Natriumlicht am Strichgitter
AFB IIEine Natriumdampflampe sendet nahezu einfarbiges gelbes Licht der Wellenlänge \(\lambda = 589\ \mathrm{nm}\) aus. Das Licht trifft senkrecht auf ein optisches Gitter mit 500 Strichen pro Millimeter. Hinter dem Gitter erscheinen auf einem Schirm scharfe helle Linien (Material M1).
Alle Spalte des Gitters haben denselben Abstand g. Für die Hauptmaxima gilt dieselbe Bedingung wie beim Doppelspalt.
- Berechnen Sie die Gitterkonstante \(g\) und begründen Sie, warum für die Hauptmaxima dieselbe Bedingung gilt wie beim Doppelspalt.
- Berechnen Sie die Ablenkwinkel der Hauptmaxima 1. und 2. Ordnung.
- Bestimmen Sie, wie viele Hauptmaxima insgesamt auf dem Schirm zu sehen sind, und begründen Sie Ihr Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: \(g = \dfrac{1}{\text{Striche pro Länge}}\).
\(g = \dfrac{1\ \mathrm{mm}}{500} = 2{,}0\cdot10^{-3}\ \mathrm{mm} = 2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{m} = 2{,}0\ \mathrm{\mu m}\).
Begründung: Die Bedingung für ein Maximum entsteht aus dem Gangunterschied zweier benachbarter Spalte, und der beträgt wie beim Doppelspalt \(\Delta s = g\sin\alpha\). Verstärken sich zwei benachbarte Teilwellen, so sind wegen des überall gleichen Spaltabstands automatisch alle Teilwellen des Gitters gleichphasig. Deshalb gilt unverändert
\(g\sin\alpha = n\cdot\lambda\).
Der Unterschied zum Doppelspalt liegt nicht in der Lage, sondern in der Gestalt der Maxima: Weil sehr viele Spalte beitragen, löschen sich die Teilwellen schon bei geringer Abweichung vom Maximumwinkel gegenseitig aus. Die Maxima werden dadurch viel schmaler und heller.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
1. Ordnung (\(n = 1\)):
\(\sin\alpha_1 = \dfrac{1\cdot 589\cdot10^{-9}\ \mathrm{m}}{2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}} = 0{,}2945\);
\(\alpha_1 = \sin^{-1}(0{,}2945) = 17{,}1^\circ\).
2. Ordnung (\(n = 2\)):
\(\sin\alpha_2 = \dfrac{2\cdot 589\cdot10^{-9}\ \mathrm{m}}{2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}} = 0{,}5890\);
\(\alpha_2 = \sin^{-1}(0{,}5890) = 36{,}1^\circ\).
Der Winkel wächst nicht proportional zur Ordnung, weil nicht \(\alpha\), sondern \(\sin\alpha\) proportional zu \(n\) ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Aus \(\sin\alpha = \dfrac{n\lambda}{g}\) und der Bedingung \(\sin\alpha \le 1\) folgt
\(n \le \dfrac{g}{\lambda} = \dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}}{589\cdot10^{-9}\ \mathrm{m}} = 3{,}40\).
Da \(n\) ganzzahlig sein muss, ist die höchste beobachtbare Ordnung \(n_{\max} = 3\). Zur Kontrolle: \(\sin\alpha_3 = 3\cdot 0{,}2945 = 0{,}8835\), also \(\alpha_3 = 62{,}1^\circ\) — noch möglich. Für \(n = 4\) ergäbe sich \(\sin\alpha = 1{,}178 > 1\); dazu gibt es keinen Winkel, das Maximum existiert nicht.
Die Maxima treten symmetrisch nach beiden Seiten auf. Sichtbar sind also die Ordnungen \(n = 1, 2, 3\) auf jeder Seite sowie das Maximum nullter Ordnung in der Mitte:
\(2\cdot 3 + 1 = 7\) Hauptmaxima.
Ein unbekanntes Gas im Spektroskop
AFB IIIIm Praktikum wird das Licht einer Gasentladungsröhre mit einem Gitter aus 300 Strichen pro Millimeter untersucht. Statt eines durchgehenden Farbbandes erscheinen nur wenige scharfe farbige Linien. Für jede Linie wird der Ablenkwinkel der ersten Ordnung gemessen (Material M1). Zum Vergleich liegen Tabellenwerte der Wasserstofflinien vor (Material M2).
| Linie | rot | blaugrün | violett | tiefviolett |
|---|---|---|---|---|
| \(\alpha_1\) | 11,3° | 8,4° | 7,5° | 7,1° |
Der Winkel lässt sich am Drehtisch auf etwa ±0,1° genau ablesen.
| Bezeichnung | Hα | Hβ | Hγ | Hδ |
|---|---|---|---|---|
| \(\lambda\) in nm | 656 | 486 | 434 | 410 |
Andere Gase besitzen jeweils ein völlig anderes Linienmuster.
- Berechnen Sie die Gitterkonstante und daraus die Wellenlängen der vier gemessenen Linien.
- Beurteilen Sie anhand von M2, ob es sich bei dem Gas um Wasserstoff handelt.
- Zur Verbesserung der Messung schlägt eine Gruppe vor, statt der ersten die dritte Ordnung auszumessen. Beurteilen Sie diesen Vorschlag rechnerisch für die rote Linie und begründen Sie, warum ein Gitter für solche Messungen besser geeignet ist als ein Doppelspalt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Gitterkonstante:
\(g = \dfrac{1\ \mathrm{mm}}{300} = 3{,}33\cdot10^{-3}\ \mathrm{mm} = 3{,}33\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}\).
Ansatz für \(n = 1\): \(\lambda = g\sin\alpha_1\).
rot: \(\lambda = 3{,}33\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}\cdot\sin 11{,}3^\circ = 3{,}33\cdot10^{-6}\cdot 0{,}1959\ \mathrm{m} = 6{,}53\cdot10^{-7}\ \mathrm{m} = 653\ \mathrm{nm}\).
blaugrün: \(\lambda = 3{,}33\cdot10^{-6}\cdot 0{,}1461\ \mathrm{m} = 487\ \mathrm{nm}\).
violett: \(\lambda = 3{,}33\cdot10^{-6}\cdot 0{,}1305\ \mathrm{m} = 435\ \mathrm{nm}\).
tiefviolett: \(\lambda = 3{,}33\cdot10^{-6}\cdot 0{,}1236\ \mathrm{m} = 412\ \mathrm{nm}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Vergleich mit den Tabellenwerten aus M2:
653 nm gegenüber 656 nm — Abweichung 0,5 %;
487 nm gegenüber 486 nm — Abweichung 0,2 %;
435 nm gegenüber 434 nm — Abweichung 0,2 %;
412 nm gegenüber 410 nm — Abweichung 0,5 %.
Alle vier Messwerte stimmen auf besser als 1 % mit den Literaturwerten überein. Diese Abweichungen sind durch die Ablesegenauigkeit von \(\pm 0{,}1^\circ\) vollständig erklärbar: Bei \(\alpha = 11{,}3^\circ\) entspricht \(0{,}1^\circ\) bereits etwa \(6\ \mathrm{nm}\).
Hinzu kommt: Es wurden genau vier Linien in genau den Farben rot, blaugrün, violett und tiefviolett beobachtet — dasselbe Muster wie in M2. Da jedes Element ein charakteristisches Linienmuster besitzt, das wie ein Fingerabdruck wirkt, ist der Schluss gerechtfertigt: Bei dem Gas handelt es sich um Wasserstoff. Ein einzelner übereinstimmender Wert wäre kein Beweis, das vollständige übereinstimmende Muster dagegen schon.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Dritte Ordnung für die rote Linie.
\(\sin\alpha_3 = \dfrac{3\lambda}{g} = \dfrac{3\cdot 656\cdot10^{-9}\ \mathrm{m}}{3{,}33\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}} = 0{,}5910\);
\(\alpha_3 = 36{,}2^\circ\).
Wirkung eines Ablesefehlers von \(0{,}1^\circ\):
1. Ordnung: \(\lambda = g\sin\alpha\). Von \(11{,}3^\circ\) auf \(11{,}4^\circ\) ändert sich \(\sin\alpha\) um \(0{,}0017\), also \(\lambda\) um etwa \(6\ \mathrm{nm}\) — das sind rund 0,9 %.
3. Ordnung: \(\lambda = \dfrac{g\sin\alpha}{3}\). Von \(36{,}2^\circ\) auf \(36{,}3^\circ\) ändert sich \(\sin\alpha\) um \(0{,}0014\); geteilt durch 3 ergibt das für \(\lambda\) nur etwa \(1{,}6\ \mathrm{nm}\), also rund 0,2 %.
Der Vorschlag ist damit gut begründet: Die Messunsicherheit sinkt auf etwa ein Viertel. Zu bedenken ist allerdings, dass die Maxima höherer Ordnung deutlich lichtschwächer sind und dass es bei kurzwelligen Linien eine höchste mögliche Ordnung gibt — für die rote Linie wäre hier bei \(n_{\max} = 5\) Schluss.
Warum ein Gitter und kein Doppelspalt? Erstens sind die Hauptmaxima eines Gitters viel schärfer: Beim Doppelspalt tragen nur zwei Teilwellen bei, sodass die Helligkeit sanft zu- und abnimmt und die Streifen breit sind. Beim Gitter tragen tausende Spalte bei; weicht der Winkel nur wenig vom Maximum ab, löschen sich die vielen Teilwellen gegenseitig aus. Nur so lassen sich benachbarte Linien wie 434 nm und 410 nm überhaupt getrennt beobachten.
Zweitens ist die Gitterkonstante viel kleiner als ein üblicher Doppelspaltabstand, sodass die Ablenkwinkel groß werden und sich mit einem Drehtisch direkt und genau messen lassen. Drittens ist das Bild heller, weil alle Spalte Licht beitragen. Für Spektroskopie ist das Gitter dem Doppelspalt daher deutlich überlegen.