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Orbitale des Wasserstoffatoms

Das Elektron kreist nicht. Es hat vor der Messung überhaupt keinen Ort — nur eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit, und die hat für jedes Niveau eine eigene Gestalt.

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Erklärung — vom Bahnmodell zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Vom Bahnmodell zur Wahrscheinlichkeitswolke

Niels Bohr ließ 1913 das Elektron auf festen Kreisbahnen um den Kern laufen. Das erklärt die Energieniveaus, widerspricht aber der Wahrscheinlichkeitsdeutung (6.2.2).

  • Kein Ort vor der Messung:keine Bahn — nur die Wahrscheinlichkeit, es bei einer Messung in einem Raumbereich zu finden.
  • Die Wellenfunktion:wie im Potenzialtopf (7.1.2) gehört zu jedem Zustand ein \(\psi\); \(|\psi|^2\) ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte — jetzt dreidimensional.
  • Was ein Orbital ist:Raumgebiet, in dem sich das Elektron mit meist \(90\,\%\) Wahrscheinlichkeit aufhält — eine „Wolke“, keine Bahn.

Die Orbitale bis n = 2

  • 1s:kugelsymmetrisch; wahrscheinlichster Abstand \(a_0=53\,\text{pm}\) (Bohrscher Radius, der Radius von Bohrs erster Bahn).
  • 2s:kugelsymmetrisch, größer, mit einer Knotenkugel bei \(106\,\text{pm}\) (Aufenthaltswahrscheinlichkeit null).
  • 2p:hantelförmig mit Knotenebene durch den Kern; drei senkrecht zueinander stehende (\(p_x, p_y, p_z\)).

Die Quantenzahlen

Drei ganze Zahlen legen fest, welche Orbitale es gibt.

  • Hauptquantenzahl \(n\):bestimmt beim Wasserstoff allein die Energie \(W_n=-\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\) (7.3.3) und grob die Größe.
  • Nebenquantenzahl \(l\):\(l=0,1,\dots,n-1\) → Form: \(l=0\) s (Kugel), \(l=1\) p (Hantel).
  • Magnetquantenzahl \(m\):\(m=-l,\dots,+l\) → Orientierung; für \(l=1\) drei p-Orbitale.

Orbitale und Radialverteilung

Links siehst du eine Punktwolke — jeder Punkt steht für eine Ortsmessung; die Kurve rechts zeigt, in welchem Kernabstand das Elektron am häufigsten gefunden wird.

1s2s2p
1s

Das dichteste Gebiet liegt bei 53 pm — genau dort, wo Bohr seine erste Bahn annahm. Der Unterschied: Hier ist es der wahrscheinlichste Abstand, keine feste Bahn.

Quantenzahlen \(n,\ l\)–
Form–
Wahrscheinlichster Abstand–
Knoten–
Orientierungen–
Orbitale und Quantenzahlen

\(|\psi|^2=\text{Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte}\qquad n=1,2,3,\dots\qquad l=0,\dots,n-1\qquad m=-l,\dots,+l\)

\(|\psi|^2\,\Delta V\): Wahrscheinlichkeit im kleinen Volumen \(\Delta V\) · je \((n,l)\) gibt es \(2l+1\) Orientierungen, je \(n\) insgesamt \(n^2\) Orbitale.

So zählst du die Orbitale einer Schale

Wie viele Orbitale gehören zu \(n=2\)?

Schritt 1 — komplett vorgemachtErlaubte Formen: \(l=0\) und \(l=1\), denn \(l\) läuft von \(0\) bis \(n-1=1\).
Schritt 2 — nur noch die IdeeZähle für jedes \(l\) die Orientierungen \(2l+1\) und addiere.
Schritt 3 — jetzt du\(l=0\) liefert 1 Orbital (2s), \(l=1\) liefert 3 Orbitale (2p). Zusammen \(4=2^2\) — allgemein sind es \(n^2\).

So liest du eine Radialverteilung

Warum ist die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit beim 1s-Orbital am Kern null, obwohl \(|\psi|^2\) dort am größten ist?

Schritt 1 — komplett vorgemachtZwei verschiedene Größen: \(|\psi|^2\) ist die Dichte pro Volumen, die Radialverteilung fragt nach der Wahrscheinlichkeit in einer Kugelschale beim Abstand \(r\).
Schritt 2 — nur noch die IdeeÜberlege, wie groß das Volumen einer dünnen Kugelschale mit Radius \(r\) ist.
Schritt 3 — jetzt duDie Schale hat das Volumen \(4\pi r^2\,\Delta r\) und schrumpft für \(r\to0\) auf null. Das Produkt aus großer Dichte und verschwindendem Volumen ergibt null — das Maximum liegt deshalb bei \(a_0=53\,\text{pm}\).
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Allgemeine Hinweise

Orbital ist keine Bahn

Die Hantelform des 2p-Orbitals ist kein Flugweg. Das Elektron „fliegt“ nicht auf einer Acht herum — die Form gibt nur an, wo eine Messung es wahrscheinlich antrifft.

Dichte und Radialverteilung unterscheiden

\(|\psi|^2\) ist am Kern maximal, die radiale Verteilung dagegen null. Beide Aussagen stimmen — sie beantworten verschiedene Fragen.

Knoten zählen statt auswendig lernen

Ein Orbital mit \(n\) und \(l\) hat \(n-l-1\) Knotenkugeln und \(l\) Knotenebenen. Für 2s: \(2-0-1=1\) Kugel; für 2p: eine Ebene.

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