I_0=2{,}1\,\mathrm{mA}\) allerdings knapp).

Erläuterung: Bei \(2{,}2\,\mathrm{k\Omega}\) und \(220\,\mu\mathrm F\) wäre \(\tau=0{,}48\,\mathrm s\) und \(3\tau\approx1{,}5\,\mathrm s\). Bei 20 Werten pro Sekunde fielen nur etwa 30 Messwerte in den eigentlichen Vorgang; der steile Anfang wäre grob aufgelöst und die Auswertung würde sich auf wenige Punkte stützen. Eine möglichst große Zeitkonstante innerhalb der Vorgabe liefert dagegen hunderte Wertepaare auf der Kurve.

Gruppe A: Der erste Messpunkt liegt bei \(U_0=10\,\mathrm V\), alle weiteren Punkte liegen deutlich unter der erwarteten Kurve; die Spannung fällt schneller ab, die Halbwertszeit beträgt nur etwa \(2{,}2\,\mathrm s\) statt \(3{,}3\,\mathrm s\). Die Form der Kurve ist verändert, die Zeitkonstante ist also tatsächlich kleiner als \(R\,C\). Mögliche Fehlerquelle: ein zu niederohmiges Voltmeter, das den Kondensator zusätzlich entlädt (ebenfalls denkbar: ein Kondensator oder Widerstand, dessen tatsächlicher Wert unter dem aufgedruckten liegt). Gruppe B: Bereits der erste Punkt liegt mit \(8{,}1\,\mathrm V\) unter \(U_0\); danach verläuft die Punktfolge in derselben Form wie die erwartete Kurve, nur nach rechts bzw. nach unten verschoben, und nähert sich ihr an. Die Zeitkonstante stimmt, die Lage nicht. Mögliche Fehlerquelle: Die Stoppuhr wurde etwa eine Sekunde nach dem Umschalten gestartet, sodass alle Zeiten zu klein sind — oder der Kondensator war beim Umschalten noch nicht vollständig geladen. Beide Ursachen liefern dieselben Messwerte, weil eine Entladung, die bei \(8{,}1\,\mathrm V\) beginnt, genauso abläuft wie eine bei \(10\,\mathrm V\) begonnene nach einer Sekunde; aus den Daten allein sind sie daher nicht zu unterscheiden.

Beim Entladen liegen \(R\) und \(R_V\) parallel: \(\displaystyle \frac{1}{R_\text{ges}}=\frac{1}{4{,}7\,\mathrm{k\Omega}}+\frac{1}{10\,\mathrm{k\Omega}}\Rightarrow R_\text{ges}\approx3{,}2\,\mathrm{k\Omega}\). Damit \(\tau'=R_\text{ges}\cdot C=3200\,\Omega\cdot1{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm F=3{,}2\,\mathrm s\) statt \(4{,}7\,\mathrm s\) — die Zeitkonstante sinkt um rund ein Drittel. Überprüfung bei \(t=2\,\mathrm s\): \(U=10\,\mathrm V\cdot e^{-\frac{2}{3{,}2}}\approx5{,}4\,\mathrm V\); der Messpunkt der Gruppe A liegt genau dort (ebenso \(t=4\,\mathrm s\): \(2{,}9\,\mathrm V\)). Das Voltmeter erklärt das Fehlerbild vollständig.

Aussage 1 (Mia) ist falsch. Ein Voltmeter zeigt zwar die Spannung am Kondensator an, lässt dafür aber einen Strom durch sich hindurchfließen. Beim Entladen bildet es einen zweiten Entladeweg parallel zu \(R\); der Kondensator verliert seine Ladung schneller, und die gemessene Kurve gehört nicht mehr zur Zeitkonstante \(R\,C\) (Teilaufgabe b). Richtig ist die Aussage nur näherungsweise für ein sehr hochohmiges Voltmeter mit \(R_V\gg R\). Aussage 2 (Jonas) ist ebenfalls falsch. Die digitale Erfassung beseitigt die Reaktionszeit beim Ablesen und den verzögerten Uhrstart, also die Fehler beim Messen. Systematische Fehler im Aufbau und Ablauf bleiben bestehen: ein vor dem Start nicht vollständig entladener Kondensator (zu kleiner Startstrom), der Eigenwiderstand des Stromsensors (vergrößert \(R\)) oder ein Kondensator, dessen tatsächliche Kapazität vom Aufdruck abweicht. Ein Rechner misst nur das, was die Schaltung ihm liefert.

Weg 1 – Rechnerische Korrektur: Aufbau wie bisher; Durchführung der Entladung mit dem vorhandenen Voltmeter; Auswertung: Aus der Messreihe wird \(\tau'\) über die Halbwertszeit bestimmt. Da \(\tau'=R_\text{ges}\cdot C\) mit dem bekannten \(R_\text{ges}\) aus \(R\) und \(R_V\) gilt, folgt \(C=\frac{\tau'}{R_\text{ges}}\) und daraus \(\tau=R\cdot C\). Weg 2 – Messung ohne Voltmeter: Das Voltmeter wird entfernt und der Aufladevorgang mit dem Stromsensor in Reihe aufgezeichnet (Aufgabe 3); \(\tau\) wird als Zeit bestimmt, in der \(I\) auf 37 % von \(I_0\) fällt. Der Sensor liegt in Reihe und öffnet keinen zusätzlichen Strompfad. Beide Wege liefern die Zeitkonstante des Aufbaus ohne den störenden Einfluss des Voltmeters; Weg 2 hat zusätzlich den Vorteil, dass Ablesefehler entfallen.