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Interaktive Übung: Endgeschwindigkeit im Feld

Ein Elektron startet an der Minusplatte: Wie schnell kommt es an der Plusplatte an — und was passiert, wenn es gegen das Feld fliegt?

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Übungsaufgaben

Die Aufgaben sind nach Anforderungsbereichen geordnet: Erst sitzen die Begriffe (AFB I), dann folgen die Rechnungen (AFB II), zuletzt Beurteilung und Fehlersuche (AFB III). Arbeite sie der Reihe nach durch.

1Der Energiesatz in WortenAFB I

Vervollständigen Sie den Text zur Beschleunigung längs der Feldlinien.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Längs der Feldlinien wirkt auf eine Ladung eine Kraft. Die Bewegung ist deshalb gleichmäßig beschleunigt — genau wie beim . Die vom Feld übertragene q · U wird vollständig in ½ m v² umgewandelt. Stellt man nach v um, steht die Spannung unter einer . Außerdem geht die des Teilchens ein: Bei derselben Spannung ist ein Proton viel langsamer als ein Elektron.

Der Text fasst den Energieweg zusammen: (q U = ½ m v²) für die Endgeschwindigkeit. Über den Energiesatz genügt allein die durchlaufene Spannung — Plattenabstand und Zeit werden nicht gebraucht.
2Aussagen prüfenAFB I

Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Zwei Aussagen zielen auf denselben Kern: Die Endgeschwindigkeit hängt nur von U, q und m ab, nicht vom Plattenabstand. Wer bei der Geschwindigkeitsaufgabe nach einem Abstand sucht, sucht vergeblich — er wird schlicht nicht gebraucht.
3Rechenweg ordnenAFB I

Bringen Sie die Schritte zur Berechnung einer Endgeschwindigkeit in die richtige Reihenfolge.

Verschiebe die Zeilen mit den Pfeilen (oder per Tastatur), bis die Reihenfolge stimmt, und prüfe dann.
1Gegebene Größen notieren: Spannung U sowie Ladung q und Masse m des Teilchens
2Energiesatz ansetzen: q · U = ½ m v²
3Nach der gesuchten Größe umstellen: v = √(2 q U ÷ m)
4Zahlenwerte in SI-Einheiten einsetzen (Coulomb, Volt, Kilogramm)
5Wurzel ziehen und das Ergebnis mit der Einheit \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) angeben
6Größenordnung prüfen: v muss deutlich unter 3 · 108 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) bleiben
Entscheidend ist Schritt 3 vor Schritt 4: Wer zuerst Zahlen einsetzt und dann umstellt, verrechnet sich beim Wurzelziehen deutlich häufiger. Der letzte Schritt ist kein Schmuck — kommt ein Wert nahe oder über der Lichtgeschwindigkeit heraus, steckt entweder ein Rechenfehler drin oder die klassische Formel reicht nicht mehr aus.
4Formel herleitenAFB II

Stellen Sie den Energiesatz \(q\,U=\tfrac12 m v^{2}\) Schritt für Schritt nach \(v\) um.

Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an — sie wandern nacheinander in die Plätze. „Neu“ leert den Bauplan.
Die drei Störbausteine sind die drei häufigsten Umformfehler. Besonders verräterisch ist „v = 2qU ÷ m“: Dort wurde die Wurzel einfach weggelassen, und das Ergebnis wäre um viele Zehnerpotenzen zu groß. Prüfen Sie am Ende immer die Einheit — 2qU÷m hat die Einheit \(\mathrm{\frac{m^{2}}{s^{2}}}\), erst die Wurzel liefert \(\mathrm{\frac{m}{s}}\).
5Endgeschwindigkeit berechnenAFB II

Ein Elektron wird aus der Ruhe durch \(U=1200\,\mathrm V\) beschleunigt (\(e=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm C\), \(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\)).

Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit in \(10^{6}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\).

Rechne mit v = √(2eU ÷ me) und trage nur die Zahl vor 106 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) ein (Komma oder Punkt ist egal).
Der Zähler ist 2 · 1,6 · 10−19 · 1200 = 3,84 · 10−16. Geteilt durch 9,11 · 10−31 ergibt das 4,2 · 1014 \(\mathrm{\frac{m^{2}}{s^{2}}}\); die Wurzel daraus ist 2,05 · 107 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) = 20,5 · 106 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\). Der klassische Stolperstein ist die Wurzel aus einer Zehnerpotenz: Der Exponent 14 wird halbiert, nicht die Zahl. Ein Ergebnis mit 107 statt 103,5 zeigt, dass Sie richtig gerechnet haben.
6Spannung für doppeltes TempoAFB II

Bei \(U=800\,\mathrm V\) erreicht ein Elektron \(16{,}8\cdot10^{6}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\). Es soll doppelt so schnell werden, also \(33{,}6\cdot10^{6}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\).

Bestimmen Sie die dafür nötige Beschleunigungsspannung.

Schalte die Kästchen so, dass ihre Summe genau der gesuchten Spannung entspricht.
0
Ziel: 3200 V
Weil v mit der Wurzel aus U wächst, gilt umgekehrt U ∝ v²: Doppelte Geschwindigkeit braucht die vierfache Spannung, also 4 · 800 V = 3200 V. Der typische Fehler ist die Verdopplung auf 1600 V — damit erreicht man nur den Faktor √2 ≈ 1,41. Kontrolle über die Energie: Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache Bewegungsenergie, und die Energie eU ist der Spannung direkt proportional.
7Ein Proton beschleunigenAFB II

Ein Proton (\(q=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm C\), \(m_p=1{,}673\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}\)) durchläuft aus der Ruhe \(U=500\,\mathrm V\).

Rechnen Sie Schritt für Schritt bis zum Vergleich mit dem Elektron.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Welche Energie überträgt das Feld? (q · U)10−17 J
  2. Wie groß ist v²? (2 · W ÷ mp)1010 \(\mathrm{\frac{m^{2}}{s^{2}}}\)
  3. Wie groß ist v? (Wurzel aus dem vorigen Wert)105 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\)
  4. Ein Elektron erreicht bei 500 V rund 1,33 · 107 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\). Um welchen Faktor ist es schneller?fach
Beide Teilchen bekommen dieselbe Energie von 8,0 · 10−17 J — die Ladungsbeträge sind gleich. Nur die Masse macht den Unterschied, und weil sie unter der Wurzel steht, wirkt sich der Massenfaktor 1836 als Geschwindigkeitsfaktor √1836 ≈ 43 aus. Genau deshalb kommen Protonenbeschleuniger mit Kilovolt nicht weit, während bereits eine Fernsehbildröhre Elektronen auf ein Zehntel der Lichtgeschwindigkeit brachte.
8Fehler im SchülerheftAFB II

Finden Sie die falschen Zeilen in diesem Heftauszug und klicken Sie sie an.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Alle drei Fehler entstehen aus derselben Verwechslung: Energie und Kraft werden durcheinandergebracht. Die Energie q U legt fest, wie schnell das Teilchen am Ende ist; die Kraft q E legt fest, wie schnell es dorthin kommt. Zieht man die Platten auseinander, sinkt die Feldstärke und damit die Beschleunigung — die Endgeschwindigkeit bleibt aber Volt für Volt dieselbe.
9Auf halber StreckeAFB II

Ein Elektron startet aus der Ruhe an der Minusplatte. Es gilt \(U=800\,\mathrm V\) und \(d=4{,}0\,\mathrm{cm}\) (\(e=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm C\), \(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\)).

Bestimmen Sie die Energiebilanz und die Geschwindigkeit nach der halben Strecke.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Welche Bewegungsenergie hat das Elektron bei \(s=2{,}0\,\mathrm{cm}\)? (Angabe in eV)eV
  2. Wie viel Energie steckt an dieser Stelle noch im Feld? (Angabe in eV)eV
  3. Welche Geschwindigkeit hat es dort? (Angabe in 106 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\))·106 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\)
  4. Die Endgeschwindigkeit beträgt 16,8·106 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\). Welchen Anteil davon hat das Elektron auf halber Strecke erreicht? (als Dezimalzahl)-fach
Die Energie teilt sich auf halber Strecke sauber in zwei gleiche Hälften — 400 eV Bewegung, 400 eV noch im Feld. Bei der Geschwindigkeit gilt das aber nicht: Wegen \(v=\sqrt{2W_{\mathrm{kin}}\div m}\) gehört zur halben Energie nur das \(\tfrac{1}{\sqrt2}\)-fache, also rund 71 % der Endgeschwindigkeit. Wer 8,4·106 \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) notiert, hat die Geschwindigkeit halbiert statt die Energie — ein Fehler, der sich in Klausuren zuverlässig wiederholt. Merkhilfe: Die zweite Hälfte der Strecke bringt viel weniger Tempo als die erste.
10Die zu langsame RöhreAFB III

In einer Beschleunigungsröhre sind 800 V eingestellt. Erwartet werden \(16{,}8\cdot10^{6}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\), gemessen werden aber nur \(8{,}4\cdot10^{6}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\).

Untersuchen Sie den Fall Schritt für Schritt.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Der Fall zeigt, wie stark der Wurzelzusammenhang Messfehler verkleinert: Eine auf ein Viertel eingebrochene Spannung fällt in der Geschwindigkeit nur als Halbierung auf. Umgekehrt heißt das für die Fehlersuche — schon eine scheinbar kleine Abweichung der Geschwindigkeit deutet auf eine erhebliche Abweichung der Spannung hin. Deshalb misst man in solchen Versuchen immer direkt an den Elektroden, nie am Drehknopf des Netzgeräts.
    11Gegen das Feld — wie weit kommt es?AFB III

    Ein Elektron mit der Bewegungsenergie \(W_{\mathrm{kin},0}=300\,\mathrm{eV}\) fliegt durch ein Loch in der Platte in einen Kondensator und läuft dort gegen die Feldkraft an. Es gilt \(U=500\,\mathrm V\) und \(d=5{,}0\,\mathrm{cm}\).

    Beurteilen Sie Schritt für Schritt, was mit dem Elektron geschieht.

    Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
      Der Fall ist das elektrische Gegenstück zum senkrechten Wurf: Der Stein steigt, bis seine Bewegungsenergie vollständig in Lageenergie umgewandelt ist, und fällt dann mit derselben Geschwindigkeit zurück. Beim Elektron übernimmt die Feldkraft q·E die Rolle der Gewichtskraft. Praktisch nutzt man genau das im Gegenfeldverfahren: Man erhöht die Gegenspannung so lange, bis kein Teilchen mehr die zweite Platte erreicht — dann ist die Anfangsenergie in Elektronenvolt gerade so groß wie die Spannung in Volt.