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Diskrete Energiestufen

Ein Elektron in der Atomhülle kann nicht jeden Energiewert annehmen — nur ganz bestimmte, diskrete Stufen. Springt es von einer Stufe zur nächsten.

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Erklärung — diskrete Energien

Was „Quantisierung“ bedeutet

Ein Elektron in der Atomhülle kann nicht jede beliebige Energie haben: Erlaubt sind nur bestimmte Werte — wie die Stufen einer Treppe statt einer Rampe.

  • Formelzeichen:Energie heißt W, weil E die elektrische Feldstärke ist (1.2.1).
  • Diskrete Niveaus:nummeriert mit der Quantenzahl \(n=1,2,3,\dots\); \(n=1\) ist der Grundzustand, alle höheren sind angeregte Zustände.
  • Nichts dazwischen:Energien zwischen zwei Stufen sind verboten — auch nicht kurzzeitig.
  • Nach oben enger:die Stufen rücken mit wachsendem \(n\) dichter zusammen bis zur Ionisierungsgrenze \(W_\infty=0\); darüber ist das Elektron frei. Gebundene Zustände haben deshalb negative Energie.

Der Nachweis: das Linienspektrum

Dass die Energien diskret sind, verrät das Licht, das Atome aussenden.

  • Photon:Atome geben Licht in Portionen ab, den Photonen. Ein Photon der Frequenz \(f\) trägt die Energie \(W_\text{Ph}=h\cdot f\) — mit derselben Konstante \(h\) wie bei de Broglie (6.1.2).
  • Jede Linie = ein Übergang:springt ein Elektron von einem höheren Niveau \(n\) auf ein tieferes \(m\), sendet es ein Photon mit genau der Energiedifferenz aus → feste Frequenz → scharfe Spektrallinie.
  • Wenige Linien statt Kontinuum:bei beliebigen Energien wäre das Spektrum lückenlos; einzelne Linien beweisen die diskreten Stufen.
  • Fingerabdruck:jedes Element hat sein eigenes Linienmuster (mehr dazu in 7.2.1).

Die Energiebilanz eines Übergangs

Für jeden Sprung gilt die Energieerhaltung.

Herleitung:

  • Emission:Sprung von \(n\) (hoch) nach \(m\) (tief); die frei werdende Energie steckt vollständig im Photon.
\(\Delta W=W_n-W_m=h\,f\)
| \(f=\tfrac{c}{\lambda}\)
Die Sprungenergie ist die Photonenenergie.
\(\Delta W=\dfrac{h\,c}{\lambda}\)
| nach \(\lambda\)
Frequenz durch Wellenlänge ersetzt (5.1.4).
\(\lambda=\dfrac{h\,c}{\Delta W}=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta W}\)
Ergebnis
Mit \(\Delta W\) in eV kommt \(\lambda\) direkt in nm heraus.
  • Absorption:ein Photon mit genau dieser Energie hebt das Elektron nach oben; passt die Energie nicht, geht es vorbei.
  • Ionisierung:ein Photon mit mindestens \(|W_n|\) löst das Elektron ganz aus dem Atom (\(W\ge 0\)).

Energiestufen und Übergänge

Gemessene Energieniveaus des Wasserstoffatoms (\(W_n=-\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\)). Beobachte, wie sich \(\Delta W\), die Wellenlänge und die Farbe des Photons ändern.

EnergieniveauElektronPhoton
3 → 2

Übergang von n=3 auf n=2: das Elektron fällt und sendet ein rotes Photon aus.

Übergang–
Energie \(\Delta W\)–
Wellenlänge \(\lambda\)–
Bereich–
Energie eines Übergangs

\(\Delta W = W_n - W_m\qquad \lambda=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta W}\)

\(W_n>W_m\): Start- und Zielniveau · \(h=6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}\) (6.1.2) · \(f=\tfrac{c}{\lambda}\) (5.1.4) · \(h\cdot c=1240\,\text{eV⋅nm}\): \(\Delta W\) in eV einsetzen, \(\lambda\) kommt in nm heraus.

So berechnest du Energie und Wellenlänge

Ein Elektron fällt im Wasserstoffatom von \(n=3\) (\(W_3=-1{,}51\,\text{eV}\)) auf \(n=2\) (\(W_2=-3{,}40\,\text{eV}\)). Welche Energie und Wellenlänge hat das Photon?

Schritt 1 — komplett vorgemachtEnergiedifferenz: \(\Delta W = W_3 - W_2 = -1{,}51\,\text{eV}-(-3{,}40\,\text{eV}) = 1{,}89\,\text{eV}\).
Schritt 2 — nur noch die IdeeSetze \(\Delta W\) in \(\lambda=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta W}\) ein.
Schritt 3 — jetzt du\(\lambda=\dfrac{1240}{1{,}89}\,\text{nm}\approx\;?\) — ein Wert im roten Bereich (rund \(656\,\text{nm}\)), die bekannte H\(_\alpha\)-Linie.

So unterscheidest du Emission und Absorption

Ein Photon mit \(2{,}55\,\text{eV}\) trifft ein Wasserstoffatom, dessen Elektron im Zustand \(n=2\) ist. Was passiert?

Schritt 1 — komplett vorgemachtPrüfe, ob \(2{,}55\,\text{eV}\) genau zu einem Übergang nach oben passt: \(W_4-W_2=-0{,}85-(-3{,}40)=2{,}55\,\text{eV}\). Es passt exakt.
Schritt 2 — nur noch die IdeePasst die Energie genau, wird das Photon geschluckt (Absorption) und das Elektron steigt auf.
Schritt 3 — jetzt duErgebnis: Absorption, das Elektron springt von \(n=2\) nach \(n=4\). Hätte das Photon z. B. \(2{,}0\,\text{eV}\), passte kein Übergang — es flöge ungehindert vorbei.
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Allgemeine Hinweise

Treppe, keine Rampe

Merke dir das Bild: Energieniveaus sind Stufen. Zwischen ihnen gibt es keine erlaubten Werte — das Elektron springt, es gleitet nicht.

ΔW ist nicht W​n

Ein Photon trägt die Differenz zweier Niveaus, nicht die Energie eines einzelnen. Immer zuerst \(W_n-W_m\) bilden.

Vorzeichen beachten

Die Niveauenergien sind negativ (gebunden). Bei \(-1{,}51-(-3{,}40)\) hebt sich das doppelte Minus auf → \(\Delta W\) wird positiv.

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