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Ablenkung im Querfeld

Quer eingeschossene Ladungen fliegen auf einer Parabel: Die Bewegung zerfällt in einen gleichförmigen und einen beschleunigten Anteil.

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Der waagerechte Wurf als Vorbild

Ein Elektron fliegt quer in ein homogenes Feld. Es bewegt sich wie ein waagerecht geworfener Stein — man zerlegt die Bewegung in zwei Richtungen.

  • In Flugrichtung:keine Kraft → gleichförmig: \(x=v_0\,t\)
  • Quer dazu:konstante Kraft \(F=e\,E\) mit \(E=\dfrac{U_A}{d}\) (1.2.2) → gleichmäßig beschleunigt: \(y=\tfrac12\,a\,t^{2}\). \(U_A\) heißt Ablenkspannung.
  • Beschleunigung:\(a=\dfrac{e\,E}{m}=\dfrac{e\,U_A}{m\,d}\) (1.2.4)
  • Richtung:das Elektron wird zur Plusplatte abgelenkt.
  • Unabhängigkeit:beide Bewegungen stören sich nicht, sie teilen nur die Zeit \(t\).
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Warum eine Parabel entsteht

\(x\) und \(y\) hängen beide von \(t\) ab. Wirft man \(t\) hinaus, bleibt eine Gleichung für die Bahn.

Herleitung:

\(x=v_0\,t\)
| : \(v_0\)
Die Bewegung in Flugrichtung.
\(t=\dfrac{x}{v_0}\)
| in \(y=\tfrac12 a t^{2}\) einsetzen
Nach der Zeit umgestellt.
\(y=\tfrac12\,a\left(\dfrac{x}{v_0}\right)^{2}\)
| Klammer quadrieren
Die Zeit ist verschwunden.
\(y=\dfrac{a}{2\,v_0^{2}}\,x^{2}\)
Ergebnis
\(y\sim x^{2}\) — die Bahn ist eine Parabel.
Merke

Bahnkurve im Querfeld: \(y=\dfrac{a}{2\,v_0^{2}}\,x^{2}\)

Eine Uhr, drei Ansichten: oben nur die x-Bewegung, links nur die y-Bewegung, in der Mitte die Bahn. Der Schieber stellt die Zeit ein.

Bewegungs-Zerleger

Der obere Punkt rückt gleichmäßig weiter, während der linke Punkt immer größere Sprünge macht.

nur waagerecht: x = v₀ · t nur quer: y = ½ · a · t² Beide Punkte gehorchen derselben Uhr — nur die Vorschrift ist verschieden.
Zeit t
0 %
Weg x
0 %
Ablenkung y
0 %
y : x
—

Startpunkt: Beide Teilbewegungen beginnen gleichzeitig bei null.

Halte fest: Nach der halben Flugzeit: halbe Strecke, aber erst ein Viertel der Ablenkung — deshalb eine Parabel.

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Die Ablenkung am Plattenende

Am Plattenende hört das Feld auf. Gesucht ist die Ablenkung \(y\) nach der Plattenlänge \(l\).

Zwischen den Platten: Feld, Kraft und Ablenkung
Feld nach unten — Kraft auf das Elektron nach oben + − UA E v₀ d − F = e·E y l Die Kraft wirkt entgegen den Feldlinien — das Elektron ist negativ.
  • Flugzeit:\(t=\dfrac{l}{v_0}\) — allein aus der Bewegung in Flugrichtung.

Herleitung:

\(y=\tfrac12\,a\,t^{2}\)
| \(a\) und \(t\) einsetzen
Die Querbewegung aus Phase 1.
\(y=\tfrac12\cdot\dfrac{e\,U_A}{m\,d}\cdot\dfrac{l^{2}}{v_0^{2}}\)
| auf einen Bruchstrich
\(a=\tfrac{e\,U_A}{m\,d}\) und \(t=\tfrac{l}{v_0}\) eingesetzt.
\(y=\dfrac{e\,U_A\,l^{2}}{2\,m\,d\,v_0^{2}}\)
Ergebnis
\(y\sim U_A\), aber \(y\sim l^{2}\) und \(y\sim\tfrac{1}{v_0^{2}}\).
Merke

Ablenkung am Plattenende: \(y=\dfrac{e\,U_A\,l^{2}}{2\,m\,d\,v_0^{2}}\)

Ablenkung berechnen

Ein Elektron tritt mit \(v_0=2{,}65\cdot10^{7}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\) waagerecht ein. Die Platten sind \(l=4{,}0\,\mathrm{cm}\) lang, haben den Abstand \(d=2{,}0\,\mathrm{cm}\) und liegen an \(U_A=200\,\mathrm V\).

Feldstärke\(E=\dfrac{U_A}{d}=\dfrac{200}{0{,}020}=1{,}0\cdot10^{4}\,\mathrm{\tfrac{V}{m}}\)
Beschleunigung\(a=\dfrac{e\,E}{m}=\dfrac{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot1{,}0\cdot10^{4}}{9{,}11\cdot10^{-31}}\approx1{,}76\cdot10^{15}\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\)
Flugzeit\(t=\dfrac{l}{v_0}=\dfrac{0{,}040}{2{,}65\cdot10^{7}}\approx1{,}51\cdot10^{-9}\,\mathrm s\)
Ablenkung\(y=\tfrac12 a\,t^{2}=\tfrac12\cdot1{,}76\cdot10^{15}\cdot(1{,}51\cdot10^{-9})^{2}\approx2{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm m=2{,}0\,\mathrm{mm}\)
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Der Leuchtfleck auf dem Schirm

Hinter den Platten wirkt keine Kraft mehr: Das Elektron fliegt geradlinig weiter bis zum Schirm im Abstand \(L\).

  • Quergeschwindigkeit:am Plattenende \(v_y=a\,t\)
  • Winkel:\(\tan\alpha=\dfrac{v_y}{v_0}=\dfrac{a\,l}{v_0^{2}}\)
  • Gerades Stück:auf der Strecke \(L\) kommt \(L\cdot\tan\alpha\) dazu: \(Y=y+L\,\tan\alpha\)

Herleitung:

\(y=\dfrac{a\,l^{2}}{2\,v_0^{2}}\)
| ein \(l\) abspalten
Die Ablenkung am Plattenende (Phase 3, mit \(a\)).
\(y=\dfrac{l}{2}\cdot\dfrac{a\,l}{v_0^{2}}\)
| \(\tan\alpha\) einsetzen
\(l^{2}=l\cdot l\) aufgeteilt.
\(y=\dfrac{l}{2}\,\tan\alpha\)
| in \(Y=y+L\tan\alpha\)
Der zweite Faktor ist genau \(\tan\alpha\).
\(Y=\dfrac{l}{2}\,\tan\alpha+L\,\tan\alpha\)
| \(\tan\alpha\) ausklammern
\(y\) ersetzt.
\(Y=\left(\dfrac{l}{2}+L\right)\tan\alpha\)
Ergebnis
Der Strahl kommt scheinbar aus der Plattenmitte.
Die Ablenkröhre mit allen Maßen
Im Feld eine Parabel — hinter den Platten eine Gerade d v₀ + − Plattenmitte − α y Schirm Y l L Die Rückwärtsverlängerung der Geraden trifft die Achse genau in der Plattenmitte.
Merke

Ablenkung auf dem Schirm: \(Y=\left(\dfrac{l}{2}+L\right)\tan\alpha\)

Vom Plattenende bis zum Schirm

Fortsetzung des Beispiels: \(a=1{,}76\cdot10^{15}\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\), \(t=1{,}51\cdot10^{-9}\,\mathrm s\), \(v_0=2{,}65\cdot10^{7}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\), \(l=4{,}0\,\mathrm{cm}\), Schirmabstand \(L=20\,\mathrm{cm}\).

Quergeschwindigkeit\(v_y=a\,t=1{,}76\cdot10^{15}\cdot1{,}51\cdot10^{-9}\approx2{,}66\cdot10^{6}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\)
Ablenkwinkel\(\tan\alpha=\dfrac{v_y}{v_0}=\dfrac{2{,}66\cdot10^{6}}{2{,}65\cdot10^{7}}\approx0{,}100\;\Rightarrow\;\alpha\approx5{,}7^\circ\)
Schirmablenkung\(Y=\left(\dfrac{l}{2}+L\right)\tan\alpha=(0{,}020+0{,}200)\cdot0{,}100\)
Ergebnis\(Y\approx2{,}2\cdot10^{-2}\,\mathrm m=2{,}2\,\mathrm{cm}\) — das Elffache der Ablenkung am Plattenende.

Verändere Ablenkspannung, Eintrittsgeschwindigkeit und Plattenlänge. Die Röhre ist maßstabsgetreu gezeichnet.

Ablenkröhre

Achtung: Bei zu großer Ablenkung prallt das Elektron auf die Platte.

Maßstab 1 cm = 20 Punkte — waagerecht wie senkrecht gleich + − d = 2,0 cm l L = 20 cm Schirm −
Feldstärke E
10,0 kV/m
Beschl. a
1,76·10¹⁵
Flugzeit t
1,51 ns
Ablenkung y
2,0 mm
Winkel α
5,7°
Auf dem Schirm Y
2,2 cm
Aus 2,0 mm am Plattenende werden 2,2 cm auf dem Schirm — der Hebel beträgt Faktor 11.

Voreinstellung: Ablenkspannung 200 V, v₀ = 2,65·10⁷ m/s, l = 4,0 cm. Das ist genau das Rechenbeispiel von oben.

Halte fest: Doppelte Ablenkspannung → doppeltes \(y\); halbes \(v_0\) → vierfaches \(y\). Sichtbar wird die Ablenkung erst auf dem entfernten Schirm.

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Allgemeine Hinweise

Kraft zeigt gegen die Feldlinien

Das Feld \(\vec E\) zeigt von der positiven zur negativen Platte, die Kraft auf das negative Elektron genau entgegengesetzt. Abgelenkt wird es also stets zur Plusplatte hin.

Flugzeit kommt aus x

Die Reihenfolge trägt die ganze Rechnung: \(E=\dfrac{U_A}{d}\), dann \(a=\dfrac{eE}{m}\), dann \(t=\dfrac{l}{v_0}\) allein aus der waagerechten Bewegung, erst zuletzt \(y=\tfrac12 a t^2\).

v₀ geht quadratisch ein

In \(y=\dfrac{e\,U_A\,l^{2}}{2\,m\,d\,v_0^{2}}\) wirkt \(U_A\) nur linear, \(v_0\) und \(l\) dagegen quadratisch: Halbes \(v_0\) vervierfacht die Ablenkung.

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