AbituraufgabenEnergie im Kondensator

\(W=\tfrac12\,C\,U^{2}=\tfrac12\,Q\,U=\dfrac{Q^{2}}{2C}\). Dabei ist \(W\) die gespeicherte Energie in Joule (J), \(C\) die Kapazität in Farad (F), \(U\) die Spannung am Kondensator in Volt (V) und \(Q\) die Ladung auf einer Platte in Coulomb (C).

Umrechnung: \(C=1200\,\mu\mathrm F=1{,}2\cdot 10^{-3}\,\mathrm F\). Energie: \(W=\tfrac12\,C\,U^{2}=\tfrac12\cdot 1{,}2\cdot 10^{-3}\,\mathrm F\cdot(330\,\mathrm V)^{2}=65{,}3\,\mathrm J\approx 65\,\mathrm J\). Ladung: \(Q=C\cdot U=1{,}2\cdot 10^{-3}\,\mathrm F\cdot 330\,\mathrm V=0{,}40\,\mathrm C\). (Kontrolle: \(\tfrac12\,Q\,U=\tfrac12\cdot 0{,}396\,\mathrm C\cdot 330\,\mathrm V=65{,}3\,\mathrm J\).)

Blitz: \(P_\text{Blitz}=\dfrac{W}{t}=\dfrac{65{,}3\,\mathrm J}{1{,}5\cdot 10^{-3}\,\mathrm s}=4{,}4\cdot 10^{4}\,\mathrm W=44\,\mathrm{kW}\). Laden: \(P_\text{Laden}=\dfrac{65{,}3\,\mathrm J}{6{,}0\,\mathrm s}=11\,\mathrm W\). Erläuterung: Beide Vorgänge setzen dieselbe Energie um, aber der Blitz braucht sie in einer 4000-mal kürzeren Zeit — die Leistung ist entsprechend rund 4000-mal größer. Zwei kleine Batterien können zwar über einige Sekunden etwa \(11\,\mathrm W\) liefern, aber niemals \(44\,\mathrm{kW}\); außerdem stellen sie nur \(3\,\mathrm V\) bereit, während die Blitzröhre eine hohe Spannung benötigt. Der Kondensator sammelt die Energie langsam und gibt sie schnell wieder ab — er wirkt als Leistungsspeicher, nicht als Energiespeicher großer Menge.

Quotienten \(\frac{Q}{U}\) in \(\mathrm{\frac{mC}{V}}\): \(0{,}480\); \(0{,}465\); \(0{,}475\); \(0{,}468\); \(0{,}471\). Die Quotienten stimmen im Rahmen der Messunsicherheit überein, also ist \(U\sim Q\) (die Messpunkte in M1 liegen entsprechend auf einer Ursprungsgeraden). Kapazität: Mittelwert \(\frac{Q}{U}\approx 0{,}47\,\mathrm{\frac{mC}{V}}\), also \(C=\frac{Q}{U}\approx 4{,}7\cdot 10^{-4}\,\mathrm F=470\,\mu\mathrm F\). (Gleichwertig: Steigung der Ursprungsgeraden \(\frac{U}{Q}=\frac{1}{C}\).)

Wird bei der Spannung \(U\) eine kleine Ladungsportion \(\Delta Q\) auf den Kondensator gebracht, ist dafür die Energie \(\Delta W=U\cdot\Delta Q\) nötig — im Diagramm ein schmaler Streifen der Breite \(\Delta Q\) und der Höhe \(U\) unter der Geraden. Alle Streifen zusammen füllen die Dreiecksfläche aus; ihre Summe ist die gesamte zugeführte Energie, und wegen \(1\,\mathrm V\cdot 1\,\mathrm C=1\,\mathrm J\) hat die Fläche tatsächlich die Einheit einer Energie. Rechnung: \(W=\tfrac12\,Q\,U=\tfrac12\cdot 4{,}71\cdot 10^{-3}\,\mathrm C\cdot 10{,}0\,\mathrm V=2{,}4\cdot 10^{-2}\,\mathrm J\approx 24\,\mathrm{mJ}\). (Kontrolle: \(\tfrac12\,C\,U^{2}=\tfrac12\cdot 470\cdot 10^{-6}\,\mathrm F\cdot(10{,}0\,\mathrm V)^{2}=23{,}5\,\mathrm{mJ}\).)

Das Produkt \(Q\cdot U\) ist im Diagramm das Rechteck mit den Seiten \(Q=4{,}71\,\mathrm{mC}\) und \(U=10{,}0\,\mathrm V\). Es wäre die Energie, wenn jede Ladungsportion gegen die volle Endspannung \(10\,\mathrm V\) verschoben werden müsste. Tatsächlich ist die Spannung zu Beginn null und wächst erst während des Ladens an; die meisten Portionen werden gegen eine kleinere Spannung verschoben. Die tatsächliche Energie ist deshalb nur die Dreiecksfläche — genau die Hälfte des Rechtecks. Der Schüler hat die Endspannung statt der mittleren Spannung \(\tfrac12 U\) verwendet.

Kondensator 1: \(W_1=\dfrac{Q^{2}}{2C_1}=\dfrac{(4{,}71\cdot 10^{-3}\,\mathrm C)^{2}}{2\cdot 470\cdot 10^{-6}\,\mathrm F}=2{,}4\cdot 10^{-2}\,\mathrm J\). Kondensator 2: \(W_2=\dfrac{(4{,}71\cdot 10^{-3}\,\mathrm C)^{2}}{2\cdot 940\cdot 10^{-6}\,\mathrm F}=1{,}2\cdot 10^{-2}\,\mathrm J\). Bei gleicher Ladung speichert der Kondensator mit doppelter Kapazität nur die halbe Energie. Begründung mit dem Diagramm: Die Gerade des zweiten Kondensators hat die Steigung \(\frac{1}{C_2}\), also nur die halbe Steigung; bei derselben Ladung \(Q\) erreicht sie nur die halbe Spannung \(U_2=\frac{Q}{C_2}=5{,}0\,\mathrm V\). Das Dreieck hat dieselbe Grundseite \(Q\), aber die halbe Höhe — und damit die halbe Fläche.

Umrechnung: \(C=150\,\mu\mathrm F=1{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm F\), \(U_0=2{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm V\). Energie: \(W=\tfrac12\,C\,U_0^{2}=\tfrac12\cdot 1{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm F\cdot(2{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm V)^{2}=3{,}0\cdot 10^{2}\,\mathrm J\). Ladung: \(Q=C\cdot U_0=1{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm F\cdot 2{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm V=0{,}30\,\mathrm C\).

Leistung beim Laden: \(P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{300\,\mathrm J}{8{,}0\,\mathrm s}=38\,\mathrm W\) (genauer \(37{,}5\,\mathrm W\)). Stromstärke aus dem Akku: \(I=\dfrac{P}{U_\text{Akku}}=\dfrac{37{,}5\,\mathrm W}{12\,\mathrm V}=3{,}1\,\mathrm A\). Erläuterung: Direkt am Akku könnte der Kondensator höchstens auf \(12\,\mathrm V\) geladen werden. Er speicherte dann nur \(W=\tfrac12\cdot 1{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm F\cdot(12\,\mathrm V)^{2}=1{,}1\cdot 10^{-2}\,\mathrm J\) — rund 28 000-mal weniger als benötigt, weil die Spannung quadratisch in die Energie eingeht. Der Wandler ist also nötig, um die Spannung auf \(2{,}0\,\mathrm{kV}\) zu erhöhen; die Energie stammt trotzdem aus dem Akku, nur bei kleiner Spannung und entsprechend größerem Strom.

Zeitkonstante: \(\tau=R\cdot C=50\,\Omega\cdot 1{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm F=7{,}5\cdot 10^{-3}\,\mathrm s=7{,}5\,\mathrm{ms}\). Nach \(t=\tau\) gilt \(U(\tau)=U_0\cdot e^{-1}\approx 0{,}368\,U_0\approx 7{,}4\cdot 10^{2}\,\mathrm V\). Gespeicherte Energie: \(W(\tau)=\tfrac12\,C\,U(\tau)^{2}=\tfrac12\,C\,U_0^{2}\cdot e^{-2}=W_0\cdot e^{-2}\approx 0{,}135\,W_0\approx 41\,\mathrm J\). Abgegeben wurden also \(1-e^{-2}\approx 0{,}86\), das heißt rund \(86\,\%\) der Energie (etwa \(2{,}6\cdot 10^{2}\,\mathrm J\)), während die Spannung erst um \(63\,\%\) gesunken ist. Erklärung: Die Energie hängt quadratisch von der Spannung ab. Sinkt die Spannung auf den Anteil \(e^{-1}\), sinkt die Energie auf den Anteil \((e^{-1})^{2}=e^{-2}\). Die Energie nimmt deshalb mit der halben Zeitkonstante \(\frac{\tau}{2}\) ab und ist schon nach kurzer Zeit fast vollständig an den Körper übergegangen.

Ausgangspunkt: \(W=\tfrac12\,C\,U^{2}\). Einsetzen von \(C=\varepsilon_0\dfrac{A}{d}\) und \(U=E\cdot d\): \(W=\tfrac12\,\varepsilon_0\dfrac{A}{d}\,(E\,d)^{2}=\tfrac12\,\varepsilon_0\dfrac{A}{d}\,E^{2}\,d^{2}\). Kürzen von \(d\): \(W=\tfrac12\,\varepsilon_0\,E^{2}\cdot A\cdot d\). Rechts stehen nur noch die Feldstärke und das Volumen \(V=A\cdot d\) des Feldraums; mit der Energiedichte \(w=\tfrac12\,\varepsilon_0\,E^{2}\) ist \(W=w\cdot V\).

Feldstärke: \(E=\dfrac{U}{d}=\dfrac{3{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm V}{1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm m}=3{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\). Energiedichte: \(w=\tfrac12\,\varepsilon_0\,E^{2}=\tfrac12\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}\,\mathrm{\frac{F}{m}}\cdot(3{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}})^{2}=40\,\mathrm{\frac{J}{m^{3}}}\). Energie: \(W=w\cdot A\cdot d=39{,}8\,\mathrm{\frac{J}{m^{3}}}\cdot 0{,}40\,\mathrm{m^{2}}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm m=1{,}6\cdot 10^{-2}\,\mathrm J=16\,\mathrm{mJ}\). (Kontrolle: \(C=\varepsilon_0\frac{A}{d}=3{,}54\,\mathrm{nF}\), \(W=\tfrac12\,C\,U^{2}=\tfrac12\cdot 3{,}54\cdot 10^{-9}\,\mathrm F\cdot(3{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm V)^{2}=1{,}6\cdot 10^{-2}\,\mathrm J\) ✓.) Beurteilung: Die Feldstärke erreicht mit \(3{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\) genau die Durchschlagsfeldstärke von Luft. Der Kondensator arbeitet damit an der Grenze — schon eine geringfügig höhere Spannung, feuchte Luft oder Staub führen zum Funkenüberschlag. Ein Betrieb ist so nicht sinnvoll; man müsste die Spannung verringern, den Abstand vergrößern oder ein Dielektrikum mit höherer Durchschlagsfestigkeit einsetzen.

Bauteil-Sicht: Wegen \(C=\varepsilon_0\frac{A}{d}\) verdoppelt sich die Kapazität bei halbem Abstand. Da \(U\) durch die Quelle konstant gehalten wird, gilt \(W=\tfrac12\,C\,U^{2}\) mit doppeltem \(C\) — die Energie verdoppelt sich auf \(32\,\mathrm{mJ}\). Feld-Sicht: Wegen \(E=\frac{U}{d}\) verdoppelt sich die Feldstärke; die Energiedichte \(w=\tfrac12\,\varepsilon_0\,E^{2}\) wächst auf das Vierfache. Gleichzeitig halbiert sich aber das Volumen des Feldraums \(V=A\cdot d\). Insgesamt: \(W=w\cdot V\) mit dem Faktor \(4\cdot\tfrac12=2\) — ebenfalls die doppelte Energie. Beide Sichtweisen beschreiben dieselbe Energie und müssen daher denselben Faktor liefern; die zusätzliche Energie wird dabei von der Quelle nachgeliefert, weil bei doppelter Kapazität und gleicher Spannung die doppelte Ladung auf die Platten fließt.

Nach dem Trennen bleibt die Ladung erhalten: \(Q=C\cdot U=3{,}54\cdot 10^{-9}\,\mathrm F\cdot 3{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm V=1{,}06\cdot 10^{-5}\,\mathrm C\). Bei doppeltem Abstand halbiert sich die Kapazität: \(C^{\prime}=1{,}77\,\mathrm{nF}\). Energie: \(W^{\prime}=\dfrac{Q^{2}}{2C^{\prime}}=\dfrac{(1{,}06\cdot 10^{-5}\,\mathrm C)^{2}}{2\cdot 1{,}77\cdot 10^{-9}\,\mathrm F}=3{,}2\cdot 10^{-2}\,\mathrm J=32\,\mathrm{mJ}\) — die Energie hat sich verdoppelt. (Feld-Sicht: Die Spannung steigt auf \(U^{\prime}=\frac{Q}{C^{\prime}}=6{,}0\,\mathrm{kV}\), die Feldstärke \(E=\frac{U^{\prime}}{2d}\) bleibt unverändert, ebenso die Energiedichte — nur der Feldraum ist doppelt so groß.) Herkunft der Energie: Die ungleichnamig geladenen Platten ziehen einander an. Beim Auseinanderziehen muss gegen diese Anziehungskraft Energie zugeführt werden; genau diese Energie steckt anschließend zusätzlich im Feld. Die Energie kommt also nicht aus einer Spannungsquelle, sondern aus der Hand, die die Platten auseinanderzieht.

Kondensatormodul: \(W_C=\tfrac12\,C\,U^{2}=\tfrac12\cdot 63\,\mathrm F\cdot(125\,\mathrm V)^{2}=4{,}9\cdot 10^{5}\,\mathrm J\). Akkumodul: \(Q=10\,\mathrm{Ah}=10\cdot 3600\,\mathrm C=3{,}6\cdot 10^{4}\,\mathrm C\), also \(W_A=Q\cdot U=3{,}6\cdot 10^{4}\,\mathrm C\cdot 125\,\mathrm V=4{,}5\cdot 10^{6}\,\mathrm J\). Aussage 1 ist falsch: Das Akkumodul speichert rund neunmal so viel Energie wie das Kondensatormodul — und das bei einem Fünftel der Masse. Der Vergleich „63 gegen 10“ ist unzulässig, weil Farad (Kapazität) und Amperestunden (Ladung) verschiedene Größen messen; erst die Energie ist vergleichbar. Aussage 2 ist falsch: Bei halber Spannung ist wegen \(W\sim U^{2}\) nur noch ein Viertel der Energie im Modul: \(\tfrac12\cdot 63\,\mathrm F\cdot(62{,}5\,\mathrm V)^{2}=1{,}2\cdot 10^{5}\,\mathrm J\). Abgegeben wurden also drei Viertel (rund \(3{,}7\cdot 10^{5}\,\mathrm J\)), nicht die Hälfte. Die Hälfte der Energie ist bereits abgegeben, wenn die Spannung auf \(\frac{125\,\mathrm V}{\sqrt 2}\approx 88\,\mathrm V\) gesunken ist.

Geschwindigkeit: \(v=36\,\mathrm{\frac{km}{h}}=10\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Bewegungsenergie: \(W_\text{kin}=\tfrac12\,m\,v^{2}=\tfrac12\cdot 1{,}8\cdot 10^{4}\,\mathrm{kg}\cdot(10\,\mathrm{\frac{m}{s}})^{2}=9{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm J\). Speicherbar: \(0{,}60\cdot 9{,}0\cdot 10^{5}\,\mathrm J=5{,}4\cdot 10^{5}\,\mathrm J\). Ein Modul fasst \(4{,}9\cdot 10^{5}\,\mathrm J\), das reicht nicht; \(\frac{5{,}4\cdot 10^{5}}{4{,}9\cdot 10^{5}}\approx 1{,}1\) — es sind also mindestens zwei Module nötig (im Betrieb sind die Module beim Bremsen zudem nie ganz leer, sodass in der Praxis mehr Module verbaut werden). Leistung: \(P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{5{,}4\cdot 10^{5}\,\mathrm J}{5{,}0\,\mathrm s}=1{,}1\cdot 10^{5}\,\mathrm W\approx 110\,\mathrm{kW}\). Zwei Kondensatormodule können zusammen \(200\,\mathrm{kW}\) aufnehmen — das genügt.

Für den Vorschlag spricht: Ein Akkumodul speichert mit \(4{,}5\cdot 10^{6}\,\mathrm J\) rund neunmal so viel Energie wie ein Kondensatormodul und wiegt nur ein Fünftel; schon ein einziges Akkumodul könnte die Bremsenergie aus b) aufnehmen, und das eingesparte Gewicht senkt den Energiebedarf des Busses. Dagegen spricht erstens die Leistung: Beim Bremsen fallen etwa \(110\,\mathrm{kW}\) an, ein Akkumodul nimmt aber höchstens \(6\,\mathrm{kW}\) auf — man bräuchte rund 18 Akkumodule (mit etwa \(220\,\mathrm{kg}\) und \(8\cdot 10^{7}\,\mathrm J\) Speicher, der zu weniger als einem Prozent genutzt würde), oder der größte Teil der Bremsenergie müsste weiterhin als Wärme verloren gehen. Zweitens die Lebensdauer: Ein Stadtbus bremst mehrere hundert Mal am Tag; mit etwa \(2\,000\) Zyklen wäre ein Akku nach wenigen Tagen bis Wochen verschlissen, während \(1\,000\,000\) Zyklen des Kondensators viele Jahre reichen. Fazit: Für die Aufgabe „Bremsenergie kurzzeitig aufnehmen und beim Anfahren wieder abgeben“ ist der Kondensator wegen seiner hohen Leistung und Zyklenfestigkeit die bessere Wahl — er ist ein Leistungsspeicher, kein Energiespeicher. Akkus sind dort überlegen, wo große Energiemengen über lange Zeit bereitgestellt werden sollen, etwa für die Reichweite eines Elektrobusses. Sinnvoll ist deshalb die Kombination beider Speicher, nicht der Ersatz.