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Elektron im Potenzialtopf

Warum darf ein gebundenes Elektron nur bestimmte Energien haben? Ein überraschend einfaches Bild erklärt es.

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Erklärung — das Elektron im Kasten

Was der Potenzialtopf modelliert

Einfachstes Modell für ein gebundenes Elektron: ein eindimensionaler Kasten der Breite \(L\) mit unendlich hohen Wänden.

  • Undurchdringliche Wände:das Elektron kann nicht hinaus; die Wellenfunktion \(\psi\) (6.2.2) ist an beiden Wänden null → dort je ein Knoten.
  • Freie Bewegung innen:innen wirkt keine Kraft; die gesamte Energie ist kinetisch.
  • Bewusst grob:das echte Atom hat keine steilen Wände; das Modell zeigt aber den Kern: Einsperren erzwingt Quantisierung.

Nur stehende Wellen passen

Mit Knoten an beiden Wänden passen nur bestimmte Wellen in den Topf — wie bei der eingespannten Saite (5.2.2).

Herleitung:

\(L=n\cdot\dfrac{\lambda}{2}\)
| · 2
In die Breite \(L\) passen nur ganze halbe Wellen.
\(2\,L=n\,\lambda\)
| : n
Beide Seiten mit 2 multiplizieren.
\(\lambda_n=\dfrac{2\,L}{n}\)
Ergebnis
Durch \(n\) teilen — nur diese Wellenlängen passen (\(n=1,2,3,\dots\)).
  • Bäuche zählen:Zustand \(n\) hat genau \(n\) Bäuche und \(n-1\) Knoten im Inneren (plus die zwei an den Wänden).
  • Kein Zwischenwert:z. B. 2,5 Halbwellen hätten an einer Wand keinen Knoten → nur diskrete \(\lambda_n\) erlaubt.

Von der Wellenlänge zur Energiestufe

Aus der Wellenlänge folgt über de Broglie die Energie.

Herleitung:

\(p_n=\dfrac{h}{\lambda_n}\)
| \(\lambda_n\) einsetzen
De-Broglie (6.1.2), nach dem Impuls aufgelöst.
\(p_n=\dfrac{n\,h}{2\,L}\)
| in \(W\)
\(\lambda_n=\tfrac{2L}{n}\) eingesetzt.
\(W_n=\dfrac{p_n^{2}}{2\,m}\)
| \(p_n\) einsetzen
Bewegungsenergie über den Impuls: \(W=\tfrac{p^{2}}{2m}\).
\(W_n=\dfrac{n^{2}h^{2}}{8\,m\,L^{2}}\)
Ergebnis
Die Energiestufen wachsen mit \(n^{2}\).
  • Nullpunktsenergie:der tiefste Zustand ist \(n=1\), nicht \(n=0\): das Elektron ruht nie, es hat mindestens \(W_1>0\).

Stehende Wellen im Topf

Das Elektron sitzt im Kasten der Breite \(L\). Beobachte, wie \(\lambda_n\) und \(W_n\) reagieren.

WandWelle ψKnoten
n = 2
1,0 nm

Zustand n=2: zwei Bäuche, ein Knoten in der Mitte. Die Welle passt genau in den Topf.

Wellenlänge \(\lambda_n\)–
Energie \(W_n\)–
Grundenergie \(W_1\)–
Bäuche–
Energiestufen im Potenzialtopf

\(W_n=\dfrac{n^{2}h^{2}}{8\,m\,L^{2}}\)

\(L\): Topfbreite, \(n=1,2,3,\dots\), \(m\): Elektronenmasse. Ein engerer Topf hebt alle Stufen an (\(W\sim 1/L^2\)). Kurzform für ein Elektron: \(W_n\approx n^2\cdot\dfrac{0{,}376\,\text{eV}}{(L/\text{nm})^2}\) — \(L\) in Nanometern eingesetzt, \(W_n\) direkt in eV.

So berechnest du die Energiestufen

Ein Elektron sitzt in einem Topf der Breite \(L=1\,\text{nm}\). Wie groß sind \(W_1\) und \(W_2\)?

Schritt 1 — komplett vorgemachtGrundzustand: \(W_1=\dfrac{n^2\cdot 0{,}376\,\text{eV}}{(L/\text{nm})^2}=\dfrac{1\cdot 0{,}376}{1^2}\,\text{eV}=0{,}38\,\text{eV}\).
Schritt 2 — nur noch die IdeeDer nächste Zustand hat \(n=2\); die Energie wächst mit \(n^2\), also \(W_2=2^2\cdot W_1\).
Schritt 3 — jetzt du\(W_2=4\cdot 0{,}38\,\text{eV}\approx\;?\) — rund \(1{,}5\,\text{eV}\). Der Abstand zur nächsten Stufe ist also viel größer als beim Wasserstoff.

So liest du die stehende Welle

Im Applet ist \(n=3\) und \(L=1{,}2\,\text{nm}\) eingestellt. Wie viele Bäuche und Knoten hat die Welle, und wie groß ist \(\lambda_3\)?

Schritt 1 — komplett vorgemachtZustand \(n=3\) hat genau \(n=3\) Bäuche und \(n-1=2\) Knoten im Inneren (dazu die zwei an den Wänden).
Schritt 2 — nur noch die IdeeDie Wellenlänge folgt aus \(\lambda_n=\dfrac{2L}{n}\).
Schritt 3 — jetzt du\(\lambda_3=\dfrac{2\cdot 1{,}2}{3}\,\text{nm}=0{,}8\,\text{nm}\). Je größer \(n\), desto kürzer die Welle — und desto höher die Energie.
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Allgemeine Hinweise

Saite als Eselsbrücke

Denk an die Gitarrensaite: An beiden Enden ein Knoten, dazwischen ganzzahlig viele Bäuche. Das gleiche Muster gilt für das Elektron im Topf.

n zählt die Bäuche

Die Quantenzahl \(n\) ist einfach die Zahl der Bäuche. \(n=1\) ist der Grundzustand mit einem einzigen Bauch — nicht null.

L unten, n oben

Im Nenner steht \(L^2\), im Zähler \(n^2\). Enger Topf → hohe Energien; breiter Topf → dicht liegende Stufen. Vorzeichen sind hier alle positiv.

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