Die Balmer-Serie berechnen und deuten
AFB IIDie Materialien M1 und M2 zeigen die vier mit bloßem Auge sichtbaren Linien des Wasserstoffs. Für sie gilt die Balmer-Formel \(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right)\) mit \(R_H=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\) und \(n=3,4,5,\dots\). Für die Energieniveaus gilt \(W_n=-\dfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}\); rechnen Sie mit \(hc=1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\).
| Bezeichnung | Startniveau n | gemessene Wellenlänge λ in nm |
|---|---|---|
| Hα | 3 | 656,3 |
| Hβ | 4 | 486,1 |
| Hγ | 5 | 434,0 |
| Hδ | 6 | 410,2 |
- Berechnen Sie mit der Balmer-Formel die Wellenlänge der Linie \(\mathrm{H}_\delta\) (\(n=6\)) und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Messwert aus M1.
- Berechnen Sie die Wellenlänge der Seriengrenze und erklären Sie, welcher Übergang ihr entspricht.
- Bestimmen Sie durch Rechnung den Wert des Produkts \(R_H\cdot h\cdot c\) und deuten Sie das Ergebnis physikalisch.
- Begründen Sie anhand von M2, warum die Linien der Serie zur Seriengrenze hin immer dichter zusammenrücken.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Klammer: \(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{36}=0{,}2500-0{,}0278=0{,}2222\).
\(\dfrac{1}{\lambda}=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\cdot0{,}2222=2{,}438\cdot10^{6}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\).
\(\lambda=\dfrac{1}{2{,}438\cdot10^{6}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}}=4{,}102\cdot10^{-7}\,\mathrm{m}=410{,}2\,\mathrm{nm}\).
Der Messwert aus M1 beträgt ebenfalls \(410{,}2\,\mathrm{nm}\). Rechnung und Messung stimmen auf vier gültige Ziffern überein — ein starker Beleg dafür, dass die Formel nicht nur an die vier bekannten Linien angepasst ist, sondern die Serie tatsächlich beschreibt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Für \(n\to\infty\) gilt \(\dfrac{1}{n^2}\to 0\), also \(\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{R_H}{4}=2{,}743\cdot10^{6}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\).
\(\lambda=3{,}646\cdot10^{-7}\,\mathrm{m}=364{,}6\,\mathrm{nm}\) — das ist genau Balmers Konstante \(G\).
Physikalisch entspricht dieser Grenzfall dem Sprung eines Elektrons, das gerade eben frei war (\(W\approx 0\)), hinunter auf das Niveau \(n=2\). Es ist der größtmögliche Sprung dieser Serie und damit die kürzeste Wellenlänge, die Balmer-Linien annehmen können.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(R_H\cdot h\cdot c = 1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\cdot 1{,}240\cdot10^{-6}\,\mathrm{eV\cdot m}\approx 13{,}6\,\mathrm{eV}\).
Deutung: \(13{,}6\,\mathrm{eV}\) ist genau der Betrag des Grundzustands \(W_1\) und damit die Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms.
Damit lässt sich die Balmer-Formel unmittelbar in die Energieform übersetzen: \(\Delta W=\dfrac{hc}{\lambda}=R_H\,hc\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{n^2}\right)=13{,}6\,\mathrm{eV}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{n^2}\right)\).
Balmers empirische Konstante ist also keine eigenständige Größe, sondern die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs, nur in einer anderen Einheit ausgedrückt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der Abstand zweier benachbarter Linien wird durch die Änderung der Klammer bestimmt.
Werte: \(n=3{:}\ 0{,}1389\); \(n=4{:}\ 0{,}1875\); \(n=5{:}\ 0{,}2100\); \(n=6{:}\ 0{,}2222\); Grenze: \(0{,}2500\).
Die Zuwächse betragen \(0{,}0486\), \(0{,}0225\), \(0{,}0122\) — sie werden von Schritt zu Schritt etwa halb so groß, weil \(\tfrac{1}{n^2}\) quadratisch abnimmt.
In Wellenlängen ausgedrückt: \(656\to486\) sind \(170\,\mathrm{nm}\) Unterschied, \(434\to410\) nur noch \(24\,\mathrm{nm}\). In M2 sieht man das unmittelbar an den zusammenrückenden Linien am violetten Rand.
Fazit: Weil die Energieniveaus nach oben immer enger liegen und sich der Ionisierungsgrenze nähern, unterscheiden sich hohe Startniveaus kaum noch. Die Serie läuft deshalb auf die Seriengrenze bei \(365\,\mathrm{nm}\) zu, ohne sie zu überschreiten.
Die Rydberg-Konstante aus Messdaten bestimmen
AFB IIIEine Lerngruppe misst an einer Wasserstofflampe die vier sichtbaren Linien und trägt \(\tfrac{1}{\lambda}\) über \(\tfrac{1}{n^2}\) auf (M3, M4). Sie erwartet nach der Balmer-Formel einen linearen Zusammenhang der Form \(\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{R_H}{4}-R_H\cdot\dfrac{1}{n^2}\). Rechnen Sie mit \(hc=1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\); der Literaturwert lautet \(R_H=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\).
| n | λ in nm | 1/n² | 1/λ in 10⁶ 1/m |
|---|---|---|---|
| 3 | 656,3 | 0,1111 | 1,524 |
| 4 | 486,1 | 0,0625 | 2,057 |
| 5 | 434,0 | 0,0400 | ? |
| 6 | 410,2 | ? | 2,438 |
- Berechnen Sie die beiden in M3 fehlenden Werte.
- Bestimmen Sie aus M4 die Steigung und den Achsenabschnitt der Ausgleichsgeraden und ermitteln Sie daraus zwei voneinander unabhängige Werte für \(R_H\).
- Die Gruppe möchte ihre Konstante an einer Vorhersage prüfen. Entwickeln Sie aus dem gefundenen \(R_H\) die Wellenlänge des Übergangs \(3\to1\) und beurteilen Sie, ob sich diese Linie mit derselben Lampe im Sichtbaren nachweisen lässt.
- Ein Mitschüler sagt: „Die lineare Auftragung ist ein Umweg — man könnte \(R_H\) doch einfach aus einer einzigen Linie ausrechnen.“ Diskutieren Sie diese Aussage.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Für \(n=5\): \(\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{434{,}0\cdot10^{-9}\,\mathrm{m}}=2{,}304\cdot10^{6}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\).
Für \(n=6\): \(\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{36}=0{,}0278\).
Die vollständige Tabelle lautet damit: \((0{,}1111\,|\,1{,}524)\), \((0{,}0625\,|\,2{,}057)\), \((0{,}0400\,|\,2{,}304)\), \((0{,}0278\,|\,2{,}438)\) — jeweils in \(10^{6}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Steigung aus dem ersten und letzten Punkt:
\(m=\dfrac{(2{,}438-1{,}524)\cdot10^{6}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}}{0{,}0278-0{,}1111}=\dfrac{0{,}914\cdot10^{6}}{-0{,}0833}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\approx-1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\).
Der Vergleich mit \(\tfrac{1}{\lambda}=\tfrac{R_H}{4}-R_H\cdot\tfrac{1}{n^2}\) zeigt: Die Steigung ist \(-R_H\), also \(R_H\approx1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\).
Achsenabschnitt (Ablesen bei \(\tfrac{1}{n^2}=0\)): \(b\approx2{,}74\cdot10^{6}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\). Wegen \(b=\tfrac{R_H}{4}\) folgt \(R_H=4b\approx1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\).
Beide Wege liefern denselben Wert und stimmen mit dem Literaturwert überein. Der Achsenabschnitt hat zusätzlich eine anschauliche Bedeutung: Er ist der Kehrwert der Seriengrenze, \(\tfrac{1}{364{,}6\,\mathrm{nm}}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Für den Übergang \(3\to1\) gilt \(n_\text{tief}=1\) und \(n_\text{hoch}=3\):
\(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{9}\right)=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\cdot0{,}8889=9{,}75\cdot10^{6}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\).
\(\lambda\approx1{,}026\cdot10^{-7}\,\mathrm{m}=102{,}6\,\mathrm{nm}\).
Beurteilung: Mit \(102{,}6\,\mathrm{nm}\) liegt die Linie tief im Ultravioletten und damit weit außerhalb des sichtbaren Fensters — mit bloßem Auge oder einem gewöhnlichen Schulspektrometer ist sie nicht nachweisbar. Hinzu kommt, dass Luft und normales Glas Strahlung unterhalb von etwa \(200\,\mathrm{nm}\) stark absorbieren; man bräuchte ein evakuiertes Spektrometer mit Quarz- oder Fluorid-Optik.
Die Vorhersage ist trotzdem wertvoll: Sie zeigt, dass dieselbe Konstante \(R_H\) auch außerhalb des Bereichs gilt, aus dem sie gewonnen wurde — genau das macht eine physikalische Gesetzmäßigkeit aus, im Unterschied zu einer bloßen Anpassung an vier Zahlen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Der Mitschüler hat rechnerisch recht: Aus einer einzigen Linie, etwa \(\mathrm{H}_\alpha\), folgt sofort \(R_H=\dfrac{1}{\lambda\cdot0{,}1389}=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\mathrm{m}}\). Für eine schnelle Abschätzung genügt das.
Dagegen sprechen jedoch drei Punkte:
Erstens mittelt die Gerade zufällige Messfehler heraus. Ein einzelner Ablesefehler geht dagegen ungedämpft in das Ergebnis ein.
Zweitens — und das ist entscheidend — prüft die Auftragung überhaupt erst, ob der behauptete Zusammenhang stimmt. Nur wenn die Punkte tatsächlich auf einer Geraden liegen, ist die Abhängigkeit von \(\tfrac{1}{n^2}\) bestätigt. Aus einem einzigen Wertepaar lässt sich stets eine Konstante berechnen, selbst wenn die zugrunde gelegte Formel völlig falsch ist.
Drittens liefert die Gerade mit Steigung und Achsenabschnitt zwei unabhängige Bestimmungen von \(R_H\). Stimmen beide überein, ist das ein zusätzlicher Hinweis darauf, dass keine systematische Verschiebung (etwa eine falsch kalibrierte Skala) vorliegt.
Ergebnis: Für einen reinen Zahlenwert ist der Einzelweg zulässig, für eine Überprüfung des Gesetzes jedoch ungeeignet. Die lineare Auswertung ist deshalb kein Umweg, sondern der eigentliche Erkenntnisgewinn des Experiments.