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Spektrallinien und Niveaus

Jede Spektrallinie ist der Fingerabdruck eines Sprungs: Ein Elektron fällt von einem höheren auf ein tieferes Niveau und gibt die Differenz als Photon ab.

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Erklärung — vom Schema zur Linie

Das Energieniveauschema

Alle bisher gemessenen Wasserstoff-Niveaus (7.1.1) passen in eine einfache Formel: \(W_n=-\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\).

  • Negative Werte:das Elektron ist gebunden; \(W=0\) heißt gerade frei (7.1.1).
  • Unten am weitesten:\(n=1\) liegt bei \(-13{,}6\,\text{eV}\); der Abstand zu \(n=2\) ist mit \(10{,}2\,\text{eV}\) der größte.
  • Verdichtung zur Grenze:für großes \(n\) liegen die Stufen dicht unter \(W=0\) → die Linien einer Serie häufen sich an der Seriengrenze (7.2.1).

Emission — jede Linie ist ein Sprung

Mit der Niveauformel lässt sich jede Linie ohne Tabelle berechnen.

Herleitung:

\(\Delta W=W_\text{hoch}-W_\text{tief}\)
| \(W_n\) einsetzen
Die Energiedifferenz der beiden Niveaus.
\(\Delta W=13{,}6\,\text{eV}\cdot\left(\dfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\dfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\right)\)
| \(\lambda=\tfrac{hc}{\Delta W}\)
Mit \(W_n=-\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\) zusammengefasst.
\(\lambda=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta W}\)
Ergebnis
So wird aus jedem Sprung eine Wellenlänge (7.1.1).
  • Anschluss Franck-Hertz:auch die Anregung durch Elektronenstoß (7.3.1) ist ein Sprung im Schema — für Quecksilber mit \(\Delta W=4{,}9\,\text{eV}\).

Serien — sortiert nach dem Zielniveau

Im Schema sieht man, warum das Zielniveau (7.2.1) den Spektralbereich bestimmt.

  • Lyman-Serie (\(\to n=1\)):mindestens \(10{,}2\,\text{eV}\) → Ultraviolett.
  • Balmer-Serie (\(\to n=2\)):\(1{,}89\) bis \(3{,}40\,\text{eV}\) → sichtbar (bis nahes UV).
  • Paschen-Serie (\(\to n=3\)) und höher:höchstens \(1{,}51\,\text{eV}\) → Infrarot.

Sprünge selbst einstellen

Ein Pfeil zeigt den Übergang zwischen einem oberen und einem unteren Niveau, rechts erscheinen Energiedifferenz, Wellenlänge und Serie. Der Farbstreifen unten rechts zeigt, in welchem Bereich die Linie liegt — nur die Balmer-Serie (Ziel \(n=2\)) fällt ins Sichtbare.

aktive NiveausÜbergang (Emission)UV / IR außerhalb
n_hoch = 3
n_tief = 2

Übergang 3→2: ΔW=1,89 eV, λ=656 nm (sichtbar). Gehört zur Balmer-Serie – der einzigen im sichtbaren Bereich.

Übergang–
Energiedifferenz \(\Delta W\)–
Wellenlänge \(\lambda\)–
Serie–
Bereich–
Niveaus, Sprung und Farbe

\(W_n=-\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\qquad \Delta W=W_\text{hoch}-W_\text{tief}\qquad \lambda=\dfrac{hc}{\Delta W}=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta W}\)

\(n=1,2,3,\dots\): Quantenzahl · \(\Delta W\): Photonenenergie. Zusammengefasst: \(\Delta W=13{,}6\,\text{eV}\cdot\big(\tfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\tfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\big)\).

So liest du eine Linie aus dem Schema

Ein Elektron springt von \(n=3\) auf \(n=1\). Welche Wellenlänge hat die Linie, und in welchem Bereich liegt sie?

Schritt 1 — komplett vorgemachtNiveaus: \(W_3=-\tfrac{13{,}6}{9}=-1{,}51\,\text{eV}\) und \(W_1=-13{,}6\,\text{eV}\).
Schritt 2 — nur noch die IdeeBilde \(\Delta W=W_3-W_1\) und setze in \(\lambda=\tfrac{1240}{\Delta W}\) ein.
Schritt 3 — jetzt du\(\Delta W=-1{,}51-(-13{,}6)=12{,}09\,\text{eV}\), also \(\lambda=\tfrac{1240}{12{,}09}\approx 103\,\text{nm}\) — Ultraviolett (Lyman).

So ordnest du eine Linie ihrer Serie zu

Eine Wasserstofflinie hat \(\lambda=410\,\text{nm}\) (violett). Zu welchem Übergang gehört sie?

Schritt 1 — komplett vorgemachtSichtbar \(\Rightarrow\) Balmer-Serie \(\Rightarrow\) Zielniveau \(n_\text{tief}=2\). Energie: \(\Delta W=\tfrac{1240}{410}\approx 3{,}02\,\text{eV}\).
Schritt 2 — nur noch die IdeeSuche das obere Niveau: welches \(n_\text{hoch}\) liefert \(\Delta W=3{,}02\,\text{eV}\) nach \(n=2\)?
Schritt 3 — jetzt duProbiere \(n_\text{hoch}=6\): \(13{,}6\cdot(\tfrac14-\tfrac{1}{36})=3{,}02\,\text{eV}\). Passt → der Übergang ist \(6\to 2\).
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Allgemeine Hinweise

Serie am Zielniveau ablesen

Die Serie erkennst du am unteren Niveau, nicht am oberen. Alles nach \(n=2\) ist Balmer — egal ob der Sprung bei \(n=3\), \(4\) oder \(7\) startet.

Großes ΔW = kleines λ

Energie und Wellenlänge sind invers. Rechne im Zweifel \(\lambda=\tfrac{1240}{\Delta W}\) nach, statt zu raten — der größte Sprung ergibt die kürzeste Welle.

Vorzeichen beachten

Die Niveaus sind negativ. \(\Delta W=W_\text{hoch}-W_\text{tief}\) wird trotzdem positiv, weil \(W_\text{hoch}\) (kleinerer Betrag) größer ist als \(W_\text{tief}\).

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