Laserlicht am Doppelspalt
AFB IIEin Helium-Neon-Laser mit der Wellenlänge \(\lambda = 632{,}8\ \mathrm{nm}\) beleuchtet einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand \(d = 0{,}20\ \mathrm{mm}\). Im Abstand \(L = 3{,}00\ \mathrm{m}\) steht ein Schirm, auf dem gleichmäßig verteilte helle Streifen erscheinen (Material M1).
Weil der Schirmabstand L sehr viel größer ist als der Spaltabstand d, dürfen die beiden Strahlen als parallel angesehen werden.
- Erklären Sie mithilfe des Gangunterschieds, warum auf dem Schirm überhaupt helle und dunkle Streifen entstehen, und geben Sie an, welche Bedingung für ein Maximum \(n\)-ter Ordnung erfüllt sein muss.
- Berechnen Sie den Abstand \(\Delta x\) zweier benachbarter Maxima auf dem Schirm.
- Berechnen Sie den Ablenkwinkel \(\alpha\) des Maximums 3. Ordnung und zeigen Sie, dass sich der Abstand dieses Maximums vom Zentrum sowohl über \(3\cdot\Delta x\) als auch über \(L\cdot\tan\alpha\) berechnen lässt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Beide Spalte werden von derselben Lichtwelle beleuchtet und senden deshalb gleichphasige Wellen aus (Kohärenz). Auf dem Weg zu einem Punkt P des Schirms legt die Welle aus dem einen Spalt eine um \(\Delta s\) längere Strecke zurück als die aus dem anderen — diesen Unterschied nennt man Gangunterschied.
Ist \(\Delta s\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(\lambda\), so treffen Wellenberg auf Wellenberg: Die Wellen verstärken sich (konstruktive Interferenz) und es entsteht ein helles Streifen. Ist \(\Delta s\) ein ungeradzahliges Vielfaches von \(\dfrac{\lambda}{2}\), so trifft Berg auf Tal, die Wellen löschen sich aus und es bleibt dunkel.
Aus der Geometrie in M1 folgt \(\Delta s = d\sin\alpha\). Die Bedingung für ein Maximum \(n\)-ter Ordnung lautet damit
\(d\sin\alpha = n\cdot\lambda\qquad (n = 0, 1, 2, \dots)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(\Delta x = \dfrac{\lambda L}{d}\).
\(\Delta x = \dfrac{632{,}8\cdot10^{-9}\ \mathrm{m}\cdot 3{,}00\ \mathrm{m}}{0{,}20\cdot10^{-3}\ \mathrm{m}} = 9{,}49\cdot10^{-3}\ \mathrm{m} \approx 9{,}5\ \mathrm{mm}\).
Die hellen Streifen liegen also rund einen Zentimeter auseinander und sind mit bloßem Auge gut zu unterscheiden.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: \(d\sin\alpha = n\lambda \Rightarrow \sin\alpha = \dfrac{n\lambda}{d}\) mit \(n = 3\).
\(\sin\alpha = \dfrac{3\cdot 632{,}8\cdot10^{-9}\ \mathrm{m}}{0{,}20\cdot10^{-3}\ \mathrm{m}} = 9{,}492\cdot10^{-3}\).
\(\alpha = \sin^{-1}(9{,}492\cdot10^{-3}) = 0{,}544^\circ\).
Weg 1 — über den Streifenabstand:
\(x_3 = 3\cdot\Delta x = 3\cdot 9{,}49\ \mathrm{mm} = 28{,}5\ \mathrm{mm}\).
Weg 2 — über den Winkel:
\(x_3 = L\cdot\tan\alpha = 3{,}00\ \mathrm{m}\cdot\tan(0{,}544^\circ) = 3{,}00\ \mathrm{m}\cdot 9{,}493\cdot10^{-3} = 28{,}5\cdot10^{-3}\ \mathrm{m} = 28{,}5\ \mathrm{mm}\).
Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis. Das ist kein Zufall: Für sehr kleine Winkel gilt \(\sin\alpha \approx \tan\alpha\). Hier unterscheiden sich beide Werte erst in der fünften Nachkommastelle. Setzt man \(\tan\alpha \approx \sin\alpha = \dfrac{n\lambda}{d}\) in \(x_n = L\tan\alpha\) ein, so erhält man unmittelbar \(x_n = \dfrac{n\lambda L}{d} = n\cdot\Delta x\) — genau die in b) benutzte Formel. Sie ist also nichts anderes als die Kleinwinkelnäherung der allgemeinen Maximumbedingung und gilt nur, solange \(\alpha\) klein bleibt.
Die Wellenlänge einer LED bestimmen
AFB IIIEin Kurs bestimmt die Wellenlänge einer roten LED. Das Licht der LED wird durch einen engen Vorspalt geschickt und trifft dann auf einen Doppelspalt mit \(d = 0{,}25\ \mathrm{mm}\). Der Schirm steht im Abstand \(L = 2{,}50\ \mathrm{m}\). Gemessen wird jeweils der Abstand vom 1. bis zum 11. hellen Streifen, also die Länge von zehn Streifenabständen. Drei Gruppen messen unabhängig voneinander (Material M1).
| Gruppe | A | B | C |
|---|---|---|---|
| gemessene Länge in mm | 62 | 63 | 64 |
Die Streifenmitten lassen sich mit dem Lineal auf etwa ±1 mm genau festlegen.
- Begründen Sie, warum zehn Streifenabstände gemessen werden und nicht nur einer.
- Berechnen Sie aus dem Mittelwert der drei Messungen die Wellenlänge der LED.
- Eine Gruppe schlägt vor, den Schirm auf \(L = 1{,}25\ \mathrm{m}\) heranzurücken, „damit das Bild heller und besser sichtbar wird“. Beurteilen Sie diesen Vorschlag. Erklären Sie außerdem, warum bei einer weißen LED statt roter Streifen farbige Streifen mit weißer Mitte entstehen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Der Fehler beim Ablesen einer Streifenmitte beträgt etwa \(\pm 1\ \mathrm{mm}\), und zwar am Anfang wie am Ende der Messstrecke. Dieser absolute Fehler ist unabhängig von der Länge der Messstrecke.
Misst man nur einen Streifenabstand von rund \(6{,}3\ \mathrm{mm}\), so entspricht ein Fehler von 1 mm bereits etwa 16 % — die Wellenlänge wäre damit praktisch wertlos bestimmt. Misst man dagegen zehn Abstände, so verteilt sich derselbe absolute Fehler auf rund \(63\ \mathrm{mm}\); der relative Fehler sinkt auf etwa 1,6 % und damit auf ein Zehntel. Das Teilen durch 10 verkleinert am Ende auch den Fehler des Einzelabstands. Aus demselben Grund misst man in der Physik grundsätzlich möglichst viele Perioden auf einmal.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Mittelwert der drei Messungen:
\(\bar{s} = \dfrac{62 + 63 + 64}{3}\ \mathrm{mm} = 63\ \mathrm{mm}\).
Ein Streifenabstand:
\(\Delta x = \dfrac{63\ \mathrm{mm}}{10} = 6{,}3\ \mathrm{mm} = 6{,}3\cdot10^{-3}\ \mathrm{m}\).
Ansatz: \(\Delta x = \dfrac{\lambda L}{d} \Rightarrow \lambda = \dfrac{\Delta x\cdot d}{L}\).
\(\lambda = \dfrac{6{,}3\cdot10^{-3}\ \mathrm{m}\cdot 0{,}25\cdot10^{-3}\ \mathrm{m}}{2{,}50\ \mathrm{m}} = 6{,}3\cdot10^{-7}\ \mathrm{m} = 630\ \mathrm{nm}\).
Der Wert liegt im roten Bereich des sichtbaren Spektrums und passt damit zur Farbe der LED.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zum Vorschlag. Richtig ist, dass das Bild heller wird: Dieselbe Lichtleistung verteilt sich auf eine kleinere Fläche.
Der Nachteil überwiegt jedoch. Nach \(\Delta x = \dfrac{\lambda L}{d}\) ist \(\Delta x\) proportional zu \(L\). Halbiert man \(L\) auf \(1{,}25\ \mathrm{m}\), so halbiert sich auch der Streifenabstand auf \(3{,}15\ \mathrm{mm}\); zehn Abstände messen dann nur noch etwa \(31{,}5\ \mathrm{mm}\). Der Ablesefehler von \(\pm 1\ \mathrm{mm}\) bleibt gleich groß, sodass sich der relative Fehler von rund 1,6 % auf rund 3,2 % verdoppelt.
Ich lehne den Vorschlag daher ab. Besser ist es, den Schirm möglichst weit entfernt aufzustellen und stattdessen den Raum abzudunkeln — das erhöht die Sichtbarkeit, ohne die Messgenauigkeit zu verschlechtern. Alternativ ließe sich ein Doppelspalt mit kleinerem \(d\) verwenden, was \(\Delta x\) ebenfalls vergrößert.
Weiße LED. Weißes Licht enthält alle sichtbaren Wellenlängen gleichzeitig. Der Ort eines Maximums hängt nach \(x_n = \dfrac{n\lambda L}{d}\) von \(\lambda\) ab: Blaues Licht (\(\lambda \approx 450\ \mathrm{nm}\)) wird schwächer abgelenkt als rotes (\(\lambda \approx 700\ \mathrm{nm}\)). Jede Farbe erzeugt daher ihr eigenes Streifensystem, das gegenüber den anderen verschoben ist; die Streifen erscheinen zu farbigen Bändern auseinandergezogen, innen blau und außen rot.
Eine Ausnahme bildet das Maximum nullter Ordnung: Für \(n = 0\) ist \(x_0 = 0\) unabhängig von \(\lambda\), weil dort der Gangunterschied für jede Wellenlänge null ist. Alle Farben fallen genau in der Mitte zusammen — der zentrale Streifen bleibt weiß.