Zum NachschlagenZurück zur ErklärungWellengleichung und Zeiger — Erklärung, Video nachlesen.
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Übungsaufgaben
1Die Wellengleichung in WortenAFB I
Vervollständigen Sie den Text zur Wellengleichung \(y(x,t)=\hat y\cdot\sin(\omega t-kx)\).
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
In der Wellengleichung beschreibt ω = 2π/T die : Sie zählt, wie viel Phase pro Sekunde dazukommt. Entsprechend gibt k = 2π/λ die an, also die Phase pro Meter. Das Minuszeichen vor kx sorgt dafür, dass weiter rechts liegende Punkte zu schwingen beginnen. Zwei Punkte im Abstand einer ganzen Wellenlänge schwingen , zwei Punkte im Abstand λ/2 dagegen . Weil 2π einem vollen Umlauf entspricht, liefert die Phasenformel den Wert zunächst im .
Die Gleichung ist symmetrisch gebaut: ω und t bilden den Zeit-Teil, k und x den Ort-Teil — beide messen dasselbe, nämlich Phase, nur einmal pro Sekunde und einmal pro Meter. Wer sich das merkt, braucht k nicht auswendig zu lernen, sondern liest es als „ω für den Ort“ ab. Das Minuszeichen ist kein Schönheitsfehler, sondern der Grund dafür, dass die Welle nach rechts läuft.
2Abstand und PhasendifferenzAFB I
Finden Sie die Paare aus Abstand \(\Delta x\) und zugehöriger Phasendifferenz \(\Delta\varphi\).
Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um. Du hast 16 Versuche.
Alle fünf Paare folgen aus einer einzigen Proportionalität: Ein Bruchteil der Wellenlänge entspricht demselben Bruchteil von 360°. Besonders lehrreich ist das letzte Paar — nach einer ganzen Wellenlänge sieht ein Beobachter keinen Unterschied mehr zum Ausgangspunkt. Phasendifferenzen sind deshalb periodisch: 360° und 0° beschreiben dieselbe Situation.
3Phase zusammensetzenAFB I
Zwei Punkte liegen \(\Delta x=0{,}75\,\lambda\) auseinander.
Stellen Sie die zugehörige Phasendifferenz aus den Bausteinen zusammen.Klicke Bausteine an und aus, bis die Summe genau den Zielwert erreicht. Es gibt mehr Bausteine, als du brauchst.
0
Ziel: 270 °
Der Rechenweg ist 0,75 · 360° = 270°, und genau dieselbe Zahl entsteht hier als 180° + 90°, also aus einer halben plus einer viertel Wellenlänge. Das ist mehr als eine Spielerei: Weil die Phase proportional zum Abstand wächst, darf man Teilstrecken einfach addieren. Achten Sie darauf, dass 270° weder ein Vielfaches von 360° noch 180° plus Vielfache ist — die beiden Punkte schwingen also weder gleich- noch gegenphasig.
4Nach Phasendifferenz ordnenAFB II
Ordnen Sie die fünf Fälle nach wachsender Phasendifferenz \(\Delta\varphi\) — kleinster Wert oben.
Verschiebe die Zeilen mit den Pfeilen (oder mit den Pfeiltasten, wenn eine Zeile den Fokus hat), bis die Reihenfolge stimmt.
1λ = 8,0 m, Δx = 0,50 m
2λ = 2,0 m, Δx = 0,25 m
3λ = 6,0 m, Δx = 1,50 m
4λ = 4,0 m, Δx = 1,50 m
5λ = 3,0 m, Δx = 1,50 m
Der absolute Abstand entscheidet gar nichts — drei Fälle haben dasselbe Δx = 1,50 m und trotzdem 90°, 135° und 180°. Maßgeblich ist allein das Verhältnis Δx/λ, das hier von 0,0625 bis 0,5 wächst. Wer nur auf die Meterzahlen schaut, ordnet zwangsläufig falsch; wer zuerst durch λ teilt, sieht die Reihenfolge sofort.
5Wellenzahl bestimmenAFB II
Eine Welle hat die Wellenlänge \(\lambda=0{,}80\,\mathrm m\).
Berechnen Sie die Wellenzahl \(k\) in \(\tfrac1{\mathrm m}\) auf zwei Nachkommastellen.Nutze k = 2π ÷ λ. Rechne mit π ≈ 3,1416 und trage die Zahl ein.
Mit k = 2π/0,80 m = 7,85 1/m gilt: Auf jedem Meter wächst die Phase um 7,85 rad, also um etwa 450°. Die Einheit 1/m ist dabei der beste Verständnisschlüssel — k ist eine Phase pro Strecke, so wie ω eine Phase pro Zeit ist. Ein häufiger Fehler ist, λ und 2π zu vertauschen; das Ergebnis 0,127 m wäre dann eine Länge und keine Wellenzahl.
6Phasendifferenz in zwei MaßenAFB II
Eine Welle mit \(\lambda=5{,}0\,\mathrm m\); zwei Punkte liegen \(\Delta x=1{,}25\,\mathrm m\) auseinander.
Rechnen Sie Schritt für Schritt bis zum Bogenmaß.Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Welcher Bruchteil einer Wellenlänge ist Δx? (Δx ÷ λ)λ
- Welche Phasendifferenz in Grad gehört dazu? (Anteil · 360°)°
- Wie groß ist die Wellenzahl k? (2π ÷ λ)1/m
- Wie groß ist Δφ im Bogenmaß? (k · Δx)rad
Die Schritte 2 und 4 beschreiben dieselbe Phasendifferenz in zwei Sprachen: 90° und π/2 ≈ 1,57 rad. Beide Wege sind gleichwertig, weil 360° und 2π dasselbe bedeuten. Prüfen Sie am Ende immer, ob Grad und Bogenmaß zueinander passen — wer aus Versehen mit dem Taschenrechner im falschen Winkelmodus arbeitet, merkt den Fehler an dieser Stelle sofort.
7Zeit-Teil oder Ort-Teil?AFB II
Ordnen Sie jeden Ausdruck dem passenden Teil von \(\sin(\omega t-kx)\) zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Zeit-Teil ωt
2Ort-Teil kx
Die beiden Spalten sind exakte Spiegelbilder: T ↔ λ, ω ↔ k, 1/s ↔ 1/m. Übersetzt man eine Aussage über die Zeit in eine über den Ort, muss man nur konsequent tauschen. Diese Symmetrie erklärt auch, warum das Oszillogramm und die Momentaufnahme gleich aussehen — sie zeigen dieselbe Sinusfunktion, einmal über t und einmal über x aufgetragen.
8Wie weit auseinander im Takt?AFB II
Schätzen Sie für jeden Abstand ein, wie weit die beiden Punkte im Takt auseinanderliegen.
Stufe 1 heißt gleichphasig, Stufe 5 gegenphasig; dazwischen liegen je 45°. Wähle für jede Zeile eine Stufe und prüfe dann alles gemeinsam.
1 = gleichphasig (Δφ = 0°)5 = gegenphasig (Δφ = 180°)
Δx = 0
Δx = λ/8
Δx = λ/4
Δx = λ/2
Δx = λ
Δx = 5λ/4
Die beiden letzten Zeilen sind die eigentliche Prüfung: Nach einer ganzen Wellenlänge ist man wieder bei Stufe 1, und 5λ/4 wirkt genauso wie λ/4. Ziehen Sie deshalb vor jeder Einschätzung die vollen Wellenlängen ab und beurteilen Sie nur den Rest. Wer das unterlässt, hält große Abstände fälschlich für große Phasendifferenzen.
9Gleich-, gegen- oder dazwischen?AFB III
Zwei Punkte einer harmonischen Welle liegen \(\Delta x=2{,}5\,\lambda\) auseinander.
Bestimmen Sie über den Entscheidungsbaum die Phasenlage der beiden Punkte.Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Der Baum erzwingt die richtige Reihenfolge: erst die vollen Wellenlängen abziehen, dann den Rest beurteilen. Für Δx = 2,5λ ergibt das 900°, also 2 volle Umläufe plus 180° — die Punkte sind gegenphasig. Der häufigste Fehler ist, aus dem großen Abstand auf eine große Phasendifferenz zu schließen; tatsächlich ist Δφ nach Abzug der Umläufe nie größer als 360°.
10Zwei Korken auf dem WasserAFB III
Auf einer Wasserwelle schwimmen zwei Korken in 1,5 m Abstand. Der eine hebt sich immer genau dann, wenn der andere sinkt.
Untersuchen Sie den Fall Schritt für Schritt.Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was folgt als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Der Fall zeigt, wie viel eine einzige Phasenbeobachtung hergibt: Aus „immer gegenläufig“ folgt Δφ = 180°, daraus eine ganze Familie möglicher Wellenlängen, und erst eine zweite Beobachtung wählt daraus die richtige aus. Genau so arbeitet Physik im Labor — eine Messung liefert meist eine Bedingung, keine eindeutige Zahl. Wer nach dem zweiten Schritt vorschnell auf λ = 3,0 m tippt, hat Glück, aber keine Begründung.