Wellenlänge aus Energieniveau

Erklärung — von der Energiedifferenz zur Wellenlänge

Der Rechenweg in drei Schritten

Jede Spektrallinie folgt aus zwei Niveauwerten des Termschemas (7.3.3).

1. Niveaus ablesen:\(W_\text{hoch}\) und \(W_\text{tief}\) mit Vorzeichen notieren.
2. Differenz bilden:\(\Delta W=W_\text{hoch}-W_\text{tief}\) — stets positiv.
3. Umrechnen:\(\lambda=\dfrac{h\cdot c}{\Delta W}\) (aus \(\Delta W=h\cdot f\) und \(f=\tfrac{c}{\lambda}\)).

Die Merkzahl 1240

Die Zahl \(1240\) ist nur \(h\cdot c\) in bequemen Einheiten.

Herkunft:\(h\cdot c=6{,}626\cdot10^{-34}\,\text{Js}\cdot 2{,}998\cdot10^{8}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}=1{,}986\cdot10^{-25}\,\text{Jm}\); geteilt durch \(1{,}602\cdot10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}\) und mit \(1\,\text{m}=10^9\,\text{nm}\): \(1240\,\text{eV⋅nm}\).
Gültigkeit:nur mit \(\Delta W\) in eV und \(\lambda\) in nm; sonst mit \(h\) und \(c\) in SI-Einheiten rechnen.
Rückwärts:Wellenlänge gemessen, Energie gesucht: \(\Delta W=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\lambda}\).

Wellenlänge, Frequenz, Farbe

Frequenz:\(f=\dfrac{\Delta W}{h}=\dfrac{c}{\lambda}\): große Energie → hohe Frequenz, kurze Welle.
Sichtbares Fenster:\(380\,\text{nm}\) bis \(780\,\text{nm}\), also \(3{,}26\,\text{eV}\) bis \(1{,}59\,\text{eV}\).
Außerhalb:mehr Energie → Ultraviolett, weniger → Infrarot.

Energiedifferenz \(\Delta W\) und Wellenlänge \(\lambda\) sind gekoppelt: Die Marke im Wellenlängenband folgt \(\Delta W\) — und umgekehrt. Je kleiner die Energie, desto schneller wächst die Wellenlänge.

UV (unter 380 nm)sichtbarIR (über 780 nm)

Energiedifferenz ΔW

2,55 eV

Wellenlänge λ

486 nm

Diese Energie fällt in das schmale sichtbare Fenster von etwa 380 nm bis 780 nm – die Linie hat eine erkennbare Farbe.

Energie \(\Delta W\)	–
Energie in Joule	–
Wellenlänge \(\lambda\)	–
Frequenz \(f\)	–
Bereich	–

Von der Energiedifferenz zur Wellenlänge

\(\Delta W=W_\text{hoch}-W_\text{tief}\qquad \lambda=\dfrac{hc}{\Delta W}=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta W}\qquad f=\dfrac{c}{\lambda}\)

\(h=6{,}626\cdot10^{-34}\,\text{Js}\) (6.1.2) · \(c=2{,}998\cdot10^{8}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\) · \(1\,\text{eV}=1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{J}\) (1.2.1).

So rechnest du vom Schema zur Farbe

Im Natriumatom liegt ein angeregtes Niveau bei \(W_\text{hoch}=-3{,}03\,\text{eV}\), der Grundzustand bei \(W_\text{tief}=-5{,}14\,\text{eV}\). Welche Wellenlänge hat die Linie?

Schritt 1 — komplett vorgemachtDifferenz bilden: \(\Delta W=-3{,}03\,\text{eV}-(-5{,}14\,\text{eV})=2{,}11\,\text{eV}\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeSetze \(\Delta W\) in \(\lambda=\tfrac{1240}{\Delta W}\) ein und vergleiche mit dem sichtbaren Fenster.

Schritt 3 — jetzt du\(\lambda=\tfrac{1240}{2{,}11}\approx 588\,\text{nm}\) — gelb. Das ist die bekannte Natrium-D-Linie der Straßenlaternen.

So rechnest du rückwärts

Eine Quecksilberlampe sendet eine kräftige Linie bei \(\lambda=254\,\text{nm}\) aus. Welche Energie hat ein solches Photon — in eV und in Joule?

Schritt 1 — komplett vorgemachtEnergie aus der Wellenlänge: \(\Delta W=\tfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{254\,\text{nm}}\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeRechne den Bruch aus und multipliziere anschließend mit \(1{,}602\cdot10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}\).

Schritt 3 — jetzt du\(\Delta W\approx 4{,}88\,\text{eV}\), also \(4{,}88\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\,\text{J}\approx 7{,}8\cdot10^{-19}\,\text{J}\). Wegen \(254\,\text{nm}<380\,\text{nm}\) liegt die Linie im UV.

Allgemeine Hinweise

Die 1240 nur mit eV und nm

Die Merkzahl \(hc=1240\,\text{eV⋅nm}\) funktioniert ausschließlich in diesem Einheitenpaar. Wer Meter oder Joule einsetzt, landet um viele Zehnerpotenzen daneben.

Vorzeichen zuerst klären

Die Niveaus sind negativ, \(\Delta W\) ist positiv. Am sichersten rechnest du mit den Beträgen: \(\Delta W=|W_\text{tief}|-|W_\text{hoch}|\).

Ergebnis auf Plausibilität prüfen

Sichtbares Licht liegt zwischen \(1{,}6\,\text{eV}\) und \(3{,}3\,\text{eV}\). Kommt bei einer „grünen“ Linie \(12\,\text{eV}\) heraus, steckt fast immer ein Rechen- oder Einheitenfehler dahinter.