Warum die Glühlampe so schlecht abschneidet
AFB IIDie Wendel einer Glühlampe erreicht im Betrieb rund \(T = 2700\,\mathrm K\) und strahlt näherungsweise wie ein schwarzer Körper. Material M1 zeigt die Strahlungskurven für diese und zwei höhere Temperaturen. Es gilt das Wiensche Verschiebungsgesetz \(\lambda_\text{max}\cdot T = 2{,}90\cdot 10^{6}\,\mathrm{nm\cdot K}\); der sichtbare Bereich reicht von etwa \(380\,\mathrm{nm}\) bis \(780\,\mathrm{nm}\). Wolfram schmilzt bei \(3695\,\mathrm K\).
- Nennen Sie die drei Arten von Spektren und ordnen Sie das Spektrum der Glühlampe begründet einer davon zu.
- Berechnen Sie die Wellenlänge, bei der die Glühwendel am stärksten strahlt, und geben Sie den Spektralbereich an.
- Begründen Sie mit Ihrem Ergebnis und mit Material M1, warum eine Glühlampe nur einen kleinen Teil der aufgenommenen Leistung als sichtbares Licht abgibt.
- Berechnen Sie, auf welche Temperatur die Wendel gebracht werden müsste, damit ihr Strahlungsmaximum bei \(550\,\mathrm{nm}\) liegt, und erläutern Sie, warum das technisch nicht umsetzbar ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kontinuierliches Spektrum: lückenloser Farbverlauf, Quelle sind heiße, dichte Körper. Linienspektrum: einzelne scharfe Linien, Quelle sind dünne, leuchtende Gase. Bandenspektrum: Gruppen sehr dicht liegender Linien, typisch für Moleküle.
Die Glühlampe zeigt ein kontinuierliches Spektrum: Der Leuchtkörper ist ein heißer, dichter Festkörper (Wolframwendel), kein dünnes Gas. Entsprechend zeigt M1 durchgehende Kurven ohne Lücken.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(\lambda_\text{max} = \dfrac{2{,}90\cdot 10^{6}\,\mathrm{nm\cdot K}}{T}\).
Einsetzen: \(\lambda_\text{max} = \dfrac{2{,}90\cdot 10^{6}}{2700}\,\mathrm{nm} \approx 1{,}07\cdot 10^{3}\,\mathrm{nm} = 1{,}07\,\mathrm{\mu m}\).
Das liegt deutlich oberhalb von \(780\,\mathrm{nm}\), also im Infraroten und damit außerhalb des sichtbaren Bereichs.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Das Strahlungsmaximum der Wendel liegt bei \(1{,}07\,\mathrm{\mu m}\) und damit weit rechts vom sichtbaren Fenster. In M1 zeigt die rote Kurve genau das: Ihr Gipfel liegt weit rechts der Markierung bei \(780\,\mathrm{nm}\), und im sichtbaren Bereich steigt sie von nahezu null bei \(380\,\mathrm{nm}\) erst gegen Ende auf einen Teil ihres Höchstwerts an. Der ganz überwiegende Teil der Fläche unter der roten Kurve liegt jenseits von \(780\,\mathrm{nm}\).
Der weitaus größte Teil der Strahlungsleistung wird also als infrarote Wärmestrahlung abgegeben und trägt nicht zum Sehen bei. Genau deshalb wird eine Glühlampe vor allem heiß: Sie ist eher ein Heizkörper mit Lichtnebenwirkung.
Zum Vergleich zeigt die blaue Kurve (5800 K, Sonne) ihr Maximum mitten im sichtbaren Bereich — deshalb ist Sonnenlicht für das Auge so ergiebig. Zu beachten ist, dass in M1 jede Kurve auf ihr eigenes Maximum bezogen ist; in absoluten Werten strahlt der \(5800\,\mathrm K\) heiße Körper wegen \(P/A \sim T^4\) zusätzlich rund \(20\)-mal so stark wie die Wendel.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Ansatz: \(T = \dfrac{2{,}90\cdot 10^{6}\,\mathrm{nm\cdot K}}{\lambda_\text{max}} = \dfrac{2{,}90\cdot 10^{6}}{550}\,\mathrm K\).
Ergebnis: \(T \approx 5{,}3\cdot 10^{3}\,\mathrm K\).
Diese Temperatur liegt weit über der Schmelztemperatur von Wolfram (\(3695\,\mathrm K\)) — dem hitzebeständigsten üblichen Wendelmaterial. Die Wendel würde also längst schmelzen und verdampfen, bevor die geforderte Temperatur erreicht ist; schon bei den heutigen \(2700\,\mathrm K\) begrenzt das Abdampfen des Wolframs die Lebensdauer.
Der Weg über eine höhere Temperatur ist damit versperrt. Effiziente Lichtquellen erzeugen ihr Licht deshalb nicht thermisch, sondern über gezielte Übergänge zwischen Energieniveaus — wie Leuchtstofflampen und LEDs.
Beteigeuze und Rigel
AFB IIIIm Sternbild Orion stehen zwei auffällige Sterne: das rötliche Beteigeuze und das bläulich-weiße Rigel. Beide strahlen näherungsweise wie schwarze Körper; Material M1 nennt ihre gemessenen Strahlungsmaxima. Es gilt \(\lambda_\text{max}\cdot T = 2{,}90\cdot 10^{6}\,\mathrm{nm\cdot K}\) sowie das Stefan-Boltzmann-Gesetz \(\dfrac{P}{A} = \sigma\,T^{4}\) mit \(\sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}\,\mathrm{\frac{W}{m^2K^4}}\).
| Stern | \(\lambda_\text{max}\) in nm | Farbeindruck | Sterntyp |
|---|---|---|---|
| Beteigeuze | 830 | rötlich | Roter Überriese |
| Rigel | 250 | bläulich-weiß | Blauer Überriese |
- Bestimmen Sie die Oberflächentemperaturen beider Sterne.
- Berechnen Sie, um welchen Faktor Rigel je Quadratmeter Oberfläche mehr Leistung abstrahlt als Beteigeuze.
- Ein Beobachter argumentiert: „Beteigeuze erscheint mir am Himmel etwa so hell wie Rigel. Weil Beteigeuze kühler ist, muss sie also näher an der Erde stehen.“ Beurteilen Sie diese Argumentation.
- Eine Astronomie-AG schlägt vor, die Oberflächentemperatur von Sternen künftig einfach aus ihrem Farbeindruck mit bloßem Auge abzuschätzen. Diskutieren Sie diesen Vorschlag.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: \(T = \dfrac{2{,}90\cdot 10^{6}\,\mathrm{nm\cdot K}}{\lambda_\text{max}}\).
Beteigeuze: \(T = \dfrac{2{,}90\cdot 10^{6}}{830}\,\mathrm K \approx 3{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm K\).
Rigel: \(T = \dfrac{2{,}90\cdot 10^{6}}{250}\,\mathrm K \approx 1{,}16\cdot 10^{4}\,\mathrm K\).
Der bläuliche Stern ist also mit rund \(11\,600\,\mathrm K\) etwa dreimal so heiß wie der rötliche mit rund \(3500\,\mathrm K\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(\dfrac{P_\text{Rigel}/A}{P_\text{Bet}/A} = \dfrac{\sigma\,T_\text{Rigel}^{4}}{\sigma\,T_\text{Bet}^{4}} = \left(\dfrac{T_\text{Rigel}}{T_\text{Bet}}\right)^{4}\).
Einsetzen: \(\left(\dfrac{11\,600\,\mathrm K}{3500\,\mathrm K}\right)^{4} = (3{,}31)^{4} \approx 1{,}2\cdot 10^{2}\).
Rigel strahlt je Quadratmeter also etwa 120-mal so viel Leistung ab wie Beteigeuze — ein dreifach höheres \(T\) wirkt sich wegen der vierten Potenz sehr stark aus.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Argumentation ist nicht schlüssig, weil sie zwei entscheidende Größen übergeht.
Erstens die Fläche. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz liefert die Leistung je Quadratmeter. Die gesamte abgestrahlte Leistung ist \(P = \sigma T^{4}\cdot A\), hängt also auch von der Sternoberfläche ab. Nach M1 ist Beteigeuze ein Überriese mit rund 60-fachem Radius, ihre Oberfläche ist damit etwa \(60^2 = 3600\)-mal so groß. Das gleicht den Faktor 120 aus Teilaufgabe b) mehr als aus: Beteigeuze strahlt insgesamt sogar mehr Leistung ab als Rigel, obwohl sie kühler ist.
Zweitens die Entfernung. Wie hell ein Stern erscheint, hängt zusätzlich quadratisch von seiner Entfernung ab — und außerdem davon, welcher Anteil seiner Strahlung überhaupt ins sichtbare Fenster des Auges fällt. Bei \(3500\,\mathrm K\) liegt das Maximum im Infraroten, ein großer Teil der Leistung ist für das Auge unsichtbar.
Fazit: Aus Temperatur und scheinbarer Helligkeit allein lässt sich die Entfernung nicht erschließen. Der Schluss des Beobachters wäre nur zulässig, wenn beide Sterne gleich groß wären — und genau das ist hier nicht der Fall.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Dafür spricht: Der physikalische Zusammenhang ist eindeutig. Nach dem Verschiebungsgesetz gehört zu jeder Temperatur genau ein \(\lambda_\text{max}\), und die Farbe des Sterns folgt der Lage dieses Maximums: rötlich bedeutet kühl, bläulich bedeutet heiß. Für eine grobe Einordnung — etwa „einige tausend Kelvin“ gegenüber „über zehntausend Kelvin“ — genügt der Farbeindruck tatsächlich, wie der Vergleich von Beteigeuze und Rigel zeigt. Die Methode ist zudem ohne jedes Gerät sofort einsetzbar.
Dagegen spricht: Das Auge ist für diese Aufgabe schlecht geeignet. Bei geringer Helligkeit arbeitet es fast farbenblind, sodass die meisten Sterne weißlich erscheinen. Die Erdatmosphäre verfärbt Sterne zusätzlich, besonders nahe am Horizont, und auch interstellarer Staub verschiebt das Licht ins Rötliche. Vor allem aber ist der Farbeindruck subjektiv und nicht in Zahlen fassbar: Aus „gelblich“ lässt sich kein Temperaturwert mit Fehlerangabe gewinnen. Sterne, deren Maximum im UV oder IR liegt, lassen sich so gar nicht einordnen.
Fazit: Als schnelle Grobabschätzung ist der Vorschlag brauchbar, als Messverfahren nicht. Astronomisch bestimmt man die Temperatur deshalb aus gemessenen Helligkeiten in mehreren definierten Farbfiltern oder direkt aus der Lage von \(\lambda_\text{max}\) im aufgenommenen Spektrum.