Zum NachschlagenZurück zur ErklärungStehende Wellen — Erklärung, Video nachlesen.
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Übungsaufgaben
1Wie stehende Wellen entstehenAFB I
Vervollständigen Sie den Text zur stehenden Welle.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Eine stehende Welle entsteht, wenn eine laufende Welle am festen Ende wird und sich mit der einlaufenden Welle überlagert. An den treffen beide Wellen ständig zusammen — die Saite ruht dort dauerhaft. Dazwischen liegen die , die Orte größter Amplitude. Anders als die laufende Welle transportiert die stehende Welle keine weiter. Zwischen zwei benachbarten Knoten liegt genau eine Wellenlänge.
Der letzte Satz ist der Schlüssel zu allen Rechnungen: Weil zwischen zwei Knoten stets λ/2 liegt, passen auf die Länge L genau n Halbwellen — daraus folgt unmittelbar λn = 2L/n. Und beachten Sie die Reihenfolge im ersten Satz: Zuerst braucht es die Reflexion, erst danach die Überlagerung. Ohne die rücklaufende Welle gibt es keine ortsfesten Knoten.
2Aussagen prüfenAFB I
Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Die vierte Aussage prüft das Verständnis für den Bruch: Wer den Zusammenhang nur als Merksatz „λ hängt von n ab“ speichert, rät hier oft falsch. Machen Sie sich das Bild klar — mit jeder zusätzlichen Halbwelle muss dieselbe Saitenlänge in mehr Abschnitte zerfallen, also werden die Abschnitte kürzer. Wellenlänge und Ordnungszahl sind zueinander umgekehrt proportional, die Frequenz dagegen wächst proportional mit n.
3Begriffe paarweise findenAFB I
Finden Sie die zusammengehörenden Begriffspaare.
Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.
Die letzten beiden Paare tragen den eigentlichen Kern des Kapitels. „Eigenschwingung“ heißt: Nur ganz bestimmte Wellenlängen sind auf der eingespannten Saite überhaupt möglich, alle anderen löschen sich nach wenigen Reflexionen selbst aus. Und „kein Energietransport“ unterscheidet die stehende von jeder laufenden Welle — die Energie bleibt zwischen zwei Knoten gefangen und pendelt dort zwischen Bewegungs- und Spannungsenergie hin und her.
4Ordnung und Wellenlänge verbindenAFB II
Eine Saite der Länge \(L=1{,}20\,\mathrm m\) ist beidseitig fest eingespannt.
Verbinden Sie jede Harmonische mit der zugehörigen Wellenlänge.Klicke links einen Begriff an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie.
Alle fünf Werte folgen aus derselben Formel λn = 2L/n mit 2L = 2,40 m. Zwei Zeilen verdienen einen zweiten Blick: Bei n = 2 ist die Wellenlänge genau so lang wie die Saite, bei n = 4 nur noch halb so lang. Wer stattdessen λ = L/n rechnet, erhält durchweg die Hälfte der richtigen Werte — der Faktor 2 stammt daher, dass bereits die Grundschwingung nur eine halbe Wellenlänge auf der Saite zeigt.
5Die vierte HarmonischeAFB II
Eine eingespannte Saite schwingt in der vierten Harmonischen (\(n=4\)).
Wählen Sie alle Aussagen aus, die dann zutreffen.Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Vier Bäuche bedeuten vier Halbwellen, also zwei volle Wellenlängen auf der Strecke L — daraus folgt λ4 = L/2 und über f = c/λ die vierfache Grundfrequenz. Die drei falschen Aussagen beschreiben allesamt die Grundschwingung oder ein freies Ende. Halten Sie sich an die Faustregel: n zählt die Bäuche, die Knotenzahl ist stets um eins größer, und die Enden sind bei fester Einspannung nie Bäuche.
6Gitarrensaite durchrechnenAFB II
Auf einer Gitarrensaite der Länge \(L=0{,}65\,\mathrm m\) breiten sich Wellen mit \(c=260\,\mathrm{m/s}\) aus.
Berechnen Sie Schritt für Schritt die Grund- und die dritte Harmonische.Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wie groß ist die Wellenlänge der Grundschwingung? (λ₁ = 2L)m
- Welche Grundfrequenz gehört dazu? (f₁ = c ÷ λ₁)Hz
- Wie groß ist λ₃ = 2L ÷ 3?m
- Welche Frequenz hat die dritte Harmonische?Hz
Die Kette macht den einfachen Bauplan sichtbar: erst die Wellenlänge aus der Geometrie, dann die Frequenz aus f = c/λ. Das Ergebnis 600 Hz = 3 · 200 Hz ist kein Zufall — bei der eingespannten Saite sind alle Eigenfrequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz. Genau darauf beruht der wohlklingende Klang von Saiteninstrumenten: Die Obertöne liegen exakt harmonisch zur Grundfrequenz.
7Der EntstehungswegAFB II
Bringen Sie die Schritte in die richtige zeitliche Reihenfolge.
Verschiebe die Zeilen mit den Pfeiltasten der Karte nach oben oder unten, bis die Reihenfolge stimmt.
1Der Erreger schwingt und schickt eine laufende Welle über die Saite.
2Die Welle erreicht das fest eingespannte Ende.
3Dort wird sie reflektiert und läuft der einlaufenden Welle entgegen.
4Beide Wellen haben dieselbe Wellenlänge und überlagern sich.
5An bestimmten Orten treffen sie dauerhaft gegenphasig zusammen — dort entstehen Knoten.
6Das Muster aus Knoten und Bäuchen bleibt ortsfest: die stehende Welle.
Die Reihenfolge erklärt, warum die stehende Welle keine gewöhnliche Welle ist, sondern das Ergebnis einer Überlagerung. Entscheidend ist Schritt 3: Ohne die Reflexion am festen Ende gibt es keine rücklaufende Welle und damit auch kein ortsfestes Muster. Auf einer unendlich langen Saite oder bei perfekt schluckendem Ende bleibt es deshalb immer bei der laufenden Welle.
8Laufend oder stehend?AFB II
Ordnen Sie jede Eigenschaft dem richtigen Bereich zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Bereich — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Bereichs.
1 nur laufende Welle
2 nur stehende Welle
3 beide
Die beiden Karten im Feld „beide“ sind der wichtigste Teil: Auch die stehende Welle hat λ und f — sie entsteht ja aus zwei laufenden Wellen und erbt deren Größen. Der Unterschied liegt nicht in den Kenngrößen, sondern im Verhalten im Raum: Beim laufenden Fall wandert das Muster und trägt Energie mit sich, beim stehenden Fall bleibt es an Ort und Stelle, und die Amplitude hängt vom Ort ab — null im Knoten, maximal im Bauch.
9Welche Harmonische liegt vor?AFB III
Auf einer beidseitig eingespannten Saite mit \(L=0{,}90\,\mathrm m\) beobachten Sie ein ortsfestes Muster mit drei Bäuchen.
Bestimmen Sie über den Entscheidungsbaum den vorliegenden Fall.Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Der Baum erzwingt die richtige Reihenfolge: erst die Randbedingung, dann die Zählung. Die Formel λn = 2L/n gilt ausschließlich dann, wenn beide Enden Knoten sind — bei einem freien oder offenen Ende gelten andere Bedingungen. Erst danach zählt man die Bäuche und erhält n. Für die drei Bäuche folgt hier λ = 2 · 0,90 m ÷ 3 = 0,60 m.
10Rückwärts zur WellengeschwindigkeitAFB III
Eine \(L=0{,}66\,\mathrm m\) lange Saite klingt in der Grundschwingung mit \(f_1=220\,\mathrm{Hz}\) (Kammerton a).
Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) der Welle auf dieser Saite.Bestimme zuerst die Wellenlänge der Grundschwingung und nutze dann c = λ · f. Gib das Ergebnis in m/s an.
Der Weg führt über die Geometrie: λ1 = 2L = 1,32 m, damit c = 1,32 m · 220 Hz ≈ 290 m/s. Zwei Dinge lohnen die Aufmerksamkeit. Erstens ist dieses c die Geschwindigkeit der Welle auf der Saite, nicht die Schallgeschwindigkeit in Luft — der Ton erreicht Sie mit 340 m/s, die Saitenwelle läuft mit rund 290 m/s. Zweitens ist genau das der Weg, auf dem Instrumentenbauer arbeiten: Über die Saitenspannung verändern sie c und damit die Grundfrequenz.