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Endgeschwindigkeit im Feld

Ein Elektron startet an der Minusplatte: Wie schnell kommt es an der Plusplatte an? Die Antwort liefert die Energiebilanz.

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Was mit dem Elektron passiert

Zwischen zwei geladenen Platten wirkt auf das Elektron überall dieselbe Kraft. Es wird deshalb auf dem ganzen Weg schneller — wie ein fallender Stein, nur viel stärker.

  • Kraft:\(F=q\,E\) mit \(E=\dfrac{U}{d}\) (1.2.2) — überall gleich groß.
  • Richtung:Elektron zur Plusplatte, positive Ladung in Feldrichtung.
  • Folge:das Elektron nimmt vom Feld Energie auf und wird immer schneller.
  • Gewichtskraft:rund \(10^{14}\)-mal kleiner als die Feldkraft — sie spielt keine Rolle.

Diese Seite klärt, wie schnell das Elektron an der Plusplatte ankommt. Wie lange der Flug dauert, folgt in 1.2.4.

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Endgeschwindigkeit mit dem Energiesatz

Im Vakuum wirkt nur das Feld. Die Energie, die es abgibt, steckt am Ende vollständig in der Bewegung des Elektrons.

  • Vorher:Elektron ruht an der Minusplatte: \(W_{\mathrm{kin}}=0\).
  • Energie vom Feld:beim Durchlaufen der Spannung \(U\) nimmt es \(W=q\,U\) auf (1.2.1).
  • Nachher:an der Plusplatte steckt diese Energie ganz in \(W_{\mathrm{kin}}=\tfrac12\,m\,v^{2}\).

Herleitung:

\(\textcolor{#2e5e1f}{q\,U}=\textcolor{#1f4e8c}{\tfrac12\,m\,v^{2}}\)
| · 2
Start: die Energie vom Feld ist am Ende ganz Bewegungsenergie.
\(\textcolor{#b3261e}{2}\,\textcolor{#2e5e1f}{q\,U}=\textcolor{#1f4e8c}{m\,v^{2}}\)
| : m
Beide Seiten mit 2 multiplizieren — der Bruch verschwindet.
\(\textcolor{#1f4e8c}{v^{2}}=\dfrac{\textcolor{#2e5e1f}{2\,q\,U}}{\textcolor{#b3261e}{m}}\)
| \(\sqrt{\phantom{x}}\)
Beide Seiten durch m teilen — v² steht allein.
\(\textcolor{#1f4e8c}{v}=\sqrt{\dfrac{\textcolor{#2e5e1f}{2\,q\,U}}{m}}\)
Ergebnis
Wurzel ziehen — fertig ist die Formel für die Geschwindigkeit.
  • Folgerung:Plattenabstand, Beschleunigung und Zeit kommen gar nicht vor.
Merke

Endgeschwindigkeit: \(v=\sqrt{\dfrac{2\,q\,U}{m}}\)

Endgeschwindigkeit über der Spannung: vierfache Spannung, doppelte Geschwindigkeit
Vierfache Spannung — doppelte Geschwindigkeit1001×4002×9003×16004×Beschleunigungsspannung U in VEndgeschwindigkeit vv ∝ √U0

Starte das Elektron: Grün ist die Energie, die es schon aufgenommen hat, violett der Rest, der noch im Feld steckt. Der Balken bleibt gleich lang — am Ziel ist alles grün, also \(\tfrac12 m v^{2}=q\,U\).

Energiebilanz im Kondensator

− + U = 500 V − + Umkehrpunkt − Bewegungsenergie Wkin = ½ m v² Energie im Feld Wpot = q · U 0 eV 500 eV
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Allgemeine Hinweise

Der Abstand ändert v nicht

Größeres \(d\) heißt schwächeres Feld, aber längerer Weg — die Energie \(q\,U\) bleibt gleich. Im Energiesatz \(qU=\tfrac12 mv^2\) taucht \(d\) gar nicht auf.

v wächst mit der Wurzel

Aus \(v=\sqrt{\dfrac{2qU}{m}}\) folgt: Vierfache Spannung gibt doppelte Geschwindigkeit, nicht vierfache.

Rechnen in Elektronenvolt

Bei einfach geladenen Teilchen gilt: Energie in eV = durchlaufene Spannung in V. Erst für \(v\) rechnet man in Joule um: \(1\,\mathrm{eV}=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm J\).

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