Der Abstimmkreis eines Radios
AFB IIIn einem einfachen Mittelwellenempfänger legt ein Schwingkreis fest, welcher Sender empfangen wird (Material M1). Er besteht aus einer Spule fester Induktivität und einem Drehkondensator, dessen Kapazität sich durch Drehen eines Knopfes stufenlos verändern lässt. Der Empfänger ist genau dann auf einen Sender abgestimmt, wenn die Eigenfrequenz des Schwingkreises mit der Sendefrequenz übereinstimmt. Die Daten sind M2 zu entnehmen; der ohmsche Widerstand der Bauteile wird vernachlässigt.
In Stellung 1 wird der Kondensator von der Quelle aufgeladen. Wird der Schalter auf Stellung 2 gelegt, bilden Kondensator und Spule einen geschlossenen Schwingkreis.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Induktivität \(L\) der Spule | \(220\,\mathrm{\mu H}\) |
| Drehkondensator \(C\), einstellbar von … bis | \(40\,\mathrm{pF}\) bis \(400\,\mathrm{pF}\) |
| Umrechnung | \(1\,\mathrm{\mu H}=10^{-6}\,\mathrm H\), \(1\,\mathrm{pF}=10^{-12}\,\mathrm F\) |
- Berechnen Sie die Eigenfrequenz des Schwingkreises für die Kondensatoreinstellung \(C=100\,\mathrm{pF}\).
- Ein Sender arbeitet mit der Frequenz \(f=1{,}44\,\mathrm{MHz}\). Berechnen Sie die dafür erforderliche Kapazität und entscheiden Sie, ob sich dieser Sender mit dem vorhandenen Drehkondensator einstellen lässt.
- Erklären Sie, wie im Schwingkreis nach dem Umlegen des Schalters auf Stellung 2 die Energie hin- und herpendelt, und geben Sie an, in welchen Augenblicken die Spannung am Kondensator bzw. die Stromstärke in der Spule ihren größten Betrag hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Umrechnen: \(L=220\,\mathrm{\mu H}=2{,}20\cdot 10^{-4}\,\mathrm H\), \(C=100\,\mathrm{pF}=1{,}00\cdot 10^{-10}\,\mathrm F\).
Thomson-Gleichung: \(T=2\pi\sqrt{L\,C}=2\pi\sqrt{2{,}20\cdot 10^{-4}\,\mathrm H\cdot 1{,}00\cdot 10^{-10}\,\mathrm F}=2\pi\sqrt{2{,}20\cdot 10^{-14}\,\mathrm{s^{2}}}=2\pi\cdot 1{,}483\cdot 10^{-7}\,\mathrm s\).
Also \(T=9{,}32\cdot 10^{-7}\,\mathrm s\) und \(\displaystyle f=\frac{1}{T}=\frac{1}{9{,}32\cdot 10^{-7}\,\mathrm s}=1{,}07\cdot 10^{6}\,\mathrm{Hz}=1{,}07\,\mathrm{MHz}\) — eine typische Mittelwellenfrequenz.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Periodendauer: \(\displaystyle T=\frac{1}{f}=\frac{1}{1{,}44\cdot 10^{6}\,\mathrm{Hz}}=6{,}94\cdot 10^{-7}\,\mathrm s\).
Umstellen der Thomson-Gleichung: \(T^{2}=4\pi^{2}L\,C\ \Rightarrow\ \displaystyle C=\frac{T^{2}}{4\pi^{2}L}\).
Einsetzen: \(\displaystyle C=\frac{(6{,}94\cdot 10^{-7}\,\mathrm s)^{2}}{4\pi^{2}\cdot 2{,}20\cdot 10^{-4}\,\mathrm H}=\frac{4{,}82\cdot 10^{-13}}{8{,}686\cdot 10^{-3}}\,\mathrm F=5{,}55\cdot 10^{-11}\,\mathrm F=55{,}5\,\mathrm{pF}\).
Entscheidung: Der Drehkondensator lässt sich zwischen \(40\,\mathrm{pF}\) und \(400\,\mathrm{pF}\) einstellen. Der benötigte Wert von rund \(56\,\mathrm{pF}\) liegt innerhalb dieses Bereichs — der Sender lässt sich also einstellen, und zwar nahe am unteren Anschlag des Drehkondensators.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nach dem Umlegen auf Stellung 2 ist der Kondensator geladen; die gesamte Energie steckt im elektrischen Feld zwischen seinen Platten, die Stromstärke ist null. Der Kondensator entlädt sich nun über die Spule. Der anwachsende Strom baut in der Spule ein magnetisches Feld auf; die Energie wandert also vom elektrischen ins magnetische Feld.
Ist der Kondensator leer, so ist die gesamte Energie im Magnetfeld der Spule gespeichert und die Stromstärke am größten. Der Strom bricht jetzt nicht schlagartig ab: Das zusammenbrechende Magnetfeld treibt ihn weiter, sodass der Kondensator in umgekehrter Richtung wieder aufgeladen wird. Ist er vollständig umgeladen, steht die Energie erneut vollständig im elektrischen Feld — nur mit umgekehrtem Vorzeichen der Spannung. Danach läuft derselbe Vorgang rückwärts ab: Nach einer vollen Periode ist der Ausgangszustand wieder erreicht.
Die Spannung am Kondensator ist immer dann am größten, wenn er vollständig geladen ist — also zu den Zeitpunkten \(t=0\), \(\frac{T}{2}\), \(T\), … Die Stromstärke in der Spule ist genau dazwischen am größten, nämlich bei \(\frac{T}{4}\), \(\frac{3T}{4}\), …, wenn der Kondensator gerade leer ist. Beide Größen erreichen ihre Höchstwerte also niemals gleichzeitig; sie sind um eine Viertelperiode gegeneinander versetzt.
Induktivität aus einer Messreihe
AFB IIIEin Kurs untersucht einen Schwingkreis, indem er bei fest eingebauter Spule nacheinander fünf verschiedene Kondensatoren einsetzt und die Schwingungsdauer mit dem Oszilloskop misst (Material M1). Zur Deutung der Ergebnisse liegt die Gegenüberstellung in Material M2 vor. Im Anschluss diskutiert der Kurs die Aussagen in Material M3.
| \(C\) in nF | 10 | 20 | 40 | 80 | 160 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(T\) in µs | 63 | 89 | 126 | 178 | 251 |
| Feder-Masse-Pendel | Schwingkreis | Rolle |
|---|---|---|
| Masse \(m\) | Induktivität \(L\) | Trägheit |
| Federhärte \(D\) | Kehrwert der Kapazität \(\tfrac{1}{C}\) | Rücktrieb |
| Auslenkung \(y\) | Ladung \(q\) | Zustandsgröße |
| \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}\) | \(T=2\pi\sqrt{L\,C}\) | Schwingungsdauer |
- Weisen Sie anhand der Messwerte in M1 nach, dass \(T^{2}\) proportional zu \(C\) ist, und ermitteln Sie daraus die Induktivität der verwendeten Spule.
- Erläutern Sie anhand von M2, welche Größe des Schwingkreises die Rolle der Masse und welche die Rolle der Federhärte übernimmt, und begründen Sie damit, warum ein größerer Kondensator zu einer größeren Schwingungsdauer führt.
- Beurteilen Sie die beiden Aussagen in M3.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Prüfgröße: \(\dfrac{T^{2}}{C}\) muss konstant sein.
\(\frac{(63\cdot 10^{-6}\,\mathrm s)^{2}}{10\cdot 10^{-9}\,\mathrm F}=0{,}397\); \(\frac{(89\cdot 10^{-6})^{2}}{20\cdot 10^{-9}}=0{,}396\); \(\frac{(126\cdot 10^{-6})^{2}}{40\cdot 10^{-9}}=0{,}397\); \(\frac{(178\cdot 10^{-6})^{2}}{80\cdot 10^{-9}}=0{,}396\); \(\frac{(251\cdot 10^{-6})^{2}}{160\cdot 10^{-9}}=0{,}394\) (jeweils in \(\tfrac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm F}\)).
Antwortsatz: Die fünf Werte stimmen im Rahmen der Ablesegenauigkeit des Oszilloskops überein. Damit ist \(T^{2}\sim C\) nachgewiesen.
Induktivität: Aus \(T^{2}=4\pi^{2}L\cdot C\) folgt \(\displaystyle L=\frac{T^{2}/C}{4\pi^{2}}=\frac{0{,}396\,\tfrac{\mathrm{s^{2}}}{\mathrm F}}{39{,}48}=1{,}00\cdot 10^{-2}\,\mathrm H=10\,\mathrm{mH}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Nach M2 übernimmt die Induktivität \(L\) die Rolle der Masse. Wie eine träge Masse sich einer Änderung ihrer Geschwindigkeit widersetzt, widersetzt sich die Spule einer Änderung der Stromstärke: Sie hält den Strom in Gang, wenn der Kondensator schon leer ist, und lädt ihn dadurch in umgekehrter Richtung wieder auf.
Die Rolle der Federhärte übernimmt der Kehrwert der Kapazität \(\tfrac{1}{C}\). Sie beschreibt, wie stark das System in den Ruhezustand zurückgetrieben wird: Bei kleiner Kapazität führt schon eine geringe Ladung zu einer großen Spannung — der „Rücktrieb“ ist stark, wie bei einer harten Feder.
Begründung: Ein größerer Kondensator bedeutet ein kleineres \(\frac{1}{C}\), also einen schwächeren Rücktrieb — wie eine weichere Feder. Beim Feder-Masse-Pendel führt eine weichere Feder (kleines \(D\)) nach \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}\) zu einer größeren Schwingungsdauer; genauso ergibt sich hier aus \(T=2\pi\sqrt{L\,C}\) mit größerem \(C\) ein größeres \(T\). Die Messreihe in M1 bestätigt das: Bei sechzehnfacher Kapazität \((10\to 160\,\mathrm{nF})\) ist \(T\) rund viermal so groß \((63\to 251\,\mathrm{\mu s})\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zu Lea: Die Aussage ist zurückzuweisen. Richtig ist, dass die Energie zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule hin- und herpendelt. Übersehen wird aber, dass jeder reale Schwingkreis außerdem einen ohmschen Widerstand besitzt — vor allem im Draht der Spule. Bei jedem Umlauf wird dort ein Teil der Energie in innere Energie umgewandelt und als Wärme abgegeben; diese Energie steht der Schwingung nicht mehr zur Verfügung. Die Amplitude nimmt deshalb von Schwingung zu Schwingung ab, bis der Kreis zur Ruhe kommt. Nur der idealisierte Schwingkreis ohne Widerstand — wie er der Thomson-Gleichung zugrunde liegt — schwänge unbegrenzt weiter.
Zu Tarek: Auch diese Aussage ist zurückzuweisen. Aus \(T=2\pi\sqrt{LC}\) folgt \(\displaystyle f=\frac{1}{2\pi\sqrt{L\,C}}\): Die Frequenz ist umgekehrt proportional zur Wurzel aus \(C\). Halbiert man die Kapazität, so wächst die Frequenz nur um den Faktor \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\), nicht um den Faktor 2. Für eine doppelte Frequenz muss die Kapazität auf ein Viertel verringert werden.
Kontrolle an M1: Von \(C=160\,\mathrm{nF}\) auf \(C=80\,\mathrm{nF}\) — also bei halbierter Kapazität — sinkt \(T\) von \(251\,\mathrm{\mu s}\) auf \(178\,\mathrm{\mu s}\); das ist der Faktor \(0{,}71\approx\frac{1}{\sqrt2}\), die Frequenz steigt also um den Faktor \(1{,}41\). Von \(160\,\mathrm{nF}\) auf \(40\,\mathrm{nF}\) — Kapazität geviertelt — fällt \(T\) dagegen von \(251\,\mathrm{\mu s}\) auf \(126\,\mathrm{\mu s}\), die Frequenz verdoppelt sich also tatsächlich.