Wellenlänge eines Lasers messen
AFB IIIn einem Michelson-Interferometer wird das Licht eines Lasers am Strahlteiler in zwei Teilstrahlen zerlegt. Ein Teilstrahl läuft zum festen Spiegel S₁, der andere zum beweglichen Spiegel S₂; beide werden zurückgeworfen und überlagern sich anschließend auf dem Schirm zu einem Ringmuster (Material M1). Wird S₂ langsam verschoben, so wandern die Ringe nach innen oder außen. Bei einer Verschiebung um \(\Delta d = 31{,}6\ \mathrm{\mu m}\) werden \(N = 100\) Ringdurchgänge gezählt.
Der bewegliche Spiegel S₂ lässt sich mit einer Mikrometerschraube um die Strecke Δd verschieben. Beide Teilstrahlen durchlaufen ihren Arm zweimal.
- Erklären Sie, warum der Gangunterschied beim Verschieben des Spiegels um \(\Delta d\) um \(2\,\Delta d\) zunimmt.
- Berechnen Sie die Wellenlänge des verwendeten Lasers.
- Berechnen Sie, um welche Strecke S₂ verschoben werden muss, damit genau ein Ringdurchgang stattfindet, und beurteilen Sie, ob sich diese Strecke mit einer gewöhnlichen Mikrometerschraube direkt messen ließe.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Teilstrahl im rechten Arm läuft vom Strahlteiler zum Spiegel S₂ und wieder zurück, durchläuft die Armlänge also zweimal.
Rückt S₂ um \(\Delta d\) nach außen, so verlängert sich der Hinweg um \(\Delta d\) und der Rückweg ebenfalls um \(\Delta d\). Der von diesem Teilstrahl zurückgelegte Weg wächst damit insgesamt um \(2\,\Delta d\). Der Weg des anderen Teilstrahls bleibt unverändert, weil S₁ feststeht. Für den Gangunterschied der beiden am Schirm überlagerten Teilstrahlen gilt deshalb
\(\Delta s = 2\,\Delta d\).
Genau darauf beruht die hohe Empfindlichkeit des Geräts: Eine Spiegelverschiebung wirkt sich doppelt auf den Gangunterschied aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bei jedem Ringdurchgang ändert sich der Gangunterschied um eine volle Wellenlänge. Für \(N\) Durchgänge gilt somit
\(2\,\Delta d = N\cdot\lambda \Rightarrow \lambda = \dfrac{2\,\Delta d}{N}\).
\(\lambda = \dfrac{2\cdot 31{,}6\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}}{100} = 6{,}32\cdot10^{-7}\ \mathrm{m} = 632\ \mathrm{nm}\).
Der Wert liegt im roten Bereich und entspricht dem eines Helium-Neon-Lasers (\(632{,}8\ \mathrm{nm}\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: \(2\,\Delta d = N\lambda\) mit \(N = 1\).
\(\Delta d = \dfrac{\lambda}{2} = \dfrac{632\cdot10^{-9}\ \mathrm{m}}{2} = 3{,}16\cdot10^{-7}\ \mathrm{m} = 316\ \mathrm{nm} = 0{,}316\ \mathrm{\mu m}\).
Beurteilung: Eine gewöhnliche Mikrometerschraube lässt sich auf etwa \(1\ \mathrm{\mu m}\) genau ablesen. Die gesuchte Strecke ist mit \(0{,}316\ \mathrm{\mu m}\) rund dreimal kleiner als diese Ablesegenauigkeit. Eine direkte Messung ist damit unmöglich — man könnte nicht einmal entscheiden, ob sich der Spiegel überhaupt bewegt hat.
Genau deshalb zählt man nicht einen, sondern viele Ringdurchgänge: Für \(N = 100\) beträgt die Verschiebung \(31{,}6\ \mathrm{\mu m}\) und ist mit der Mikrometerschraube auf etwa 3 % genau messbar. Das Interferometer übersetzt eine unmessbar kleine Länge in eine abzählbare Anzahl von Ereignissen — das ist die eigentliche Idee des Verfahrens.
Wärmeausdehnung eines Aluminiumstabs
AFB IIIDer bewegliche Spiegel S₂ wird nicht mehr von Hand verschoben, sondern auf das Ende eines \(l = 100{,}0\ \mathrm{mm}\) langen Aluminiumstabs geklebt. Der Stab wird gleichmäßig um \(\Delta T = 20{,}0\ \mathrm{K}\) erwärmt; dabei dehnt er sich aus und schiebt den Spiegel nach außen. Für die Längenänderung gilt \(\Delta l = \alpha\cdot l\cdot\Delta T\). Der Laser hat die Wellenlänge \(\lambda = 632{,}8\ \mathrm{nm}\) (Material M1).
| Größe | Wert |
|---|---|
| Stablänge \(l\) | 100,0 mm |
| Temperaturerhöhung \(\Delta T\) | 20,0 K |
| Längenausdehnungskoeffizient \(\alpha\) (Aluminium) | 23,0 · 10⁻⁶ 1/K |
| Wellenlänge \(\lambda\) | 632,8 nm |
| Ablesegenauigkeit eines Messschiebers | 0,05 mm |
Die Wärmeausdehnung des übrigen Aufbaus wird vernachlässigt.
- Berechnen Sie die Längenänderung des Stabs.
- Berechnen Sie die Anzahl der Ringdurchgänge, die dabei am Schirm gezählt werden.
- Vergleichen Sie die erreichbare Messgenauigkeit mit der eines Messschiebers und beurteilen Sie, welche Störeinflüsse bei diesem Versuch besonders sorgfältig ausgeschlossen werden müssen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: \(\Delta l = \alpha\cdot l\cdot\Delta T\).
\(\Delta l = 23{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{\frac{1}{K}} \cdot 0{,}1000\ \mathrm{m} \cdot 20{,}0\ \mathrm{K} = 4{,}60\cdot10^{-5}\ \mathrm{m} = 46{,}0\ \mathrm{\mu m}\).
Der Stab wird also nur um etwa ein Zwanzigstel Millimeter länger — das entspricht in etwa dem halben Durchmesser eines Haares.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Spiegel wird um \(\Delta d = \Delta l = 4{,}60\cdot10^{-5}\ \mathrm{m}\) verschoben.
Ansatz: \(N = \dfrac{2\,\Delta d}{\lambda}\).
\(N = \dfrac{2\cdot 4{,}60\cdot10^{-5}\ \mathrm{m}}{632{,}8\cdot10^{-9}\ \mathrm{m}} = 145{,}4\).
Es werden also etwa 145 Ringdurchgänge gezählt. Da beim Zählen nur ganze Durchgänge erfasst werden, gibt man das Ergebnis sinnvoll als „rund 145“ an.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Vergleich der Genauigkeit. Ein halber Ringdurchgang lässt sich am Schirm noch sicher erkennen. Er entspricht einer Spiegelverschiebung von
\(\Delta d_{\min} = \dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{632{,}8\ \mathrm{nm}}{4} \approx 0{,}16\ \mathrm{\mu m}\).
Ein Messschieber löst dagegen nur \(0{,}05\ \mathrm{mm} = 50\ \mathrm{\mu m}\) auf. Das Interferometer ist damit rund 300-mal genauer. Hinzu kommt: Die gesamte Ausdehnung von \(46\ \mathrm{\mu m}\) liegt unterhalb der Auflösung des Messschiebers — dieser könnte die Ausdehnung überhaupt nicht nachweisen, während das Interferometer sie in 145 gut zählbare Ereignisse zerlegt.
Störeinflüsse. Gerade wegen dieser Empfindlichkeit stört alles, was den Gangunterschied um Bruchteile einer Wellenlänge verändert:
• Erschütterungen. Ein Schritt neben dem Tisch oder das Anstoßen der Platte verschiebt die Spiegel bereits um mehr als \(0{,}16\ \mathrm{\mu m}\); die Ringe „springen“ dann und man verzählt sich. Der Aufbau gehört auf einen schwingungsgedämpften Tisch.
• Luftbewegung und Temperaturänderungen im Strahlengang. Warme Luft hat eine geringfügig andere Brechzahl; ein aufsteigender Warmluftstrom von der Heizvorrichtung verändert die optische Weglänge und erzeugt zusätzliche, nicht von der Stabausdehnung stammende Ringdurchgänge. Der Strahlengang sollte abgedeckt und von der Wärmequelle abgeschirmt werden.
• Mitausdehnung des übrigen Aufbaus. Erwärmt sich auch die Grundplatte, so verschiebt sich der Strahlteiler mit — dies ist ein systematischer Fehler, der sich nur durch gezieltes Erwärmen allein des Stabs vermeiden lässt.
• Ungleichmäßige Erwärmung. \(\Delta T\) muss für den gesamten Stab gelten; sonst ist die eingesetzte Temperaturdifferenz zu groß und \(\alpha\) würde zu klein bestimmt.
Insgesamt ist das Verfahren dem Messschieber deutlich überlegen, verlangt aber einen sorgfältig abgeschirmten und erschütterungsfreien Aufbau — die Empfindlichkeit ist Vorteil und Schwierigkeit zugleich.