Die Elektronenstrahlröhre
AFB IIn einer Elektronenstrahlröhre treten Elektronen aus einer geheizten Katode praktisch mit der Geschwindigkeit null aus und werden zur Anode hin beschleunigt. Die Röhre ist evakuiert. Das Netzgerät des Schullabors liefert Anodenspannungen im Bereich aus Material M1; eingestellt sind zunächst \(U = 250\,\mathrm V\).
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\). Außerdem gilt \(1\,\mathrm{eV}=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm J\).
| Größe | Wert |
|---|---|
| Heizspannung | \(6{,}3\,\mathrm V\) |
| Anodenspannung | \(100\,\mathrm V\) bis \(300\,\mathrm V\) |
| Anzeige | Digital, Auflösung \(1\,\mathrm V\) |
- Berechnen Sie die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen von \(U = 250\,\mathrm V\) aufnimmt, in Elektronenvolt und in Joule.
- Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die Elektronen die Anode erreichen.
- Die Elektronen sollen die Anode mit \(v = 1{,}0\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) erreichen. Berechnen Sie die dafür nötige Anodenspannung und begründen Sie mit Material M1, ob sie sich mit dem Netzgerät einstellen lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(W=e\,U=1\,e\cdot 250\,\mathrm V=250\,\mathrm{eV}\). In Joule: \(W=250\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm J=4{,}0\cdot 10^{-17}\,\mathrm J\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Energiesatz: \(e\,U=\tfrac12 m_\text{e} v^{2}\), also \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\,e\,U}{m_\text{e}}}=\sqrt{\frac{2\cdot 4{,}0\cdot 10^{-17}\,\mathrm J}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}\approx 9{,}4\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\displaystyle U=\frac{m_\text{e}\,v^{2}}{2\,e}=\frac{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\cdot\left(1{,}0\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\right)^{2}}{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C}\approx 285\,\mathrm V\).
Nach M1 liefert das Netzgerät bis zu \(300\,\mathrm V\) — die Spannung von rund \(285\,\mathrm V\) lässt sich also einstellen, liegt aber nahe an der Obergrenze.
Proton und Alphateilchen
AFB IIEin Proton (\(q_\text{p}=e\), \(m_\text{p}=1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\)) und ein Alphateilchen (\(q_\alpha=2\,e\), \(m_\alpha=6{,}64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\)) werden jeweils aus der Ruhe durch dieselbe Spannung \(U = 2{,}0\,\mathrm{kV}\) beschleunigt. Die Anordnung ist evakuiert.
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\). Die Masse des Alphateilchens ist rund viermal so groß wie die des Protons.
- Berechnen Sie für beide Teilchen die aufgenommene Energie in keV.
- Berechnen Sie die Endgeschwindigkeiten beider Teilchen.
- Zeigen Sie allgemein, dass für das Verhältnis der Geschwindigkeiten \(\dfrac{v_\alpha}{v_\text{p}}=\dfrac{1}{\sqrt 2}\) gilt, und begründen Sie, warum das Alphateilchen trotz der größeren Energie langsamer ist.
- Das Alphateilchen soll genauso schnell werden wie das Proton. Ermitteln Sie die Spannung, die es dafür durchlaufen muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Proton: \(W_\text{p}=e\cdot 2{,}0\,\mathrm{kV}=2{,}0\,\mathrm{keV}\). Alphateilchen: \(W_\alpha=2e\cdot 2{,}0\,\mathrm{kV}=4{,}0\,\mathrm{keV}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\displaystyle v_\text{p}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2000\,\mathrm V}{1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}}\approx 6{,}2\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\), \(\displaystyle v_\alpha=\sqrt{\frac{2\cdot 3{,}2\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2000\,\mathrm V}{6{,}64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}}\approx 4{,}4\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\displaystyle \frac{v_\alpha}{v_\text{p}}=\sqrt{\frac{q_\alpha\,m_\text{p}}{q_\text{p}\,m_\alpha}}=\sqrt{\frac{2\,e\cdot m_\text{p}}{e\cdot 4\,m_\text{p}}}=\sqrt{\frac12}=\frac{1}{\sqrt2}\approx 0{,}71\). Kontrolle: \(4{,}4:6{,}2\approx 0{,}71\).
Das Alphateilchen erhält zwar die doppelte Energie, hat aber die vierfache Masse. Für dieselbe Bewegungsenergie \(\tfrac12 m v^{2}\) bedeutet die vierfache Masse eine halb so große Geschwindigkeit; die doppelte Energie gleicht davon nur den Faktor \(\sqrt2\) aus.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Gleiche Geschwindigkeit: \(\frac{2\cdot 2e\,U_\alpha}{4\,m_\text{p}}=\frac{2\,e\,U}{m_\text{p}}\), also \(U_\alpha=2\,U=4{,}0\,\mathrm{kV}\). Das Alphateilchen hat dann die Energie \(8{,}0\,\mathrm{keV}\) — viermal so viel wie das Proton, passend zur vierfachen Masse.
Elektronen im Gegenfeld
AFB IIElektronen treten mit der kinetischen Energie \(W_\text{kin,0} = 300\,\mathrm{eV}\) durch ein Gitter in ein Gegenfeld ein (Material M1). Zwischen dem Gitter und der Gegenplatte liegt die Spannung \(U_\text{G} = 400\,\mathrm V\) an, der Abstand beträgt \(d = 2{,}0\,\mathrm{cm}\). Das Feld ist homogen, die Anordnung ist evakuiert.
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\); \(1\,\mathrm{eV}=1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm J\).
- Begründen Sie anhand von Material M1, dass die Elektronen hinter dem Gitter abgebremst werden, und erläutern Sie mit der Energiebilanz, wie sich die Energie der Elektronen dabei umverteilt.
- Berechnen Sie die Eintrittsgeschwindigkeit der Elektronen und ermitteln Sie den Abstand vom Gitter, an dem sie umkehren.
- Die Gegenspannung wird auf \(U_\text{G}=250\,\mathrm V\) verringert. Entscheiden Sie begründet, ob die Elektronen nun die Gegenplatte erreichen, und berechnen Sie gegebenenfalls ihre Auftreffgeschwindigkeit.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
In M1 verlaufen die Feldlinien vom positiven Gitter zur negativen Gegenplatte, die Feldrichtung zeigt also nach rechts — in Bewegungsrichtung der Elektronen. Die Feldrichtung ist als Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung festgelegt; auf die negativ geladenen Elektronen wirkt die Kraft daher entgegen der Feldrichtung, also nach links, entgegen ihrer Bewegung. Die Elektronen werden abgebremst.
Energiebilanz: Beim Eintritt besitzen die Elektronen nur Bewegungsenergie \(W_\text{kin,0}\). Auf dem Weg gegen die Feldkraft gibt das Elektron Energie an das Feld ab; seine Bewegungsenergie nimmt ab, seine Lageenergie im Feld \(W_\text{pot}=e\,E\,s\) nimmt im gleichen Maß zu. Die Summe \(W_\text{kin}+W_\text{pot}=W_\text{kin,0}\) bleibt konstant. Ist die Bewegungsenergie vollständig in Lageenergie umgewandelt, kehrt das Elektron um und wird zurück zum Gitter beschleunigt, das es mit der Eintrittsgeschwindigkeit wieder verlässt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Eintrittsenergie: \(W_\text{kin,0}=300\,\mathrm{eV}=300\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm J=4{,}8\cdot 10^{-17}\,\mathrm J\). Geschwindigkeit: \(\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{2\,W_\text{kin,0}}{m_\text{e}}}=\sqrt{\frac{2\cdot 4{,}8\cdot 10^{-17}\,\mathrm J}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=1{,}0\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Feldstärke: \(\displaystyle E=\frac{U_\text{G}}{d}=\frac{400\,\mathrm V}{0{,}020\,\mathrm m}=2{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}\). Umkehrpunkt: \(e\,E\,s_\text{u}=W_\text{kin,0}\), also \(\displaystyle s_\text{u}=\frac{W_\text{kin,0}}{e\,E}=\frac{4{,}8\cdot 10^{-17}\,\mathrm J}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\cdot 2{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{V}{m}}}=0{,}015\,\mathrm m=1{,}5\,\mathrm{cm}\). (Gleichwertig: \(300\,\mathrm V\) von \(400\,\mathrm V\) entsprechen \(\tfrac34\) des Abstands.) Die Elektronen kehren \(1{,}5\,\mathrm{cm}\) hinter dem Gitter um, \(0{,}5\,\mathrm{cm}\) vor der Gegenplatte.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Bis zur Gegenplatte müssen die Elektronen jetzt nur noch \(250\,\mathrm V\) gegen das Feld durchlaufen, dafür wird die Energie \(e\cdot 250\,\mathrm V=250\,\mathrm{eV}\) benötigt. Die Eintrittsenergie \(300\,\mathrm{eV}\) ist größer — die Elektronen erreichen die Gegenplatte, es bleibt die Restenergie \(W_\text{kin}=300\,\mathrm{eV}-250\,\mathrm{eV}=50\,\mathrm{eV}=8{,}0\cdot 10^{-18}\,\mathrm J\).
Auftreffgeschwindigkeit: \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\cdot 8{,}0\cdot 10^{-18}\,\mathrm J}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=4{,}2\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Das ist deutlich weniger als die Hälfte von \(v_0\), obwohl nur ein Sechstel der Energie übrig ist: Wegen des Quadrats in \(\tfrac12 m v^{2}\) sinkt die Geschwindigkeit nur auf \(\sqrt{\tfrac16}\approx 41\,\%\).
Röntgenröhre im Schullabor
AFB IIIn einer Röntgenröhre werden Elektronen aus einer geheizten Katode im Vakuum auf eine Anode beschleunigt (Material M1). Beim Aufprall entsteht Röntgenstrahlung; der weitaus größte Teil der Elektronenenergie wird jedoch in der Anode in Wärme umgesetzt. Die Röhre wird mit der Beschleunigungsspannung \(U = 12\,\mathrm{kV}\) betrieben, der Abstand von Katode und Anode beträgt \(d = 2{,}0\,\mathrm{cm}\); das Feld dazwischen wird als homogen angenommen. Durch die Röhre fließt die Stromstärke \(I = 1{,}0\,\mathrm{mA}\).
Rechnen Sie nicht-relativistisch mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\), \(m_\text{e} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\) und \(m_\text{p} = 1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\).
- Berechnen Sie die kinetische Energie eines Elektrons beim Auftreffen auf die Anode in Elektronenvolt und in Joule sowie seine Auftreffgeschwindigkeit.
- Ein Praktikant schlägt vor, den Abstand von Katode und Anode auf \(4{,}0\,\mathrm{cm}\) zu verdoppeln, „damit die Elektronen länger beschleunigt werden und mit mehr Energie auftreffen“. Beurteilen Sie diesen Vorschlag.
- Ermitteln Sie die Anzahl der Elektronen, die pro Sekunde auf die Anode treffen, und die Leistung, die dort ankommt. Erläutern Sie damit, warum die Anode gekühlt werden muss.
- Ein Praktikant vermutet: „Würde man statt Elektronen Protonen mit derselben Spannung beschleunigen, träfen sie mit derselben Geschwindigkeit auf — schließlich tragen beide den gleichen Ladungsbetrag.“ Beurteilen Sie diese Vermutung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Energie: \(W_\text{kin}=e\,U=12\,\mathrm{keV}=12000\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm J=1{,}9\cdot 10^{-15}\,\mathrm J\).
Geschwindigkeit: \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\,W_\text{kin}}{m_\text{e}}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}92\cdot 10^{-15}\,\mathrm J}{9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=6{,}5\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) — etwa ein Fünftel der Lichtgeschwindigkeit; die nicht-relativistische Rechnung ist hier noch eine brauchbare Näherung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Auftreffenergie ist \(W=e\,U=12\,\mathrm{keV}\); sie hängt nur von der durchlaufenen Spannung ab, nicht vom Abstand. Bei doppeltem Abstand halbiert sich die Feldstärke \(E=\frac{U}{d}\) und damit die Beschleunigung — die Elektronen werden zwar länger, aber schwächer beschleunigt.
Beide Effekte heben sich auf: Energie und Auftreffgeschwindigkeit bleiben gleich, nur die Flugzeit wird länger. Der Vorschlag bringt also nichts. Um die Elektronen mit mehr Energie auftreffen zu lassen, muss die Beschleunigungsspannung erhöht werden.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Anzahl pro Sekunde: \(\displaystyle N=\frac{I\cdot 1\,\mathrm s}{e}=\frac{1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm C}{1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C}=6{,}3\cdot 10^{15}\) Elektronen pro Sekunde.
Leistung: \(P=N\cdot W_\text{kin}=6{,}25\cdot 10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}\cdot 1{,}92\cdot 10^{-15}\,\mathrm J=12\,\mathrm W\); gleichwertig \(P=U\cdot I=12000\,\mathrm V\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm A=12\,\mathrm W\).
Erläuterung: Nur ein Bruchteil dieser Leistung (typisch unter 1 %) wird zu Röntgenstrahlung; der Rest wird in dem winzigen Auftreffbereich der Anode in Wärme umgesetzt. Rund \(12\,\mathrm W\) auf einer Fläche von wenigen Quadratmillimetern würden das Anodenmaterial ohne Kühlung rasch zum Schmelzen bringen — deshalb bestehen Anoden aus hochschmelzenden Metallen und werden gekühlt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Richtig ist der Kern der Aussage: Ein Proton trägt denselben Ladungsbetrag \(e\), erfährt beim Durchlaufen von \(U\) dieselbe Energie \(e\,U\) und erhält deshalb dieselbe kinetische Energie \(12\,\mathrm{keV}\) wie ein Elektron.
Falsch ist der Schluss auf die Geschwindigkeit: Aus \(W_\text{kin}=\tfrac12 m v^{2}\) folgt \(v=\sqrt{\frac{2W_\text{kin}}{m}}\), und dort geht die Masse ein. Das Proton ist rund 1840-mal schwerer, seine Geschwindigkeit ist daher um den Faktor \(\sqrt{\frac{m_\text{p}}{m_\text{e}}}\approx 43\) kleiner: \(\displaystyle v_\text{p}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}92\cdot 10^{-15}\,\mathrm J}{1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}}=1{,}5\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) statt \(6{,}5\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\). Die Vermutung verwechselt gleiche Energie mit gleicher Geschwindigkeit; gleich ist nur die Energie.
Beschleuniger in Stufen
AFB IIIIn einem Linearbeschleuniger durchlaufen Protonen hintereinander mehrere gleich gebaute Beschleunigungsstrecken. Jede Stufe liefert die Spannung \(U_1 = 50\,\mathrm{kV}\); zwischen den Stufen fliegen die Protonen feldfrei weiter. Die Protonen starten vor der ersten Stufe aus der Ruhe (Material M1).
Rechnen Sie mit \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{p}=1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\); relativistische Effekte bleiben unberücksichtigt.
| Stufe | Spannung | Länge der Stufe |
|---|---|---|
| 1 | \(50\,\mathrm{kV}\) | \(10\,\mathrm{cm}\) |
| 2 | \(50\,\mathrm{kV}\) | \(10\,\mathrm{cm}\) |
| … | … | … |
| n | \(50\,\mathrm{kV}\) | \(10\,\mathrm{cm}\) |
- Berechnen Sie die Energie und die Geschwindigkeit eines Protons nach der ersten und nach der vierten Stufe.
- Zeigen Sie, dass für die Geschwindigkeit nach \(n\) Stufen \(v_n=\sqrt n\cdot v_1\) gilt.
- Ermitteln Sie, wie viele Stufen nötig sind, damit die Protonen \(1{,}24\cdot 10^{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) erreichen.
- Jemand schlägt vor, alle Stufen durch eine einzige Strecke mit der Gesamtspannung zu ersetzen: „Dann kommt dieselbe Energie heraus, und der Aufbau ist viel einfacher.“ Beurteilen Sie diesen Vorschlag physikalisch und technisch.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Nach Stufe 1: \(W_1=e\cdot 50\,\mathrm{kV}=50\,\mathrm{keV}=8{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm J\), \(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{2\cdot 8{,}0\cdot 10^{-15}\,\mathrm J}{1{,}67\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}}\approx 3{,}1\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\).
Nach Stufe 4: \(W_4=200\,\mathrm{keV}\), \(v_4\approx 6{,}2\cdot 10^{6}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) — also doppelt so schnell bei vierfacher Energie.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Nach \(n\) Stufen gilt \(n\,e\,U_1=\tfrac12 m_\text{p} v_n^{2}\), also \(v_n=\sqrt{\frac{2\,n\,e\,U_1}{m_\text{p}}}=\sqrt n\cdot\sqrt{\frac{2\,e\,U_1}{m_\text{p}}}=\sqrt n\cdot v_1\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(n=\left(\frac{1{,}24\cdot 10^{7}}{3{,}1\cdot 10^{6}}\right)^{2}=4^{2}=16\) Stufen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Physikalisch stimmt der Kern: Die Energie hängt nur von der insgesamt durchlaufenen Spannung ab, \(W=e\cdot 16\cdot 50\,\mathrm{kV}=800\,\mathrm{keV}\) — mit einer einzigen Strecke von \(800\,\mathrm{kV}\) wäre die Endgeschwindigkeit dieselbe.
Technisch ist der Vorschlag kaum umsetzbar: \(800\,\mathrm{kV}\) zwischen zwei Elektroden führen zu Überschlägen und erfordern riesige Isolierabstände. Der Stufenbau erreicht dieselbe Energie mit nur \(50\,\mathrm{kV}\) pro Strecke. Der Vorschlag ist daher physikalisch richtig, aber technisch nicht sinnvoll.