Stromeinbrüche in der Quecksilberdampf-Röhre
AFB IIIn einer Franck-Hertz-Röhre werden Elektronen aus einer glühenden Kathode durch verdünnten Quecksilberdampf zu einem Gitter hin beschleunigt; hinter dem Gitter hält eine kleine Gegenspannung die langsamsten Elektronen zurück (Material M1). Erhöht man die Beschleunigungsspannung \(U\) langsam, ergibt sich die Kennlinie in Material M2. Rechnen Sie mit \(h\,c = 1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\).
- Beschreiben Sie die Aufgaben von Kathode, Gitter und Gegenspannung im Versuchsaufbau.
- Bestimmen Sie aus der Kennlinie in M2 die Anregungsenergie der Quecksilberatome.
- Erklären Sie den Verlauf der Kennlinie zwischen dem ersten und dem zweiten Einbruch.
- Berechnen Sie die Wellenlänge des Photons, das ein angeregtes Quecksilberatom beim Rücksprung aussendet, und ordnen Sie sie einem Spektralbereich zu.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kathode: Sie wird geheizt und setzt dadurch freie Elektronen ins Innere der Röhre frei (Glühemission). Sie ist die Quelle der Elektronen.
Gitter: Es liegt gegenüber der Kathode auf der positiven Spannung \(U\) und beschleunigt die Elektronen auf ihrem Weg. Nach dem Durchlaufen der vollen Spannung besitzt ein Elektron die kinetische Energie \(W_\text{kin} = e\cdot U\). Weil es ein Gitter und keine massive Platte ist, können die Elektronen hindurchfliegen.
Gegenspannung: Zwischen Gitter und Anode wirkt sie den Elektronen entgegen. Nur Elektronen mit ausreichender Restenergie erreichen die Anode und tragen zum Auffangstrom bei. Dadurch wird ein Energieverlust im Gas überhaupt erst als Stromrückgang messbar — die Gegenspannung wirkt als Energiefilter.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Kennlinie in M2 bricht in regelmäßigen Abständen ein: bei rund \(4{,}9\,\mathrm V\), \(9{,}8\,\mathrm V\) und \(14{,}7\,\mathrm V\).
Der Abstand zwischen zwei Einbrüchen beträgt also \(\Delta U = 4{,}9\,\mathrm V\).
Wegen \(W_\text{kin} = e\cdot U\) entspricht diesem Spannungsabstand die Energie \(\Delta W = e \cdot 4{,}9\,\mathrm V = 4{,}9\,\mathrm{eV}\).
Die Anregungsenergie der Quecksilberatome beträgt damit \(\Delta W \approx 4{,}9\,\mathrm{eV}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Unmittelbar nach dem ersten Einbruch haben die Elektronen kurz vor dem Gitter ihre \(4{,}9\,\mathrm{eV}\) bei einem inelastischen Stoß abgegeben und sind praktisch bewegungslos. Sie schaffen die Gegenspannung nicht mehr, der Strom ist klein.
Erhöht man \(U\) weiter, geschieht zweierlei: Der Ort, an dem ein Elektron die \(4{,}9\,\mathrm{eV}\) beisammen hat, wandert näher zur Kathode. Auf der verbleibenden Reststrecke bis zum Gitter wird das Elektron erneut beschleunigt und sammelt wieder Energie. Diese Restenergie wächst mit \(U\), sodass immer mehr Elektronen die Gegenspannung überwinden — der Strom steigt wieder an.
Er steigt so lange, bis die Restenergie erneut \(4{,}9\,\mathrm{eV}\) erreicht. Dann kann jedes Elektron ein zweites Atom anregen, verliert wieder seine gesamte Energie, und der Strom bricht bei \(9{,}8\,\mathrm V\) erneut ein.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Das angeregte Atom fällt in den Grundzustand zurück und gibt dabei genau die Anregungsenergie als Photon ab: \(\Delta W = 4{,}9\,\mathrm{eV}\).
Ansatz: \(\lambda = \dfrac{h\,c}{\Delta W} = \dfrac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{4{,}9\,\mathrm{eV}}\).
Ergebnis: \(\lambda \approx 253\,\mathrm{nm}\).
Das liegt deutlich unterhalb von \(380\,\mathrm{nm}\), also im ultravioletten Bereich. Deshalb bleibt das Leuchten der Quecksilberdampf-Röhre für das Auge unsichtbar, obwohl die Anregung stattfindet.
Eine Messreihe kritisch auswerten
AFB IIIEine Schülergruppe nimmt die Kennlinie einer Franck-Hertz-Röhre auf und liest die Spannungen ab, bei denen der Auffangstrom einbricht (Material M1). Aus dem ersten Wert schließt sie: „Die Anregungsenergie des Quecksilbers beträgt \(6{,}4\,\mathrm{eV}\).“ Der Literaturwert liegt bei \(4{,}9\,\mathrm{eV}\).
| Einbruch \(k\) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Spannung \(U_k\) in V | 6,4 | 11,3 | 16,2 | 21,1 |
- Ermitteln Sie aus den Messwerten in M1 die Anregungsenergie der Quecksilberatome.
- Prüfen Sie die Auswertung der Gruppe und erklären Sie, wodurch die Abweichung zustande kommt.
- Ein Gruppenmitglied schlägt vor, künftig nur noch \(U_1\) und \(U_4\) zu messen und daraus den Wert zu berechnen. Bewerten Sie diesen Vorschlag.
- Entwickeln Sie ein Auswerteverfahren, mit dem die Gruppe aus ihren Messwerten zusätzlich die störende Zusatzspannung bestimmen kann.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Differenzen benachbarter Einbrüche:
\(U_2 - U_1 = 11{,}3\,\mathrm V - 6{,}4\,\mathrm V = 4{,}9\,\mathrm V\) · \(U_3 - U_2 = 4{,}9\,\mathrm V\) · \(U_4 - U_3 = 4{,}9\,\mathrm V\).
Der Abstand ist konstant: \(\Delta U = 4{,}9\,\mathrm V\). Wegen \(W = e\cdot U\) folgt \(\Delta W = 4{,}9\,\mathrm{eV}\) — in sehr guter Übereinstimmung mit dem Literaturwert.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Auswertung der Gruppe ist nicht korrekt. Sie verwendet die absolute Lage des ersten Einbruchs, obwohl nur die Abstände aussagekräftig sind.
Das zeigen die Daten selbst: Alle Abstände betragen exakt \(4{,}9\,\mathrm V\), während der erste Einbruch um \(6{,}4 - 4{,}9 = 1{,}5\,\mathrm V\) zu spät liegt. Diese Verschiebung ist für alle Einbrüche gleich groß — es handelt sich also um einen systematischen Fehler, nicht um Streuung: \(U_k = 1{,}5\,\mathrm V + k\cdot 4{,}9\,\mathrm V\).
Ursache ist, dass die tatsächlich am Elektron wirkende Beschleunigungsspannung nicht mit der abgelesenen übereinstimmt. Zwischen der glühenden Kathode und dem Gitter besteht wegen der unterschiedlichen Elektrodenmaterialien eine zusätzliche Kontaktspannung; hinzu kommt die Gegenspannung, die das Elektron ebenfalls überwinden muss. Beide Beiträge verschieben die gesamte Kennlinie um einen festen Betrag nach rechts, ohne die Abstände zu verändern.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Rechnerisch liefert der Vorschlag ein gutes Ergebnis: \(\Delta U = \dfrac{U_4 - U_1}{3} = \dfrac{21{,}1\,\mathrm V - 6{,}4\,\mathrm V}{3} = 4{,}9\,\mathrm V\). Weil die Ableseunsicherheit von \(\pm 0{,}1\,\mathrm V\) hier auf drei Intervalle verteilt wird, sinkt sie auf etwa \(\pm 0{,}05\,\mathrm V\) — das ist genauer als jede Einzeldifferenz.
Dagegen spricht der Verlust an Kontrolle: Werden die mittleren Einbrüche gar nicht mehr gemessen, lässt sich nicht mehr prüfen, ob die Abstände tatsächlich konstant sind. Genau diese Konstanz ist aber die eigentliche Aussage des Versuchs — sie belegt, dass die Atome die Energie in stets gleich großen Portionen aufnehmen. Ein Ablesefehler bei \(U_1\) oder \(U_4\) bliebe zudem unentdeckt, weil es keine zweite Information mehr gibt.
Urteil: Als Rechenweg ist der Vorschlag der Einzeldifferenz überlegen, als Messplan ist er ein Rückschritt. Sinnvoll ist, weiterhin alle Einbrüche zu messen und für die Auswertung den Abstand über die gesamte Reihe zu mitteln — noch besser über eine Ausgleichsgerade, wie in Teilaufgabe d).
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Modellansatz: Nach Teilaufgabe b) gilt für die gemessenen Spannungen \(U_k = U_\text{Zus} + k\cdot\Delta U\). Das ist eine lineare Beziehung zwischen \(U_k\) und der Nummer \(k\) des Einbruchs — mit der Steigung \(\Delta U\) und dem Achsenabschnitt \(U_\text{Zus}\).
Verfahren: Man trägt die gemessenen Spannungen \(U_k\) über der Nummer \(k = 1, 2, 3, 4\) auf und legt eine Ausgleichsgerade durch die Punkte. Die Steigung liefert die Anregungsspannung, der Schnittpunkt mit der \(U\)-Achse bei \(k = 0\) liefert die gesuchte Zusatzspannung.
Anwendung auf die Messwerte: Die Punkte \((1|6{,}4)\), \((2|11{,}3)\), \((3|16{,}2)\), \((4|21{,}1)\) liegen exakt auf einer Geraden mit der Steigung \(4{,}9\,\mathrm V\). Für \(k=0\) ergibt sich \(U_\text{Zus} = 6{,}4\,\mathrm V - 4{,}9\,\mathrm V = 1{,}5\,\mathrm V\).
Vorteil: Das Verfahren nutzt alle Messwerte, trennt den systematischen Fehler sauber vom gesuchten Wert und macht zugleich sichtbar, ob die Linearität überhaupt erfüllt ist — weichen einzelne Punkte von der Geraden ab, liegt ein weiterer Fehler vor.