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Energie im Kondensator

Im Feld eines geladenen Kondensators steckt Energie. Sie lässt sich auf drei gleichwertige Arten berechnen — und ist die Fläche im U-Q-Diagramm.

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Wo die Energie beim Laden bleibt

Laden kostet Energie. Sie steckt danach im elektrischen Feld zwischen den Platten und kommt beim Entladen zurück.

  • Ausgangspunkt:leerer Kondensator, \(U=0\): die erste Portion kostet fast nichts.
  • Gegenspannung:jede Portion \(\Delta Q\) kostet \(U\cdot\Delta Q\) (1.2.1) — und \(U\) wächst mit.
  • Proportionalität:\(U=\dfrac{Q}{C}\) wächst gleichmäßig mit der Ladung (1.3.1).
  • Endzustand:nur die letzte Portion läuft gegen die volle Spannung — im Mittel nur gegen die Hälfte.
Der Ladevorgang in drei Momentaufnahmen
0 2 4 6 8 10 U in V Schritt 1 — fast leer + − + − Q = 2 mC 2 V nächste Portion: wenig Energie Schritt 2 — halb voll + − + − + − + − + − Q = 5 mC 5 V nächste Portion: mehr Energie Schritt 3 — voll geladen + − + − + − + − + − + − + − + − Q = 8 mC 8 V nächste Portion: viel Energie Derselbe Kondensator (C = 1 mF) zu drei Zeitpunkten desselben Ladevorgangs. Die Spannung wächst gleichmäßig mit der Ladung — deshalb kostet jede weitere Portion mehr Energie als die vorige.

Unterschied zu 1.2.1: Dort bewegt sich eine Ladung in einem vorhandenen Feld (\(W=q\cdot U\)); hier wird das Feld erst aufgebaut.

Merke

Der Faktor ½: Die Energie ist \(\tfrac12 QU\) und nicht \(QU\), weil die Spannung während des Ladens erst von null auf \(U\) anwächst. Gerechnet wird also mit der mittleren Spannung.

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Energie als Fläche im U-Q-Diagramm

Das U-Q-Diagramm ist eine Ursprungsgerade. Die Energie ist die Fläche darunter — ein Dreieck: \(W=\tfrac12\cdot Q\cdot U\).

Dreieck oder Rechteck — woher der Faktor ½ kommt
richtig: die Fläche unter der Geraden Spannung Ladung U Q Fläche = Energie W = ½ · Q · U falsch gedacht: das ganze Rechteck Spannung Ladung U Q diese Hälfte gab es nie W = Q · U — doppelt so groß Beide Bilder zeigen denselben Ladevorgang — nur die markierte Fläche unterscheidet sich.
  • Warum Fläche:jede Portion \(U\cdot\Delta Q\) ist ein schmaler Streifen; alle Streifen ergeben die Fläche (wie \(Q\) unter der \(I\)-\(t\)-Kurve, 1.3.4).
  • Einheit:\(1\,\mathrm{V\cdot C}=1\,\mathrm J\).
  • Häufiger Fehler:das Rechteck \(Q\cdot U\) ist doppelt so groß — falsch.
  • Gilt allgemein:für jeden Kondensator, da nur die Geradenform eingeht.

Der Ladevorgang in Portionen: Die orange Treppe rechnet jede Portion mit der Spannung an ihrem Ende dieser Portion herrscht. So entsteht die orange Treppe über der Geraden. Mit mehr Portionen nähert sich die Treppenfläche der violetten Dreiecksfläche an.

Von der Treppe zum Dreieck

Kondensator mit \(C=1{,}0\,\mathrm{mF}\). Der rote Punkt markiert den aktuellen Ladezustand auf der Geraden.

2 4 6 8 10 2 4 6 8 U in V Q in mC Treppe aus 2 Portionen Dreieck = ½·Q·U
Spannung U
6,0 V
Ladung Q
6,0 mC
Treppe (Portionen)
27,0 mJ
Dreieck ½·Q·U
18,0 mJ

Eine Portion ergibt das Rechteck \(Q\cdot U\); bei \(n\) Portionen ist die Treppe um den Faktor \(1+\tfrac1n\) zu groß. Im Grenzfall bleibt das Dreieck — der Faktor ½ ist berechnet.

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Die drei Formen der Energieformel anwenden

Aus \(W=\tfrac12\,Q\,U\) entstehen durch Einsetzen zwei weitere Formen:

Herleitung:

\(W=\tfrac12\,Q\,U\)
| \(Q=C\,U\)
Die Fläche im \(U\)-\(Q\)-Diagramm.
\(W=\tfrac12\,C\,U^{2}\)
| \(U=\tfrac{Q}{C}\)
Ladung durch Kapazität und Spannung ersetzt (1.3.1).
\(W=\dfrac{Q^{2}}{2\,C}\)
Ergebnis
Drei gleichwertige Formen — je nachdem, was gegeben ist.
Formel

Energie eines Kondensators

\(W=\tfrac12\,C\,U^{2}=\tfrac12\,Q\,U=\dfrac{Q^{2}}{2C}\)
drei gleichwertige Formen — je nachdem, was gegeben ist  ·  \([W]=1\,\mathrm J=1\,\mathrm{F\cdot V^{2}}=1\,\mathrm{C\cdot V}\)
Die passende Form nach den gegebenen Größen wählen
gegebenpassende Formtypische Situation
C und U\(W=\tfrac12\,C\,U^{2}\)Bauteil mit aufgedruckter Kapazität an bekannter Spannung
Q und U\(W=\tfrac12\,Q\,U\)Ladung und Spannung wurden gemessen
Q und C\(W=\dfrac{Q^{2}}{2C}\)Die Ladung ist bekannt, die Spannung nicht
Stufe 1 — vollständig vorgerechnet

C und U gegeben

Ein Elektrolytkondensator \(C=470\,\mu\mathrm F\) liegt an \(U=9{,}0\,\mathrm V\). Wie viel Energie ist gespeichert?

Formel\(W=\tfrac12\,C\,U^{2}\) — gegeben sind Kapazität und Spannung.
Einheiten\(470\,\mu\mathrm F=470\cdot10^{-6}\,\mathrm F\); die Spannung steht schon in Volt.
Einsetzen\(W=\tfrac12\cdot470\cdot10^{-6}\,\mathrm F\cdot(9{,}0\,\mathrm V)^{2}\)
Ergebnis\(W\approx1{,}9\cdot10^{-2}\,\mathrm J=19\,\mathrm{mJ}\)
Stufe 2 — Zwischenschritte teilweise offen

Q und C gegeben, U unbekannt

Ein Kondensator \(C=100\,\mu\mathrm F\) trägt die Ladung \(Q=4{,}7\,\mathrm{mC}\). Die Spannung wurde nicht gemessen.

Formel\(W=\dfrac{Q^{2}}{2C}\) — die einzige Form ohne \(U\).
Einheiten\(Q=4{,}7\cdot10^{-3}\,\mathrm C\), \(C=1{,}00\cdot10^{-4}\,\mathrm F\).
Einsetzen\(W=\dfrac{(4{,}7\cdot10^{-3})^{2}}{2\cdot1{,}00\cdot10^{-4}}\,\mathrm J=\;?\)
Ergebnis\(W\approx0{,}11\,\mathrm J=110\,\mathrm{mJ}\)  — zur Kontrolle: \(U=\dfrac{Q}{C}=47\,\mathrm V\) und \(\tfrac12 QU\) liefert denselben Wert.
Stufe 3 — selbst rechnen

Q und U gegeben

An einem Kondensator wurden \(Q=1{,}2\,\mathrm{mC}\) und \(U=25\,\mathrm V\) gemessen. Bestimme die gespeicherte Energie und zusätzlich die Kapazität.

WegSuche in der Tabelle die Form, die genau diese beiden Größen enthält, rechne in Grundeinheiten und nutze anschließend \(C=\dfrac{Q}{U}\) als zweite Angabe.
Lösung anzeigen

\(W=\tfrac12\,Q\,U=\tfrac12\cdot1{,}2\cdot10^{-3}\,\mathrm C\cdot25\,\mathrm V=1{,}5\cdot10^{-2}\,\mathrm J=15\,\mathrm{mJ}\).
\(C=\dfrac{Q}{U}=\dfrac{1{,}2\cdot10^{-3}\,\mathrm C}{25\,\mathrm V}=4{,}8\cdot10^{-5}\,\mathrm F=48\,\mu\mathrm F\). Gegenprobe mit \(W=\tfrac12 CU^{2}\): \(\tfrac12\cdot4{,}8\cdot10^{-5}\cdot625\,\mathrm J=1{,}5\cdot10^{-2}\,\mathrm J\) ✓

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Warum die Energie dem Feld gehört

Genauer: Die Energie steckt im Feld. Das zeigt eine Umformung von \(W=\tfrac12\,C\,U^{2}\):

Herleitung:

\(W=\tfrac12\,C\,U^{2}\)
| \(C,\ U\) einsetzen
Ausgangspunkt ist die Bauteil-Formel.
\(W=\tfrac12\,\varepsilon_0\dfrac{A}{d}\,(E\cdot d)^{2}\)
| kürzen
\(C=\varepsilon_0\tfrac{A}{d}\) (1.3.1) und \(U=E\cdot d\) (1.2.2).
\(W=\tfrac12\,\varepsilon_0\,E^{2}\cdot A\cdot d\)
| : \(V\)
Ein \(d\) kürzt sich heraus.
\(w=\dfrac{W}{V}=\tfrac12\,\varepsilon_0\,E^{2}\)
Ergebnis
\(V=A\cdot d\) ist der Raum zwischen den Platten — die Energie steckt im Feld.
Von der Bauteilformel zur Feldformel — zwei Einsetzschritte
Bauteil-Sicht — was auf dem Bauteil steht W = ½ · C · U² W = ½ · ε₀ · Ad · (E · d)² W = ½ · ε₀ · E² · A · d Schritt 1 — einsetzen C = ε₀ · Ad aus 1.3.1 und U = E · d aus 1.2.2 Schritt 2 — kürzen d² im Zähler gegen d im Nenner: ein d bleibt übrig. Feldraum d Plattenfläche A, Abstand d A · d ist das Volumen zwischen den Platten
Übrig bleiben nur Feldstärke und Volumen \(V=A\cdot d\).
Formel

Energiedichte des elektrischen Feldes

\(w=\dfrac{W}{V}=\tfrac12\,\varepsilon_0\,E^{2}\)
\(W=w\cdot V=\tfrac12\,\varepsilon_0\,E^{2}\cdot A\cdot d\)
\(w\) ist die Energie pro Volumen, \([w]=1\,\mathrm{\dfrac{J}{m^{3}}}\)  ·  \(V=A\cdot d\) ist der Raum zwischen den Platten
  • Nur E zählt:\(w\) hängt nur von der Feldstärke ab, nicht von Bauteil oder Ladung.
  • Quadratisch:doppelte Feldstärke → vierfache Energiedichte.
Merke

Zwei Sichtweisen, ein Ergebnis: Zum Rechnen nimmt man \(W=\tfrac12\,C\,U^{2}\) — die Größen stehen auf dem Bauteil. Zum Verstehen nimmt man \(W=\tfrac12\,\varepsilon_0\,E^{2}\cdot A\cdot d\) — sie zeigt, dass das Feld selbst der Energieträger ist.

Bisher stehen zwei Rechenwege nebeneinander: der Bauteil-Weg über \(C\) und \(U\) und der Feld-Weg über \(E\) und das Volumen. Im folgenden Applet laufen beide Wege gleichzeitig mit — die beiden Ergebniszahlen unten stimmen dabei immer überein, egal wie die Einstellungen aussehen.

Zwei Wege, ein Ergebnis

Luft zwischen den Platten, also \(\varepsilon_\mathrm{r}=1\). Die Zahl der Feldlinien wächst mit der Feldstärke, die Färbung des Zwischenraums mit der Energiedichte.

+ + + + + + + − − − − − − − d A
Bauteil-Sicht
\(C=\varepsilon_0\cdot\dfrac{A}{d}\)  =  443 pF
\(W=\tfrac{1}{2}\,C\,U^{2}\)
55,3 µJ
Feld-Sicht
\(E=\dfrac{U}{d}\)  =  250 kV/m
\(w=\tfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,E^{2}\)  =  0,277 J/m³
\(W=w\cdot A\cdot d\)  mit  200 cm³
55,3 µJ

Halber Abstand bei fester Spannung: \(C\) doppelt; Energiedichte vierfach, Volumen halb — beides ergibt Faktor 2. Doppelte Spannung: Faktor 4.

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Kondensatoren im Einsatz

Jede Anwendung nutzt eine der vier Beziehungen \(W=\tfrac12 C U^{2}\), \(Q=C\cdot U\), \(\tau=R\cdot C\) oder \(C=\varepsilon_0\varepsilon_r\dfrac{A}{d}\). Ein Kondensator speichert wenig Energie, gibt sie aber sehr schnell ab.

Kondensator und Akku: wenig Energie, viel Leistung
Kondensator und Akku im Vergleich gespeicherte Energie je Kilogramm Kondensator rund 0,02Whkg Li-Ionen-Akku rund 200Whkg abrufbare Leistung je Kilogramm Kondensator bis 10 000Wkg Li-Ionen-Akku rund 1500Wkg Balkenlängen schematisch; Werte gerundet für Doppelschichtkondensatoren. Die beiden Diagramme haben unterschiedliche Maßstäbe.
  • Impulse:Blitz, Defibrillator — Energie in Millisekunden (\(W=\tfrac12 CU^2\)).
  • Glättung:im Netzteil laden in den Spitzen, abgeben in den Lücken (\(Q=C\,U\)); je größer \(C\), desto glatter.
  • Zeitglied:Treppenlicht, Blinker (\(\tau=R\,C\)).
  • Sensor:Touchscreen, Füllstand — Fläche, Abstand oder \(\varepsilon_r\) ändern \(C\).
Vier Aufgaben, vier Formeln
Energiespeicher langsam laden blitzartig abgeben Kamerablitz, Defibrillator, Rückgewinnung beim Bremsen W = ½ · C · U² Glättung ohne Kondensator mit Kondensator Der Kondensator lädt in den Spitzen und speist in den Lücken: Netzteil, Ladegerät Q = C · U Zeitglied τ Das Laden über einen Widerstand braucht Zeit: Treppenhauslicht, Blinker, Taster-Entprellung τ = R · C Sensor Finger verändert C Jede Änderung von A, d oder ε wird messbar: Touchscreen, Füllstand, Abstandsmessung C = ε₀ · εᵣ ·Ad
Wer die ausgenutzte Größe erkennt, kann die Funktion erklären.
Merke

Anwendung beschreiben: erst was das Bauteil tut, dann welche Beziehung dahintersteckt.

Beispiel

Defibrillator: Ein Kondensator mit \(C=100\,\mu\mathrm F\) wird über einige Sekunden auf \(U=2{,}7\,\mathrm{kV}\) geladen und speichert dabei \(W=\tfrac12 C U^{2}=\tfrac12\cdot1{,}00\cdot10^{-4}\,\mathrm F\cdot(2{,}7\cdot10^{3}\,\mathrm V)^{2}\approx3{,}6\cdot10^{2}\,\mathrm J\). Wenig Energie — entscheidend ist die Zeit: Der Impuls dauert nur rund \(10\,\mathrm{ms}\), die mittlere Leistung beträgt damit \(P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{360\,\mathrm J}{0{,}010\,\mathrm s}=36\,\mathrm{kW}\).

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Allgemeine Hinweise

Der Faktor ein Halb

\(W=\tfrac12 QU\) gilt, wenn das Feld erst aufgebaut wird — die Spannung wächst dabei mit. Für eine Ladung im schon vorhandenen Feld gilt dagegen \(W=q\,U\) ohne den Faktor \(\tfrac12\).

U geht quadratisch ein

In \(W=\tfrac12 CU^{2}\) vervierfacht doppelte Spannung die Energie, doppelte Kapazität verdoppelt sie nur. Und quadriert wird die ganze Spannung, nicht bloß der Vorfaktor.

Form nach Gegebenem wählen

Nimm die Form, die genau die zwei gegebenen Größen enthält — bei bekanntem \(Q\) und unbekanntem \(U\) also \(W=\dfrac{Q^{2}}{2C}\). Sind alle drei bekannt, ist die zweite Form eine kostenlose Gegenprobe.

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