AbituraufgabenAblenkung im Querfeld

In Flugrichtung (waagerecht) wirkt keine Kraft: Die Bewegung ist gleichförmig, das Elektron behält \(v_0\) bei und legt in gleichen Zeiten gleiche Strecken zurück. Quer dazu (senkrecht zu den Platten) wirkt die konstante elektrische Kraft \(F=e\,E\): Die Bewegung ist gleichmäßig beschleunigt aus der Ruhe, die Ablenkung wächst mit \(t^{2}\). Beide Teilbewegungen laufen unabhängig voneinander ab und sind nur über die gemeinsame Zeit verknüpft. Die Bahnkurve ist eine Parabel.

Eintrittsgeschwindigkeit: Aus \(\tfrac12 m v_0^{2}=e\,U_\text{B}\) folgt \(\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{2\,e\,U_\text{B}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 1500\,\mathrm V}{9{,}109\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=2{,}30\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).

Feldstärke: \(\displaystyle E=\frac{U_\text{A}}{d}=\frac{60\,\mathrm V}{0{,}010\,\mathrm m}=6{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\). Beschleunigung: \(\displaystyle a=\frac{e\,E}{m}=\frac{1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 6{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{V}{m}}}{9{,}109\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}=1{,}06\cdot 10^{15}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\). Flugzeit: \(\displaystyle t=\frac{l}{v_0}=\frac{0{,}040\,\mathrm m}{2{,}30\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}=1{,}74\cdot 10^{-9}\,\mathrm s\). Ablenkung: \(y=\tfrac12 a t^{2}=\tfrac12\cdot 1{,}06\cdot 10^{15}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\cdot\left(1{,}74\cdot 10^{-9}\,\mathrm s\right)^{2}=1{,}6\cdot 10^{-3}\,\mathrm m=1{,}6\,\mathrm{mm}\).

(Kontrolle über die zusammengefasste Formel \(y=\frac{U_\text{A}\,l^{2}}{4\,d\,U_\text{B}}=\frac{60\,\mathrm V\cdot(0{,}040\,\mathrm m)^{2}}{4\cdot 0{,}010\,\mathrm m\cdot 1500\,\mathrm V}=1{,}6\,\mathrm{mm}\).)

In M1 ist die obere Platte positiv, die untere negativ geladen; die Feldlinien zeigen also nach unten. Die Feldrichtung ist als Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung festgelegt. Das Elektron ist negativ geladen, die Kraft wirkt daher entgegen der Feldrichtung — nach oben, zur positiven Platte hin. Die Elektronen werden folglich nach oben abgelenkt.

Bei konstanter Beschleunigungsspannung treten alle Elektronen mit derselben Geschwindigkeit \(v_0\) ein. Damit sind auch Flugzeit \(t=\frac{l}{v_0}\), Beschleunigung \(a\) und Ablenkung \(y\) für jedes Elektron gleich; alle Elektronen verlassen das Feld unter demselben Winkel und treffen an derselben Stelle auf den Schirm. Der Leuchtfleck steht still, obwohl er von einem ständigen Strom einzelner Elektronen erzeugt wird.

Feldstärke: \(\displaystyle E=\frac{U}{d}=\frac{2000\,\mathrm V}{0{,}0020\,\mathrm m}=1{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\). Elektrische Kraft: \(F_\text{el}=q\,E=1{,}5\cdot 10^{-13}\,\mathrm C\cdot 1{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{V}{m}}=1{,}5\cdot 10^{-7}\,\mathrm N\). Gewichtskraft: \(F_\text{G}=m\,g=1{,}0\cdot 10^{-10}\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}=9{,}8\cdot 10^{-10}\,\mathrm N\).

Verhältnis: \(\displaystyle \frac{F_\text{el}}{F_\text{G}}\approx 150\). Die Gewichtskraft beträgt weniger als 1 % der elektrischen Kraft; sie darf für die Berechnung der Ablenkung vernachlässigt werden. (Anders als beim Elektron ist der Unterschied hier allerdings nicht mehr astronomisch groß — bei geringerer Ladung oder größeren Tröpfchen müsste man sie berücksichtigen.)

Beschleunigung: \(\displaystyle a=\frac{F_\text{el}}{m}=\frac{1{,}5\cdot 10^{-7}\,\mathrm N}{1{,}0\cdot 10^{-10}\,\mathrm{kg}}=1{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\). Flugzeit: \(\displaystyle t=\frac{l}{v_0}=\frac{0{,}015\,\mathrm m}{20\,\mathrm{\frac{m}{s}}}=7{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm s\). Ablenkung: \(y=\tfrac12 a t^{2}=\tfrac12\cdot 1{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\cdot\left(7{,}5\cdot 10^{-4}\,\mathrm s\right)^{2}=4{,}2\cdot 10^{-4}\,\mathrm m=0{,}42\,\mathrm{mm}\).

Austrittswinkel: \(\displaystyle \tan\alpha=\frac{a\,l}{v_0^{2}}=\frac{1{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\cdot 0{,}015\,\mathrm m}{\left(20\,\mathrm{\frac{m}{s}}\right)^{2}}=0{,}056\). Auftreffpunkt: \(Y=\left(\frac{l}{2}+L\right)\tan\alpha=(0{,}0075\,\mathrm m+0{,}020\,\mathrm m)\cdot 0{,}056=1{,}5\cdot 10^{-3}\,\mathrm m=1{,}5\,\mathrm{mm}\).

Die Ladung geht nur über die Beschleunigung \(a=\frac{qE}{m}\) ein; \(\tan\alpha=\frac{a\,l}{v_0^{2}}\) und damit auch \(Y=\left(\frac{l}{2}+L\right)\tan\alpha\) sind zu \(a\) und folglich zu \(q\) proportional, alle übrigen Größen (\(E,\,m,\,l,\,L,\,v_0\)) bleiben unverändert. Aus \(Y=1{,}5\,\mathrm{mm}\) bei \(q=1{,}5\cdot 10^{-13}\,\mathrm C\) folgt für \(Y'=3{,}0\,\mathrm{mm}\) die doppelte Ladung: \(q'=3{,}0\cdot 10^{-13}\,\mathrm C\). Die Ladeelektrode muss dem Tröpfchen also die doppelte Ladung geben — genau so steuert der Drucker die Zeilenposition.

Beschleunigung im Ablenkfeld: \(\displaystyle a=\frac{e\,E}{m}=\frac{e\,U_\text{A}}{m\,d}\). Energieansatz für die Eintrittsgeschwindigkeit: \(\tfrac12 m v_0^{2}=e\,U_\text{B}\;\Rightarrow\; v_0^{2}=\dfrac{2\,e\,U_\text{B}}{m}\).

Einsetzen: \(\displaystyle \tan\alpha=\frac{a\,l}{v_0^{2}}=\frac{e\,U_\text{A}\,l}{m\,d}\cdot\frac{m}{2\,e\,U_\text{B}}=\frac{l\,U_\text{A}}{2\,d\,U_\text{B}}\). Mit \(Y=\left(\frac{l}{2}+L\right)\tan\alpha\) folgt \(\displaystyle Y=\left(\frac{l}{2}+L\right)\cdot\frac{l\,U_\text{A}}{2\,d\,U_\text{B}}\).

Nach a) ist \(Y\) bei fester Beschleunigungsspannung proportional zu \(U_\text{A}\); der Graph muss eine Ursprungsgerade sein. Die Quotienten \(\frac{Y}{U_\text{A}}\) betragen \(0{,}0110\); \(0{,}0115\); \(0{,}0113\); \(0{,}0115\,\mathrm{\frac{cm}{V}}\) — im Rahmen der Ablesegenauigkeit konstant, die Messpunkte liegen in M2 nahezu auf einer Ursprungsgeraden. Die Messung ist mit der Beziehung verträglich.

Ausgleichsgerade durch den Ursprung; Steigungsdreieck z. B. bis \(U_\text{A}=400\,\mathrm V\), \(Y\approx 4{,}6\,\mathrm{cm}\): \(\displaystyle k=\frac{\Delta Y}{\Delta U_\text{A}}\approx\frac{4{,}6\,\mathrm{cm}}{400\,\mathrm V}=0{,}0115\,\mathrm{\frac{cm}{V}}\) (Toleranz: \(0{,}011\) bis \(0{,}012\,\mathrm{\frac{cm}{V}}\)).

Nach a) gilt \(\displaystyle k=\left(\frac{l}{2}+L\right)\frac{l}{2\,d\,U_\text{B}}\), also \(\displaystyle U_\text{B}=\left(\frac{l}{2}+L\right)\frac{l}{2\,d\,k}\). Mit \(k=0{,}0115\,\mathrm{\frac{cm}{V}}=1{,}15\cdot 10^{-4}\,\mathrm{\frac{m}{V}}\): \(\displaystyle U_\text{B}=(0{,}025\,\mathrm m+0{,}15\,\mathrm m)\cdot\frac{0{,}050\,\mathrm m}{2\cdot 0{,}020\,\mathrm m\cdot 1{,}15\cdot 10^{-4}\,\mathrm{\frac{m}{V}}}=1{,}9\cdot 10^{3}\,\mathrm V\).

Vergleich: Der Messwert \(1{,}9\,\mathrm{kV}\) liegt etwa 5 % unter dem eingestellten Wert \(2{,}0\,\mathrm{kV}\). Die Abweichung ist klein und erklärbar (Ablesegenauigkeit auf dem Schirm, Randfelder an den Plattenenden, die die wirksame Plattenlänge vergrößern, Anzeigegenauigkeit des Netzgeräts); Messung und Modell passen gut zusammen.

Die Behauptung ist falsch. In der Beziehung aus a) kommen weder \(e\) noch \(m\) vor: Die Beschleunigung ist proportional zu \(\frac{e}{m}\), das Quadrat der Eintrittsgeschwindigkeit aber ebenfalls — im Quotienten \(\frac{a\,l}{v_0^{2}}\) kürzt sich die spezifische Ladung heraus. Die Schirmablenkung hängt nur von den Spannungen und den Abmessungen der Röhre ab; jedes Teilchen mit beliebiger Ladung und Masse würde bei gleichen Spannungen dieselbe Ablenkung zeigen. Aus dieser Messung lässt sich \(\frac{e}{m}\) daher grundsätzlich nicht bestimmen. Dazu wäre eine zusätzliche, unabhängige Messung nötig, etwa der Eintrittsgeschwindigkeit \(v_0\) selbst.

Elektron: \(\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{2\,e\,U_\text{B}}{m_\text{e}}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 1000\,\mathrm V}{9{,}109\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=1{,}88\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\); \(\displaystyle t=\frac{l}{v_0}=\frac{0{,}050\,\mathrm m}{1{,}88\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}=2{,}7\cdot 10^{-9}\,\mathrm s=2{,}7\,\mathrm{ns}\).

Helium-Ion: \(\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{2\,e\,U_\text{B}}{m_\text{He}}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 1000\,\mathrm V}{6{,}64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}}=2{,}20\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\); \(\displaystyle t=\frac{0{,}050\,\mathrm m}{2{,}20\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}}=2{,}3\cdot 10^{-7}\,\mathrm s=230\,\mathrm{ns}\). Die Ionen sind etwa 85-mal langsamer und brauchen entsprechend 85-mal länger.

In \(y=\frac{U_\text{A}\,l^{2}}{4\,d\,U_\text{B}}\) kommen weder Masse noch Ladung des Teilchens vor; die Ablenkung hängt nur von den Spannungen und den Abmessungen ab. Für beide Teilchenarten ergibt sich derselbe Wert: \(\displaystyle y=\frac{100\,\mathrm V\cdot(0{,}050\,\mathrm m)^{2}}{4\cdot 0{,}020\,\mathrm m\cdot 1000\,\mathrm V}=3{,}1\cdot 10^{-3}\,\mathrm m=3{,}1\,\mathrm{mm}\).

Richtung: In M1 ist die obere Platte positiv, die Feldlinien zeigen nach unten. Das negative Elektron erfährt eine Kraft entgegen der Feldrichtung und wird nach oben abgelenkt; das positive Helium-Ion erfährt eine Kraft in Feldrichtung und wird nach unten abgelenkt.

Die Ablenkung ist \(y=\tfrac12 a t^{2}\). Die Beschleunigung \(a=\frac{eE}{m}\) ist bei gleicher Kraft \(eE\) umgekehrt proportional zur Masse: Für das Helium-Ion ist sie um den Faktor \(\frac{m_\text{He}}{m_\text{e}}\approx 7300\) kleiner. Die Flugzeit ist 85-mal länger, das Quadrat der Flugzeit also um \(85^{2}\approx 7300\) größer. Beide Effekte heben sich exakt auf — kein Zufall: Die längere Flugzeit kommt aus derselben Masse, die die Beschleunigung verkleinert, denn bei gleicher Beschleunigungsspannung erhält das schwerere Teilchen dieselbe kinetische Energie, aber die kleinere Geschwindigkeit \(v_0\propto\frac{1}{\sqrt m}\).

Die Aussage ist im Kern richtig. Bei fester Eintrittsgeschwindigkeit gilt \(y=\tfrac12 a t^{2}=\frac{e\,U_\text{A}\,l^{2}}{2\,m\,d\,v_0^{2}}\); Flugzeit und Feldkraft sind dann für beide Teilchen gleich, und die Ablenkung ist umgekehrt proportional zur Masse. Das Helium-Ion würde also um den Faktor \(\frac{m_\text{He}}{m_\text{e}}\approx 7300\) schwächer abgelenkt — statt 3,1 mm nur etwa \(0{,}4\,\mathrm{\mu m}\).

Einschränkend ist anzumerken, dass sich die Bedingung praktisch kaum herstellen lässt: Um \(v_0=1{,}88\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) zu erreichen, müssten die Ionen mit \(U_\text{B}=\frac{m_\text{He}\,v_0^{2}}{2e}\approx 7{,}3\,\mathrm{MV}\) beschleunigt werden. Die Aussage ist physikalisch korrekt, beschreibt aber ein Gedankenexperiment. Sie macht deutlich, dass die Massenunabhängigkeit aus b) nur für gleiche Beschleunigungsspannung gilt, nicht für gleiche Geschwindigkeit.

Aussage 1 ist falsch. Richtig ist, dass die Kraft \(F=eE\) beim Eintritt senkrecht zur Flugrichtung steht. Sie behält aber im homogenen Feld stets dieselbe Richtung (senkrecht zu den Platten) bei, während das Elektron mit wachsender Quergeschwindigkeit immer schräger fliegt — Kraft und Bewegungsrichtung schließen also einen immer kleineren Winkel ein. Eine Kreisbahn würde eine Kraft erfordern, die zu jedem Zeitpunkt senkrecht zur momentanen Geschwindigkeit steht. Die Bahn ist stattdessen eine Parabel: Überlagerung einer gleichförmigen Bewegung längs und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung quer zu den Platten.

Aussage 2 ist falsch. Hinter den Platten ist der Raum feldfrei, auf das Elektron wirkt keine Kraft mehr. Nach dem Trägheitsprinzip behält es die Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung bei, die es am Plattenende hat, und bewegt sich geradlinig bis zum Schirm. Richtig ist lediglich, dass die Bahn insgesamt weiter von der Achse wegläuft — aber als Gerade in Richtung des Austrittswinkels \(\alpha\), nicht als Fortsetzung der Parabel.

Ausgangswert: \(Y=\left(\frac{l}{2}+L\right)\tan\alpha=(2{,}5\,\mathrm{cm}+15\,\mathrm{cm})\tan\alpha=17{,}5\,\mathrm{cm}\cdot\tan\alpha\).

Leons Vorschlag (\(l\to 2l\)): Es gilt \(\tan\alpha=\frac{l\,U_\text{A}}{2\,d\,U_\text{B}}\propto l\), der Austrittswinkel verdoppelt sich also. Zusätzlich wächst der Hebelarm: \(Y'=\left(5{,}0\,\mathrm{cm}+15\,\mathrm{cm}\right)\cdot 2\tan\alpha=40\,\mathrm{cm}\cdot\tan\alpha\) — das ist das 2,3-Fache des Ausgangswerts. Dagegen spricht: Die Ablenkung am Plattenende wächst mit \(l^{2}\), also auf das Vierfache; bei großen Spannungen prallt das Elektron auf die Platte, der nutzbare Spannungsbereich schrumpft. Außerdem wird die Röhre länger, und bei schnell wechselnden Spannungen macht sich die längere Verweildauer im Feld bemerkbar.

Aylins Vorschlag (\(L\to 2L\)): Der Austrittswinkel bleibt gleich, nur der Hebel wächst: \(Y''=\left(2{,}5\,\mathrm{cm}+30\,\mathrm{cm}\right)\tan\alpha=32{,}5\,\mathrm{cm}\cdot\tan\alpha\), das 1,9-Fache. Vorteil: Zwischen den Platten ändert sich nichts, kein Elektron geht verloren, der Spannungsbereich bleibt erhalten. Nachteil: Die Röhre wird deutlich länger (Baugröße), und der Leuchtfleck wird bei größerem Abstand tendenziell unschärfer.

Fazit: Leons Vorschlag bringt den größeren Gewinn (2,3-fach gegenüber 1,9-fach), verkleinert aber den nutzbaren Spannungsbereich; Aylins Vorschlag ist physikalisch unproblematisch, kostet aber Baulänge. Welcher Weg besser ist, hängt vom Einsatzzweck ab — bei begrenztem Platz ist die längere Platte vorzuziehen, bei großem Spannungsbereich der längere Schirmabstand.