Radialverteilungen des Wasserstoffatoms auswerten
AFB IIMaterial M1 zeigt für die Zustände 1s und 2s des Wasserstoffatoms, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Elektron in einer dünnen Kugelschale im Abstand \(r\) vom Kern angetroffen wird. Beide Kurven sind auf ihr eigenes Maximum normiert. Für die Energien gilt \(W_n=-\dfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}\); der Bohrsche Radius beträgt \(a_0=53\,\mathrm{pm}\), und es gilt \(hc=1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\).
- Bestimmen Sie aus M1 den wahrscheinlichsten Abstand im 1s-Zustand sowie die Lage der Nullstelle der 2s-Kurve.
- Erklären Sie, warum beide Kurven bei \(r=0\) den Wert null annehmen, obwohl die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte \(|\psi|^2\) genau dort am größten ist.
- Berechnen Sie die Energie und die Wellenlänge des Photons, das beim Übergang eines Elektrons vom Zustand \(n=2\) in den Grundzustand ausgesandt wird.
- Vergleichen Sie das Orbitalmodell mit dem Bohrschen Bahnmodell hinsichtlich der Aussage über den Ort des Elektrons.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
1s: Die blaue Kurve erreicht ihr Maximum bei \(r\approx53\,\mathrm{pm}\). Das ist der wahrscheinlichste Abstand des Elektrons vom Kern und entspricht dem Bohrschen Radius \(a_0\).
2s: Die grüne Kurve fällt bei \(r\approx106\,\mathrm{pm}=2a_0\) auf null. Dort liegt die Knotenkugel: eine Kugelfläche, auf der das Elektron nie angetroffen wird.
Das Hauptmaximum der 2s-Kurve liegt bei \(r\approx277\,\mathrm{pm}\), also deutlich weiter außen. Zusätzlich erkennt man ein kleineres erstes Maximum bei etwa \(30\,\mathrm{pm}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Beide Kurven beantworten eine andere Frage als \(|\psi|^2\).
\(|\psi|^2\) gibt die Wahrscheinlichkeit pro Volumen an. Sie ist beim 1s-Zustand tatsächlich unmittelbar am Kern am größten.
Die radiale Verteilung fragt dagegen: Wie wahrscheinlich ist es, das Elektron in der Kugelschale zwischen \(r\) und \(r+\Delta r\) zu finden? Diese Schale hat das Volumen \(\Delta V=4\pi r^2\,\Delta r\).
Damit gilt \(P(r)\,\Delta r=|\psi|^2\cdot4\pi r^2\,\Delta r\). Für \(r\to0\) geht \(4\pi r^2\) gegen null, und zwar schneller, als \(|\psi|^2\) wachsen kann. Das Produkt strebt daher gegen null.
Anschaulich: Direkt am Kern ist die Dichte zwar hoch, aber es gibt dort fast keinen Platz. Weiter außen ist die Dichte kleiner, die Schale aber viel größer. Aus dem Wettstreit beider Effekte entsteht das Maximum bei \(53\,\mathrm{pm}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Energien: \(W_2=-\dfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{4}=-3{,}40\,\mathrm{eV}\), \(W_1=-13{,}6\,\mathrm{eV}\).
\(\Delta W=W_2-W_1=-3{,}40\,\mathrm{eV}-(-13{,}6\,\mathrm{eV})=10{,}2\,\mathrm{eV}\).
\(\lambda=\dfrac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{10{,}2\,\mathrm{eV}}\approx122\,\mathrm{nm}\).
Die Linie liegt im Ultravioletten; sie ist die erste Linie der Serie mit dem Zielniveau \(n=1\).
Anmerkung: Der Zahlenwert hängt nur von \(n\) ab. Ob das Elektron vorher im 2s- oder in einem 2p-Orbital saß, spielt beim Wasserstoffatom keine Rolle.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Gemeinsamkeit: Beide Modelle liefern für den Grundzustand denselben charakteristischen Abstand von \(53\,\mathrm{pm}\) und dieselben Energieniveaus \(W_n=-\tfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}\). In allen Aussagen über Spektrallinien stimmen sie daher überein.
Unterschied im Ortsbegriff: Bohr schreibt dem Elektron zu jedem Zeitpunkt einen Ort auf einer Kreisbahn mit exakt \(53\,\mathrm{pm}\) zu. Im Orbitalmodell besitzt das Elektron vor einer Messung überhaupt keinen Ort; angebbar ist nur eine Wahrscheinlichkeit.
Die \(53\,\mathrm{pm}\) sind dort kein Radius, sondern der wahrscheinlichste Abstand. Messungen bei \(20\,\mathrm{pm}\) oder \(150\,\mathrm{pm}\) sind nicht verboten, nur seltener — in M1 liest man das an der Breite der Kurve ab.
Gewichtung: Das Bohrsche Modell ist anschaulicher und für Energieberechnungen ausreichend. Es scheitert jedoch an allem, was mit der Form zusammenhängt: Es kann weder die Knotenkugel des 2s-Zustands noch die Hantelform der 2p-Zustände erklären, weil es dafür keine Entsprechung besitzt. Das Orbitalmodell ist weniger anschaulich, beschreibt die Beobachtungen aber vollständig.
Quantenzahlen deuten und Modelle beurteilen
AFB IIIDie Materialien M2 und M3 fassen die Zustände des Wasserstoffatoms bis \(n=2\) zusammen. Es gelten die Regeln \(l=0,1,\dots,n-1\) und \(m=-l,\dots,+l\); die Zahl der Knotenkugeln beträgt \(n-l-1\), die Zahl der Knotenebenen \(l\). Beim Wasserstoffatom hängt die Energie eines Zustands ausschließlich von \(n\) ab.
| n | l | m | Bezeichnung | Form |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 1s | Kugel |
| 2 | 0 | 0 | 2s | Kugel mit Knotenkugel |
| 2 | 1 | −1, 0, +1 | 2p | Hantel, drei Orientierungen |
- Bestimmen Sie die Anzahl der Orbitale für \(n=1\), \(n=2\) und \(n=3\) und entwickeln Sie daraus eine allgemeine Regel.
- Ein Schüler sagt: „Das p-Orbital ist eine Hantel — darin fliegt das Elektron also auf einer Acht um den Kern herum.“ Beurteilen Sie diese Aussage.
- In Atomen mit mehreren Elektronen liegt der 2s-Zustand energetisch tiefer als der 2p-Zustand, beim Wasserstoff dagegen gleich hoch. Erklären Sie diesen Unterschied mithilfe von M1 aus Aufgabe 1.
- Diskutieren Sie, was das Orbitalmodell gegenüber dem Modell vom eindimensionalen Potenzialtopf leistet und wo auch das Orbitalmodell an Grenzen stößt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(n=1\): nur \(l=0\), dazu \(m=0\) — also 1 Orbital.
\(n=2\): \(l=0\) liefert 1 Orbital, \(l=1\) liefert \(2\cdot1+1=3\) Orbitale — zusammen 4 Orbitale.
\(n=3\): \(l=0\) liefert 1, \(l=1\) liefert 3, \(l=2\) liefert 5 — zusammen 9 Orbitale.
Regel: Die Zahlen 1, 4, 9 sind die Quadratzahlen; allgemein gibt es \(n^2\) Orbitale zur Hauptquantenzahl \(n\).
Begründung: Die Summe \(\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)\) enthält die ersten \(n\) ungeraden Zahlen, und deren Summe ist bekanntlich \(n^2\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Aussage ist nicht haltbar.
Die Punkte in M3 sind keine aufeinanderfolgenden Positionen eines fliegenden Teilchens, sondern Ergebnisse vieler unabhängiger Ortsmessungen an gleich präparierten Atomen. Eine Verbindungslinie zwischen ihnen hätte keine physikalische Bedeutung.
Ein besonders klares Gegenargument liefert die Knotenebene: In der Ebene durch den Kern ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit exakt null. Ein Teilchen, das auf einer „Acht“ von der oberen in die untere Keule liefe, müsste diese Ebene durchqueren — es müsste also einen Bereich passieren, in dem es nie angetroffen werden kann. Ein Bahnbild führt hier zu einem Widerspruch.
Korrekte Formulierung: Die Hantel ist die Fläche, innerhalb derer das Elektron mit etwa \(90\,\%\) Wahrscheinlichkeit gefunden wird. Sie beschreibt die Verteilung möglicher Messergebnisse, keine Bewegung.
Der Denkfehler ist verständlich, weil das Bild an eine Bahnkurve erinnert. Genau davon löst sich die Quantenphysik jedoch: Vor der Messung besitzt das Elektron keinen Ort, den man verfolgen könnte.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Entscheidend ist der Verlauf der Kurven nahe am Kern.
In M1 zeigt die 2s-Kurve neben ihrem Hauptmaximum bei \(277\,\mathrm{pm}\) ein kleineres erstes Maximum bei etwa \(30\,\mathrm{pm}\). Das 2s-Elektron hält sich also mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit sehr nah am Kern auf. Die 2p-Verteilung besitzt einen solchen inneren Bereich nicht; sie beginnt erst weiter außen nennenswert anzusteigen.
Beim Wasserstoff spielt das keine Rolle: Es gibt nur ein einziges Elektron, und die Anziehung durch den Kern hängt allein vom Abstand ab. Die Energie wird deshalb vollständig durch \(n\) festgelegt — 2s und 2p liegen gleich hoch.
Bei mehreren Elektronen schirmen die inneren Elektronen die Kernladung teilweise ab. Ein 2s-Elektron dringt wegen seines inneren Maximums zeitweise in diesen abgeschirmten Bereich ein und spürt dort eine größere effektive Kernladung. Es ist deshalb stärker gebunden, seine Energie liegt tiefer.
Fazit: Die Aufspaltung ist keine Eigenschaft des einzelnen Orbitals, sondern eine Folge der Wechselwirkung mehrerer Elektronen. Das Orbitalmodell erklärt sie, weil es die räumliche Form der Verteilung kennt — im Bohrschen Bahnmodell gibt es dafür keinen Ansatzpunkt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Was das Orbitalmodell leistet:
Der Potenzialtopf war ein Modell für eine Raumrichtung mit senkrechten, unendlich hohen Wänden. Er erklärt, warum überhaupt diskrete Energien auftreten — nämlich weil nur bestimmte stehende Wellen hineinpassen. Für die Form der Niveaufolge liefert er jedoch \(W_n\sim n^2\), also einen nach oben immer weiter auseinanderlaufenden Abstand.
Beim realen Atom ist es umgekehrt: Die Niveaus rücken nach oben zusammen (\(W_n\sim-\tfrac{1}{n^2}\)). Das Orbitalmodell berücksichtigt die tatsächliche Anziehung durch den Kern in drei Dimensionen und trifft diese Niveaufolge korrekt. Zusätzlich liefert es die Formen (s, p), die Knotenflächen, die Zahl \(n^2\) der Zustände und mit \(m\) die Orientierungen — alles Größen, für die der Potenzialtopf keine Entsprechung hat.
Wo auch das Orbitalmodell an Grenzen stößt:
Exakt lösbar ist es nur für das Wasserstoffatom. Schon bei Helium mit zwei Elektronen lassen sich die Wellenfunktionen nur noch näherungsweise berechnen; die Bilder von 2s- und 2p-Orbitalen in Mehrelektronenatomen sind daher Näherungen, keine exakten Lösungen.
Ferner kennt das hier verwendete Modell den Spin nicht, der für den Aufbau des Periodensystems unverzichtbar ist, und es behandelt den Kern als ruhenden Punkt. Feinere Effekte wie die Aufspaltung von Spektrallinien im Magnetfeld erfordern zusätzliche Annahmen.
Ergebnis: Beide Modelle sind Werkzeuge mit unterschiedlicher Reichweite. Der Potenzialtopf zeigt den Mechanismus der Quantisierung besonders einfach und bleibt didaktisch wertvoll; das Orbitalmodell beschreibt das Wasserstoffatom quantitativ vollständig, verliert aber an Anschaulichkeit und an Exaktheit, sobald mehrere Elektronen beteiligt sind.