Wasserstoff: Balmer-Formel

Erklärung — Balmers Formel und das Termschema

Balmers Fund von 1885

Der Basler Lehrer Johann Jakob Balmer suchte 1885 ein Muster in vier gemessenen Wasserstofflinien — lange bevor man Energieniveaus kannte.

Die Messwerte:\(656{,}3\,\text{nm}\) (rot), \(486{,}1\,\text{nm}\) (blaugrün), \(434{,}0\,\text{nm}\) (violett) und \(410{,}2\,\text{nm}\).
Sein Ergebnis:\(\lambda=G\cdot\dfrac{m^2}{m^2-4}\) mit \(G=364{,}6\,\text{nm}\) und \(m=3,4,5,6\) — vier Zahlen aus einer einzigen Konstanten.
Der Haken:eine physikalische Erklärung fehlte fast 30 Jahre lang.

Die moderne Schreibweise

Heute schreibt man Balmers Formel mit Kehrwerten.

Balmer-Formel:\(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right)\) mit \(n=3,4,5,\dots\)
Rydberg-Konstante:\(R_H=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\text{m}}\) (gemessen).
Seriengrenze:Für \(n\to\infty\) verschwindet \(\tfrac{1}{n^2}\); es bleibt \(\tfrac{1}{\lambda}=\tfrac{R_H}{4}\), also \(\lambda\approx365\,\text{nm}\).

Der Anschluss ans Termschema

Die Energieniveaus aus 7.3.3 erklären, warum die Formel funktioniert.

Verallgemeinerung:\(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\dfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\right)\). Balmer ist einfach der Fall \(n_\text{tief}=2\).
Brücke zur Energie:\(R_H\cdot h c=1{,}097\cdot10^{7}\,\tfrac{1}{\text{m}}\cdot1240\,\text{eV⋅nm}=13{,}6\,\text{eV}\) — genau die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs.
Deutung:Balmers \(m\) ist die Quantenzahl \(n\) des Startniveaus, seine Konstante \(G\) die Seriengrenze.

Links siehst du, wo die Linie im Spektrum landet, rechts stehen die beiden Rechenwege nebeneinander: einmal über die Balmer-Formel, einmal über das Termschema. Beide müssen dasselbe liefern.

gewählte Linieübrige SerieSeriengrenze 365 nm

Startniveau n (Ziel ist immer n = 2)

n = 3

Die H-alpha-Linie: der kleinste Sprung der Serie, deshalb die längste Welle und die rote Farbe.

Klammer \(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{n^2}\)	–
\(1/\lambda\) nach Balmer	–
\(\lambda\) nach Balmer	–
\(\lambda\) über \(\Delta W\)	–
Farbe	–

Balmer-Formel und ihre Verallgemeinerung

\(\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right)\qquad \dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\dfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\right)\qquad R_H\,hc=13{,}6\,\text{eV}\)

\(n\ge3\): Startniveau · \(R_H\): Rydberg-Konstante. Die Formel liefert \(\tfrac{1}{\lambda}\) — am Ende den Kehrwert bilden.

So berechnest du eine Balmer-Linie

Welche Wellenlänge hat die Linie mit dem Startniveau \(n=5\)?

Schritt 1 — komplett vorgemachtKlammer ausrechnen: \(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{25}=0{,}2500-0{,}0400=0{,}2100\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeMultipliziere mit \(R_H\) und bilde am Ende den Kehrwert.

Schritt 3 — jetzt du\(\tfrac{1}{\lambda}=1{,}097\cdot10^{7}\cdot0{,}2100=2{,}304\cdot10^{6}\,\tfrac{1}{\text{m}}\), also \(\lambda=4{,}34\cdot10^{-7}\,\text{m}=434\,\text{nm}\) — violett.

So prüfst du das Ergebnis am Termschema

Liefert der Weg über die Energieniveaus dieselbe Wellenlänge?

Schritt 1 — komplett vorgemachtEnergien: \(W_5=-\tfrac{13{,}6}{25}=-0{,}544\,\text{eV}\), \(W_2=-\tfrac{13{,}6}{4}=-3{,}40\,\text{eV}\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeBilde \(\Delta W\) und rechne mit \(\lambda=\tfrac{1240}{\Delta W}\) um.

Schritt 3 — jetzt du\(\Delta W=2{,}856\,\text{eV}\) und \(\lambda=\tfrac{1240}{2{,}856}\approx434\,\text{nm}\) — identisch. Beide Formeln beschreiben dieselbe Physik.

Allgemeine Hinweise

Der Kehrwert wird vergessen

Die Formel liefert \(\tfrac{1}{\lambda}\), nicht \(\lambda\). Wer den letzten Schritt überspringt, erhält Zahlen im Millionenbereich statt einiger hundert Nanometer.

Einheiten von \(R_H\)

\(R_H\) ist in \(\tfrac{1}{\text{m}}\) angegeben. Das Ergebnis \(\lambda\) kommt daher in Metern heraus — für Nanometer noch mit \(10^{9}\) multiplizieren.

Immer die kleinere Zahl zuerst

In der Klammer steht \(\tfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\tfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\). Weil \(n_\text{tief}\lt n_\text{hoch}\), ist der erste Bruch der größere — die Klammer bleibt positiv.