Die Balmer-Linien einer Wasserstofflampe
AFB IIIm Praktikum betrachtet ein Kurs das Licht einer Wasserstoff-Gasentladungsröhre durch ein Gitterspektrometer. Auf dem Schirm erscheinen mehrere scharfe farbige Linien (Material M1); die Wellenlänge einer Linie konnte nicht abgelesen werden. Für die sichtbare Serie des Wasserstoffs gilt \(\dfrac{1}{\lambda} = R_H\left(\dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{n^2}\right)\) mit \(n = 3, 4, 5, \dots\) und \(R_H = 1{,}097\cdot 10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}\).
- Beschreiben Sie in drei Schritten, wie in der Röhre eine einzelne Emissionslinie zustande kommt.
- Berechnen Sie die Wellenlänge der Linie, die zum Übergang \(n=5 \to 2\) gehört, und ordnen Sie sie einer Linie in M1 zu.
- Bestimmen Sie die Wellenlänge der Seriengrenze dieser Serie und geben Sie den zugehörigen Spektralbereich an.
- Erklären Sie, warum die Linien in M1 zur kurzwelligen Seite hin immer dichter liegen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
1. Anregung: In der Gasentladung stoßen beschleunigte Elektronen mit den Wasserstoffatomen zusammen und heben deren Elektron auf ein höheres Energieniveau. Das Atom ist damit angeregt.
2. Verweilen: Der angeregte Zustand ist instabil; nach etwa \(10^{-8}\,\mathrm s\) fällt das Elektron von selbst auf ein tieferes Niveau zurück (spontane Emission).
3. Emission: Die frei werdende Energie \(\Delta W = W_\text{hoch} - W_\text{tief}\) verlässt das Atom vollständig als ein Photon. Weil \(\Delta W\) einen festen Wert hat, hat das Licht eine feste Wellenlänge — es entsteht eine scharfe Linie.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Klammer: \(\dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{25} = \dfrac{25-4}{100} = 0{,}2100\).
Ansatz: \(\dfrac{1}{\lambda} = 1{,}097\cdot 10^{7}\,\mathrm{m^{-1}} \cdot 0{,}2100 = 2{,}304\cdot 10^{6}\,\mathrm{m^{-1}}\).
Ergebnis: \(\lambda = \dfrac{1}{2{,}304\cdot 10^{6}\,\mathrm{m^{-1}}} \approx 4{,}34\cdot 10^{-7}\,\mathrm m = 434\,\mathrm{nm}\).
Das ist genau die Linie, deren Wellenlänge in M1 fehlt — die violettblaue Linie zwischen \(410\,\mathrm{nm}\) und \(486\,\mathrm{nm}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Seriengrenze entspricht dem Grenzfall \(n \to \infty\); dann geht \(\dfrac{1}{n^2} \to 0\).
Ansatz: \(\dfrac{1}{\lambda_\text{Grenze}} = R_H \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1{,}097\cdot 10^{7}}{4}\,\mathrm{m^{-1}} = 2{,}743\cdot 10^{6}\,\mathrm{m^{-1}}\).
Ergebnis: \(\lambda_\text{Grenze} \approx 3{,}65\cdot 10^{-7}\,\mathrm m = 365\,\mathrm{nm}\).
Das liegt unterhalb von \(380\,\mathrm{nm}\), also bereits im ultravioletten Bereich und damit außerhalb des sichtbaren Spektrums in M1. Physikalisch entspricht die Seriengrenze dem Übergang eines gerade freien Elektrons (\(W=0\)) auf das Niveau \(n=2\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Jede Linie gehört zu einem Sprung auf das Niveau \(n=2\), wobei das Startniveau von Linie zu Linie um eins wächst: \(3\to2\), \(4\to2\), \(5\to2\), …
Die Energieniveaus des Wasserstoffs rücken nach oben aber immer enger zusammen und laufen gegen die Ionisierungsgrenze \(W=0\). Der Zuwachs an Sprunghöhe wird deshalb von Linie zu Linie kleiner: Von \(3\to2\) auf \(4\to2\) wächst \(\Delta W\) noch deutlich (von \(1{,}89\) auf \(2{,}55\,\mathrm{eV}\)), von \(5\to2\) auf \(6\to2\) dagegen kaum noch.
Weil größere \(\Delta W\) zu kürzeren Wellenlängen gehören, wandern die Linien nach links und ihre Abstände schrumpfen — bis sie sich bei \(365\,\mathrm{nm}\) an der Seriengrenze häufen.
Spektralanalyse einer unbekannten Gasprobe
AFB IIIIn einer Entladungsröhre befindet sich eine unbekannte Gasmischung. Ein Kurs nimmt ihr Emissionsspektrum im sichtbaren Bereich auf (Material M1) und vergleicht es mit einer Spektraltabelle (Material M2). Rechnen Sie mit \(h\,c = 1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\).
| Element | sichtbare Linien in nm |
|---|---|
| Wasserstoff | 434 · 486 · 656 |
| Helium | 447 · 502 · 588 · 668 |
| Natrium | 589 (sehr eng benachbartes Linienpaar) |
- Ordnen Sie die gemessenen Linien den Elementen aus M2 zu und geben Sie an, welche Elemente die Probe demnach enthält.
- Berechnen Sie die Photonenenergie der Linie bei \(589\,\mathrm{nm}\).
- Eine Gruppe schließt aus dem Fehlen der Heliumlinie bei \(502\,\mathrm{nm}\), dass die Probe kein Helium enthält. Beurteilen Sie diese Schlussfolgerung.
- Entwickeln Sie ein Verfahren, mit dem sich prüfen lässt, ob die Linie bei \(589\,\mathrm{nm}\) tatsächlich aus zwei eng benachbarten Linien besteht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Zuordnung der fünf gemessenen Linien:
\(447\,\mathrm{nm}\) → Helium · \(486\,\mathrm{nm}\) → Wasserstoff · \(589\,\mathrm{nm}\) → Natrium (Helium hat dort mit \(588\,\mathrm{nm}\) eine sehr nahe Linie) · \(656\,\mathrm{nm}\) → Wasserstoff · \(668\,\mathrm{nm}\) → Helium.
Damit sind Wasserstoff (zwei Linien) und Helium (zwei Linien) eindeutig nachgewiesen. Bei \(589\,\mathrm{nm}\) ist die Zuordnung nicht eindeutig, weil Natrium (589 nm) und Helium (588 nm) hier zu dicht beieinanderliegen: Natrium ist mit diesem Spektrum also nur möglich, nicht nachgewiesen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(W = \dfrac{h\,c}{\lambda} = \dfrac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{589\,\mathrm{nm}}\).
Ergebnis: \(W \approx 2{,}11\,\mathrm{eV}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Schlussfolgerung ist nicht haltbar.
Erstens sprechen zwei andere Linien, \(447\,\mathrm{nm}\) und \(668\,\mathrm{nm}\), klar für Helium. Ein Element gilt schon dann als nachgewiesen, wenn ein charakteristisches Linienmuster vorhanden ist; es müssen nicht alle Tabellenlinien auftreten.
Zweitens gibt es mehrere Gründe, warum eine einzelne Linie fehlen kann: Die Linien eines Elements sind unterschiedlich intensiv, und die Anregungsbedingungen in der Röhre (Gasdruck, Stromstärke, Temperatur) bestimmen, welche Niveaus überhaupt besetzt werden. Außerdem ist die Empfindlichkeit von Auge, Kamera und Gitter nicht in allen Wellenlängenbereichen gleich; eine schwache Linie kann im Untergrund untergehen.
Angemessen wäre: Aus dem Fehlen einer Linie folgt nur, dass sie unter diesen Bedingungen nicht nachweisbar war — nicht, dass das Element fehlt. Ein Vorhandensein von Linien ist beweiskräftig, ein Fehlen ist es nicht.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Ziel: Die Linie so weit auffächern, dass zwei getrennte Maxima sichtbar werden.
Aufbau und Durchführung: Man ersetzt das bisherige Gitter durch eines mit deutlich mehr Strichen pro Millimeter und beobachtet zusätzlich in einer höheren Beugungsordnung, weil dort der Winkelabstand zweier benachbarter Wellenlängen größer ist. Der Spalt wird so eng wie möglich gewählt, damit die Linien scharf bleiben. Gemessen wird die Intensität entlang des Spektrums, zum Beispiel mit einer Kamera oder einem Fotodetektor auf einer Verschiebeschiene.
Kontrolle: Parallel nimmt man mit demselben Aufbau das Spektrum einer reinen Natrium-Referenzlampe auf, deren Doppellinie bekannt ist. Zeigt der Aufbau dort zwei Maxima, ist er empfindlich genug; erscheint die Probenlinie dann ebenfalls doppelt, ist die Frage beantwortet.
Erwartetes Ergebnis: Bei ausreichender Auflösung spaltet sich die Linie in zwei Maxima im Abstand von weniger als einem Nanometer auf. Bleibt sie einfach, obwohl die Referenzlampe aufgespalten wird, stammt die Linie nicht von Natrium — dann liegt eher die Heliumlinie bei \(588\,\mathrm{nm}\) vor.